2024年上海高考数学复习考点3函数的概念与性质（8种题型10个易错考点）含详解

考点03函数的概念与性质(8种题型10个易错考点)

❶【课程安排细目表】

一、真题抢先刷，考向提前知

二、考点清单

三、题型方法

四、易错分析

五、刷好题

六.刷压轴

至一、真题抢先刷，考向提前知

一.选择题(共3小题)

1.（2022•上海）下列函数定义域为R的是(）

11—1

1

A.产*2B.y=x'C.y=x3D.y=x2

2.（2023•上海）下列函数是偶函数的是(）

A.y=sinxB.y=cosxC.尸小D.y=2x

3.（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数()

A.y=-3xB.y=xiC.y=\og3xD.y=3x

填空题(共2小题)

4.(2020•上海)若函数y=a*3*+-L为偶函数，则a=.

3X

5.(2022•上海)设函数/(x)满足f(x)=f(」一)对任意后0，+8)都成立，其值域是A/,已知对任何满足上

1+x

述条件的/(x)都有{y|y=f(x),0^x^a]=Af,则”的取值范围为.

三.解答题(共3小题)

6.(2020•上海)已知非空集合AUR,函数y=/(x)的定义域为。，若对任意作A且在£),不等式/(x)W/(x+f)

恒成立，则称函数/(x)具有A性质.

(1)当A={-1},判断f(JC)=-x、g(x)=2x是否具有A性质；

(2)当人=(0,1),f(x)—x+—,x£[a,+°°),若/.(x)具有A性质，求a的取值范围；

x

(3)当4={-2,机},，“€Z,若。为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的根的值.

7.(2021•上海)已知函数f(x)=V|x+aI-a-x.

(1)若a=l,求函数的定义域；

(2)若a#0,若/(以)=。有2个不同实数根，求”的取值范围；

(3)是否存在实数”，使得函数/(x)在定义域内具有单调性？若存在，求出〃的取值范围.

8.(2021•上海)已知xi,X2GR,若对任意的X2-X1W5,f(%2)-/(xi)&S,则有定义：/(x)是在S关联的.

(1)判断和证明f(x)=2%-1是否在［0,+8)关联？是否有［0,1］关联？

(2)若/(x)是在｛3｝关联的，f(x)在花［0,3)时，f(x)=?-2x,求解不等式：20(K)W3.

(3)证明：/(%)是｛1｝关联的，且是在［0,+8)关联的，当且仅当“于(x)在［1,2］是关联的

Q二、考点清单

1.函数的概念

设4,6是两个非空数集,如果按照确定的法则f,对月中的任意数都有唯一确定的数3与它对应,那么就称差—

4-6为从集合力到集合8的一个函数,记作y=f(x),x^A.

2.函数的定义域、值域

(D函数y=f(x)自变量取值的范围(数集⑷叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合bdy=f(x),xG/｝叫

做这个函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则,这种函数称为分段函数.

(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.

5.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

设函数y=F(x)的定义域为4区间，仁人如果取区间"中任意两个值

由，X2,改变量Ax=X2—由>0,则当

定义A1=—f(X)>0时,就称

△y=f(%)—f(汨)<0时，就称函数y

函数y=f(x)在区间，"上是增函

=f(x)在区间"上是减函数

数

”/=/(*)

•//■(&)

图象描:火阳)；及2)

O♦~

述-Opi~~~*

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间〃上具有单调性，区间M称为单

调区间.

6.函数的最值

前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数,"满足

(1)对于任意xe/,都有f(于WM；(3)对于任意xe/,都有约旦；

条件

(2)存在I,使得f(%0)=，)/(4)存在刖e/,使得/■(x0)=M

结论M为最大值"为最小值

7.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

设函数y=F(x)的定义域为D,如果对〃内的任意一个x,

奇函数关于原点对称

都有一且〃-X)=-f(x),则这个函数叫做奇函数

设函数y=g(x)的定义域为〃如果对〃内的任意一个筋

偶函数关于y轴对称

都有一/£〃，且g(—x)=g(x),则这个函数叫做偶函数

8.函数的周期性

(1)周期函数:对于函数y=F(X),如果存在一个非零常数71，使得当X取定义域内的任何值时，都有7)=F(x),

那么就称函数尸/Xx)为周期函数，称7为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做/Xx)的埴小正

周期.

