专题4.9 数列全章综合测试卷（基础篇）（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）

第四章数列全章综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）164是数列12，A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项【解题思路】利用观察法分析数列的规律即可.【解答过程】观察条件式可知原数列为：12,1故选：A.2．（5分）（2023春·北京房山·高二统考期末）用数学归纳法证明1+12+23+3⋯n+n=2n−1A．2k+1 B．2k+1 C．kk+1 【解题思路】将n=k+1时左边的等式除以n=k时左边的等式即可得解.【解答过程】解：当n=k时，左边=1+1当n=k+1时，左边=1+1所以左边应添加因式为2k+1故选：B.3．（5分）（2023秋·江苏苏州·高二校考阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列B．数列1，0，−1，−2与−2，−1，0，1是相同的数列C．数列n+1n的第k项为D．数列0，2，4，6，…可记为2n【解题思路】对A，考虑常数数列；对B，数列的项是有顺序的；对C，n=k代入，可判断；对D，考虑第一项能不能表示.【解答过程】对A，数列可为常数数列，A错误；对B，一个递减，一个递增，不是相同数列，B错误；对C，当n=k时，ak对D，数列中的第一项不能用an故选：C.4．（5分）（2023秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知等比数列an的各项均为正数，若a2=1，a8=2A．183 B．363 C．27 【解题思路】等比数列，基本量的计算，设出公比q，联立式子可求出q，a9=a【解答过程】设an的公比为q，则a8=a2因为a8=2a6+3a4，所以q因