0三、题型方法

一.函数的定义域及其求法(共3小题)

1.(2023•虹口区二模)函数)，=欣(x-1)+/1一的定义域为_____________.

Vx2-4

2.(2023•普陀区二模)函数丫再工的定义域为.

3.(2023•浦东新区模拟)函数y=lg(-x)l/2的定义域为______________.

Vx*12-34561

二.函数的值域(共1小题)

4.(2023•虹口区二模)对于定义在R上的奇函数y=/(x),当x>0时，f(x)=2*+-”，则该函数的值域

2X+1

为.

三.函数解析式的求解及常用方法(共1小题)

5.(2023♦宝山区校级模拟)已知函数f(x)=x」"(xRl,2])的图象的两个端点分别为A、B,设M是函

X

数/(x)图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线/,且/与线段A3交于点N,若恒成立，则。的最

大值是.

四.函数的图象与图象的变换(共2小题)

6.(2023•黄浦区模拟)设a",c,於R,若函数尸/+/+cx+4的部分图像如图所示，则下列结论正确的是()

A.。>0,c>0B.b>0,c<0C.。<0,c>0D.b<0,c<0

7.（2023•上海模拟）已知函数yT—,则其图象大致是（）

X1

e-1

A.B.

C.।D.

五.函数的最值及其几何意义（共3小题）

8.（2023•浦东新区校级一模）函数/（X）—X,g（x）—x1-x+2.若存在xi,X2，…,x,£[0,方，使得/（xi）+f

（X2）+•"+/'（x,i-l）+g（X"）—g（XI）+g（X2）+…+g（xn-1）+f（xn）,则〃的最大值是（）

A.11B.13C.14D.18

9.（2023•徐汇区二模）已知函数f（x）=x+曳+b，"版+8）,其中6>0,«GR,若/（x）的最小值为2,则实数

x

a的取值范围是.

10.（2023•浦东新区二模）函数y=log°xH------\—「在区间（上，上的最小值为

y1OSX

2lOg4（2x）/

六.函数奇偶性的性质与判断（共6小题）

11.（2023•闵行区二模）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（）

A.y=0B.六C.D.y=2x

12.（2023•杨浦区二模）下列函数中，既是偶函数，又在区间（-8,0）上严格递减的是（）

A.y=2wB.y=ln(-x)C.D.廿一用

“jAyVA

2

13.（2023・奉贤区二模）已知）=八如为/?上的奇函数，且当》20时，£6）吟-§111年+1）*13。耳乂+2，

则y=fa）的驻点为______________________

14.（2023•金山区二模）已知y=/（x）是定义域为R的奇函数，当x^O时，火》）=2?+#-1,贝U火-2）=

15.（2023•静安区二模）己知函数f（x）（a>0）为偶函数，则函数/G）的值域为

2X+1

16.（2023•宝山区校级模拟）设定义在R上的奇函数y=f（x）,当x>0时，/（%）=2、-4,则不等式fG）W0的

解集是

七.奇偶性与单调性的综合(共3小题)

17.(2023•崇明区二模)下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为()

A.f(x)=tanxB.f(x)=」

x

C.f(x)—x-cosxD.f(x)-ex

18.(2023•浦东新区模拟)下列函数在定义域中，既是奇函数又是严格减函数的是()

A.y--InxB.y」C.y—^-exD.y=-x|x|

x

19.(2023•浦东新区校级三模)下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是()

A.f(x)=tanxB.f(x)=x-—

x

C.f(x)=x-cosxD.f(x)=x(F+m

八.函数恒成立问题(共6小题)

20.(2023•浦东新区三模)已知定义在R上的函数y=/(x).对任意区间团，川和。日〃，b],若存在开区间/,使得

ce/n[a,b],且对任意尤/nm，b](xWc)都成立y(x)</(c),则称c为/Xx)在口，句上的一个“M点”.有

以下两个命题：

①若/(xo)是f(x)在区间[a,句上的最大值，则xo是/(X)在区间3,勿上的一个M点；

②若对任意。<从匕都是/(x)在区间3,句上的一个M点，则/(x)在R上严格增.

那么()

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.①、②都是真命题D.①、②都是假命题

21.(2023•金山区二模)已知函数y=/(x)和)，=g(x)的表达式分别为f(*)x?-4x，g(、)=4^-。1，若

对任意X[£[1,我]，若存在X2H-3,0],使得g(xi)〈火m),则实数a的取值范围是

22.(2023•长宁区二模)若对任意x6[l,2],均有-“|+|/切=|?+卫，则实数”的取值范围为.

23.(2023•奉贤区二模)设函数y=f(x)的定义域是R,它的导数是/(x).若存在常数〃？(.6R),使得f(x+〃7)

=-f(x)对一切x恒成立，那么称函数y=f(x)具有性质P(w).

(1)求证：函数y=〃不具有性质产(相)；

(2)判别函数丁=4四是否具有性质P(机).若具有求出机的取值集合；若不具有请说明理由.

24.(2023•松江区模拟)已知人(x)=\x\+\x-a\,其中aCR.

(1)判断函数丫=%(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)当。=4时，对任意非零实数c,不等式fa(t)42|cd|均成立，求实数『的取值范围.

25.(2023•黄浦区模拟)定义在R上的函数y=/(x),y—g(x),若(xi)-f(X2)|冽g(xi)-g(X2)|对任意

的xi,X2€R成立，则称函数y=g(x)是函数y=/(x)的“从属函数

(1)若函数y=g(JC)是函数(x)的"从属函数“且y=/(x)是偶函数，求证：y=g(无)是偶函数；

(2)若f(x)=ax+e*，g(x)=W^7,求证：当时，函数y=g(x)是函数y=f(x)的“从属函数”；

(3)设定义在R上的函数y=/(x)与y=g(x),它们的图像各是一条连续的曲线，且函数y=g(x)是函数y

=/(x)的“从属函数”.设a：“函数y=/(x)在R上是严格增函数或严格减函数”；0：“函数y=g(x)在R

上为严格增函数或严格减函数”，试判断a是0的什么条件？请说明理由.

Q四、易错分析

易错点1:求函数的单调区间忽视定义域致错

函数的单调递减区间为()

C.[0,+8)D.(一8,-3]

易错点2：判断函数的奇偶性忽视定义域致错

判断函数f(x)=的奇偶性:

易错点3：有关分段函数的不等式问题忽视定义域致错

K1,

设函数f(x)=则使得“X)>1的自变量X的取值范围为—

4—1,

易错点4：有关抽象函数的不等式问题忽视定义域致错

设aGR,已知函数y=f(x)是定义在[-4,4]上的减函数，且F(a+l)>f(2a),则a的取值范围是(

A.[-4,1)B.(1,4]C.(1,2]I).C.(1,+°°)

易错点5：有关分段函数的单调性问题忽视端点值致错

'x+1,XI,

己知函数f(x)=..、在R上单调递增，则实数a的取值范围为

x—2ax,后1

易错点6：有关奇函数的解析式忽视自变量0的函数值致错

已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f{x)=x+x-\,则函数Ax)的解析式为—

易错点7：使用换元法忽视新变量的取值范围致错

若/'(29=4*-2",则f(x)-________.

易错点8：忽视零点存在性定理前提条件而致错

对于函数/>(X),若H—l)f(3)<0,贝I")

A.方程F(x)=0一定有实数解B.方程f(x)=0一定无实数解

C.方程/'(x)=0一定有两实根D.方程/'(x)=0可能无实数解

易错点9：搞不清复合函数的自变量而致错

已知/的定义域为[0,3],则f(2x-l)的定义域是()

C.1,—1U----,0D.(—8,—

_2jL2JI2」

易错点10：搞不清函数图象左右平移规则而致错

将函数y=F(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象.

Q五、刷好题

一.函数的定义域及其求法(共2小题)

1.(2021•黄浦区三模)函数f(x)=A/l-lgx的定义域为

2.(2021•黄浦区三模)如图，某城市设立以城中心O为圆心、，公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城

中心O正东方向上有一条高速公路PB,西南方向上有一条一级公路QC,现要在保护区边缘PQ弧上选择一点

4作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC.已知通往一级公路的道路4c每公里造价为«万元，

通往高速公路的道路A8每公里造价是根2a万元，其中a,匕加为常数，设NPOA=0,总造价为y万元.

(1)把y表示成6的函数y=/(。)，并求出定义域；

(2)当皿=驾返■时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

北

二.函数的值域(共1小题)

3.(2021•徐汇区校级三模)下列函数中，与函数y=/的值域相同的函数为()

A.y=(―)㈤B.y—ln(x+1)C.D.y—x+—

2xx

三.函数的图象与图象的变换(共2小题)

5.(2022•杨浦区模拟)定义域为口，句的函数y=f(x)图象的两个端点为4(a,f(a)),B(b,/(/?)),M(x,

y)是y=f(x)图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线/交线段AB于点N(点M与点N可以重合)，我

们称I而I的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域为［1，2］上的函数中，曲径最小的是()

n[jr

A.y=/B.y=—C.y=x--D.^^sin-^-x

xx3

四.复合函数的单调性(共2小题)

6.(2021•浦东新区三模)函数丫=4可的单调递减区间为.

7.(2021•徐汇区校级三模)函数y=/gsin2x的单调递减区间为.

五.函数的最值及其几何意义(共2小题)

3sin2x,x40

8.(2022•浦东新区校级模拟)若分段函数/(x)=\，将函数y=|/(x)bxE{m,川的最

2X-3,X>0

大值记作川，那么当-2W»iW2时，Z2[m,加+4]的取值范围是.

9.(2021•金山区二模)设/”为给定的实常数，若函数y=f(x)在其定义域内存在实数xo,使得/(xo+m)=/(刈)

+fCm)成立，则

称函数/(x)为“G(m)函数

(1)若函数/(X)=2、为“G(2)函数”，求实数刈的值；

(2)若函数/(X)=k_品一，为“G(1)函数”，求实数a的取值范围；

(3)已知f(x)=x+b(6eR)为“G(0)函数”，设g(x)=小-4|.若对任意的xi,X2G[O>t],当x\^x2时,

都有■!_男二!成立,求实数？的最大值.

f(X1)-f(x2)

六.函数奇偶性的性质与判断(共2小题)

10.(2021•长宁区二模)设f(x)(ae{-2,-1,—,—,1,2}),则“y=f(x)图象经过点(-1,1)”是

32

“y=/(x)是偶函数”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

TT

11.(2021•奉贤区二模)设函数f(x)=lg(1-cos2x)+cos(x+6),6e[0,—

2

(1)讨论函数y=/(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)设。>0,解关于x的不等式/(_2L+x)-/(变-x)<0.

44

七.抽象函数及其应用(共1小题)

12.(2021•上海模拟)设/(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系/(10+x)=f(10-x),f(20-x)

=-f(20+x),则/(x)是()

A.偶函数，又是周期函数

B.偶函数，但不是周期函数

C.奇函数，又是周期函数

D.奇函数，但不是周期函数

八.函数恒成立问题(共4小题)

13.(2021•浦东新区校级三模)已知实数。>0,函数/(x)=—2—,g(x)=x+a,若对任意工日-2a,2a],总

1+ax2

存在jc2e[-2m2a],使得/(X2)Wg(xi),则〃的最大值为.

14.(2021•徐汇区二模)已知实数a、b使得不等式位2+/+a|Wx对任意尤口，2]都成立，在平面直角坐标系xOy

中，点(“2)形成的区域记为C.若圆？+尸=/上的任一点都在。中，则厂的最大值为.

15.(2021•宝山区校级模拟)已知函数/(x)=3-21og2x,g(x)=log2X.

(1)当4]时，求函数〃(x)=[f(x)+l]・g(x)的值域；

(2)给定〃€N,如果对任意的x€[2",2n+l],不等式f鼠2)(4)>k，g(x)恒成立，求实数上的取值范

围.

16.(2021•黄浦区三模)已知函数/(X)(“为实常数).

2X+1

(1)讨论函数/(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)当/(x)为奇函数时，对任意x€[l,6],不等式/(x)2」二二恒成立，求实数"的最大值.

2X

口3八.刷压轴

一、填空题

—x＞0

1.(2023•上海崇明•统考二模)若函数y=e'一的图像上点A与点8、点C与点。分别关于原点对称，除此之

ar2,x＜0

外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数。的取值范围是.

2.(2023・上海徐汇•统考二模)已知函数/(x)=x+?+6,XG［/，,+8),其中＞＞0,aeR,若f(x)的最小值为

2,则实数〃的取值范围是.

二、解答题

3.(2023■上海徐汇,位育中学校考模拟预测)己知函数/(力=/一以-a,aeR.

⑴判断函数/(x)的奇偶性；

⑵若函数尸(x)=x・〃x)在x=l处有极值，且关于x的方程/(力=加有3个不同的实根，求实数机的取值范围；

⑶记g(x)=-e"(e是自然对数的底数).若对任意阳、&e［0,e］且不＞々时，均有|/(不＜|g(%

成立，求实数a的取值范围.

4.(2023・上海金山•统考一模)若函数y=/(x)是其定义域内的区间/上的严格增函数，而y=是/上的严格

X

减函数，则称y=/(x)是/上的"弱增函数”.若数列｛4｝是严格增数列，而｛今｝是严格减数列，则称｛“"｝是"弱增数

列”.

⑴判断函数尸底是否为(e,+8)上的"弱增函数"，并说明理由(其中e是自然对数的底数)；

⑵已知函数y=〃x)与函数y=-2d-4x-8的图像关于坐标原点对称，若y=/(x)是［加,〃］上的"弱增函数"，求

"一机的最大值；

⑶已知等差数列｛%｝是首项为4的“弱增数列"，且公差d是偶数.记｛%｝的前〃项和为S,,设=3黄(〃是正整

数，常数22-2),若存在正整数上和加，使得机＞1且£=图，求2所有可能的值.

5.(2023•上海嘉定•统考二模)己知〃x)=x+2sinx,等差数列｛a,,｝的前〃项和为S“，记=

/=1

⑴求证：函数y=/(x)的图像关于点(巴万)中心对称；

⑵若4、/、%是某三角形的三个内角，求心的取值范围；

(3)若53=100万，求证：7]oo=lOO^-.反之是否成立？并请说明理由.

6.(2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)设y=/("是定义在R上的奇函数.若y=/区(x>0)是严格

X

减函数,则称y=/(x)为“。函数

⑴分别判断y=-xN和y=si1u:是否为。函数，并说明理由；

(2)若y=是。函数，求正数a的取值范围；

⑶己知奇函数y=尸(x)及其导函数y=9(力定义域均为R.判断"y=F'(x)在(0,+8)上严格减"是"y=/(力为。函

数”的什么条件，并说明理由.

7.(2023•上海黄浦•上海市敬业中学校考三模)定义：如果函数y=/(x)和y=g(x)的图像上分别存在点M和N

关于X轴对称，则称函数y=/(x9”=g(x)具有c关系.

⑴判断函数=log2(8V)和g(x)=log：是否具有C关系；

⑵若函数〃x)=a在万和g(x)=-x-l不具有C关系，求实数〃的取值范围；

⑶若函数〃x)=xe'和g(x)=〃?sinxW<0)在区间(0,兀)上具有C关系，求实数，〃的取值范围.

8.(2023•上海普陀•曹杨二中校考模拟预测)对于函数/(x)和g(x),设集合A=W”x)=0,xeR},

3={Xg(x)=0,xeR},若存在x2eB,使得归—到以饮NO),则称函数/(x)与g(x)”具有性质M(k)

⑴判断函数/(x)=sinx与g(x)=cosx是否"具有性质*)",并说明理由；

⑵若函数/(X)=2*T+X-2与g(x)=/+(2-附x-2相+4"具有性质欣2)”,求实数加的最大值和最小值；

⑶设。>0且awl,b>\,若函数八幻=一优+1。8产与8(*)=-d+108户"具有性质用(1)，，，求:七一工2的取值范围.

)2

9.(2023・上海浦东新•统考一模)已知定义域为R的函数y=/(x).当awR时，若人耳=止1二£M(x>a)是严

X-CI

格增函数，则称“X)是一个"7(a)函数

⑴分别判断函数工(x)=5x+3、力(x)=2/+x+2是否为7(1)函数；

⑵是否存在实数4使得函数八，是7(-1)函数？若存在，求实数b的取值范围；否则，证明你

[hx+l,x>0

的结论；

⑶己知J(x)=e'(4£+1),其中qeR.证明：若J(x)是R上的严格增函数，则对任意“eZ,J(x)都是7(〃)函数.

10.(2023・上海崇明•统考二模)已知定义域为。的函数y=/(x),其导函数为y'=r(x),满足对任意的都

w|rw|<i.

⑴若〃x)=ax+lnr,xe[l,2],求实数a的取值范围；

⑵证明：方程=0至多只有一个实根；

(3)若y=/(x),xeR是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数演，巧，都有|/(得)7缶)|<1.

考点03函数的概念与性质（8种题型10个易错考点）

❶【课程安排细目表】

二、真题抢先刷，考向提前知

二、考点清单

三、题型方法

四、易错分析

五、刷好题

六.刷压轴

至一、真题抢先刷，考向提前知

一.选择题（共3小题）

1.（2022•上海）下列函数定义域为R的是（）

」±1

*1

A.y=x2B.y=xC.y=D.y=x2

【分析】化分数指数累为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案.

7

【解答】解：y=x-=-^,定义域为｛小＞0｝,

WX

-1

y=x=—.定义域为｛无伏#0｝，

X

y=x3=Vx-定义域为R，

y=x2=Vx＞定义域为W%2°｝.

...定义域为R的是y=X§.

故选：C.

【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题.

2.（2023•上海）下列函数是偶函数的是（）

A.y=sinxB.y=cosxC.y=x3D.y=2x

【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可.

【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y=sinx为奇函数;

对于8,由正弦函数的性质可知，y=cosx为偶函数；

对于C,由基函数的性质可知，），=/为奇函数；

对于。，由指数函数的性质可知，y=2'为非奇非偶函数.

故选：B.

【点评】本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题.

3.（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）

A.y--3xB.y—x"C.y=log3xD.y—3x

【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断.

【解答】解：y=-3x在R上单调递减且为奇函数，A符合题意；

因为y=x3在R匕是增函数，8不符合题意；

y=log3x,y=3*为非奇非偶函数，C不符合题意；

故选：A.

【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题.

二.填空题（共2小题）

4.（2020•上海）若函数工为偶函数，则a=1.

3X

【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得变形分析可得答案.

X

3（r）3

【解答】解：根据题意，函数），=行3'+」-为偶函数，贝4（-X）=/（x）,

3X

x）

即a-3''+—!^-r=a-y+—,

3X

变形可得:a（3X-3F）=（3X-3X）,

必有a=1；

故答案为：1.

【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题.

5.（2022•上海）设函数/（x）满足f（x）=f（」一）对任意旧0,+8）都成立，其值域是A/,已知对任何满足上

1+x

述条件的/（x）都有{九=f（x）,0WxWa}=4/,则。的取值范围为_［夸3,-K»）_.

【分析】由题可得{y|y=f（x），0<x<^=^}=Af，再根据2<返江时不合题意，进而即得；或等价于

——恒成立，即工_（l+a）《x恒成立，进而即得.

1+x+aa

【解答】解：法一：令解得乂地」（负值舍去），

X+12

当X1E［0,与L］时,乂27^€［与L1］，

当X］E吗L，Q）时，*24丁€（0,与与，

且当勺门写

XQ）时，总存在（0>使得f（xi）=7（"）,

4X।+1

故{y|y=f(x),0<x<^-}=Af>

若a《力易得f(0")4{yIy=f(x)，0<x<a}>

所以a理」，

即实数。的取值范围为吗M,-KO)：

法二：原命题等价于任意a>0，f(x+a)=f(--—)，

1+x+a

所以^~~--4a=x^--(1+a)恒成立,

1+x+aa

即工_(1+a)40恒成立，又a>0,

a

所以a溶二1，

即实数a的取值范围为吗=支，Q).

故答案为：普二，

【点评】本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题.

三.解答题(共3小题)

6.(2020•上海)已知非空集合AUR,函|数y=/(x)的定义域为£>,若对任意怎4且在£),不等式/(x)W/(x+f)

恒成立，则称函数f(x)具有A性质.

(1)当4={-1},判断/(x)=-x.g(x)=2%是否具有A性质；

(2)当人=(0,1),f(x)=x+2，xE[a,+8),若f(x)具有A性质，求a的取值范围；

x

(3)当人={-2,〃?},〃?ez,若。为整数集且具有A性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的机的值.

【分析】(1)利用函数的单调性结合新定义，逐个判断即可；

(2)依题意，f(x)=x」(x>a)为增函数，由双勾函数的图象及性质即得解；

x

(3)根据条件，分mWO,〃，为正偶数和，〃为正奇数三种情况，求出条件的〃，的值.

【解答】解：⑴V/(%)=-尤为减函数，

：.f(x)<f(x-\),

."■(x)=-x具有A性质；

'：gG)=2r为增函数,

；.g(x)>g(x-1),

，g(x)=2A,不具有A性质；

(2)依题意，对任意佗(0,1),/(x)W/(x+f)恒成立，

；•f(乂)=乂」(乂>&)为增函数(不可能为常值函数)，

X

由双勾函数的图象及性质可得a21,

当时，函数单调递增，满足对任意生(0,1),/(%)可(x+r)恒成立，

综上，实数a的取值范围为[1,+8).

(3)为整数集，具有A性质的函数均为常值函数，

当mWO时，取单调递减函数/(x)=-x,两个不等式恒成立，但/(x)不为常值函数；

(Qn为偈数

当机为正偶数时，取f(x)«!??黄，两个不等式恒成立，但/(x)不为常值函数；

1，n为奇数

当m为正奇数时，根据对任意正A且在。，不等式f(x)Wf(x+t)恒成立，

可得Wf(x)Wf(x+m)Wf(x+1)Wf(x-m)，

则/(x)=/(x+l),所以/(x)为常值函数，

综上，机为正奇数.

【点评】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵活运用知识的能力，属于

中档题.

7.(2021•上海)已知函数f(x)—y]Ix+aI-a-x.

(1)若4=1,求函数的定义域；

(2)若aWO,若f(ax)=。有2个不同实数根，求a的取值范围；

(3)是否存在实数小使得函数/(x)在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围.

【分析】(1)把。=1代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0求解绝对值的不等式得答案；

(2)f(ax)=a<^>VIax+aI-a=ax+a>设分+a=f》O,得“：/-/2,f20,求得等式右边关于r的函数的值域

可得〃的取值范围；

(3)分x2-a与xV-a两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数/(x)在定义域内具有单调性的〃的

范围.

【解答】解：(1)当4=1时，f(X)IX+1I-1-X,

由|x+l|-l2O,得以+1|>1,解得x<-2或x20.

.•.函数的定义域为(-8,-2]U[0,+°°)；

(2)f(ar)=VIax+aI-a-ax,

于(ax)=a=J|ax+a|-a=ax+a,

设<zx+a=fNO,；Nt-a=t有两个不同实数根,整理得a=f-产，rNO,

2

.,.a=-(t^-)->A,t^O,当且仅当时，方程有2个不同实数根，

又aWO,的取值范围是(0,—)；

4

+

(3)当x》-an寸，/(x)=VIx+aI-a--x=-总)20,在弓，°°^上单调递减，

此时需要满足-即。《一^,函数/(X)在［-〃，+°°)上递减；

当x<-“时，f(x)=7Ix+aI-a-x—V-x-2a-x,在(-8,-2a］上递减，

•.Z《T〈O,-2a>-a>0,即当时，函数/(x)在(-8,-“)上递减.

综上，当“6(-8,-1］时，函数/'(x)在定义域R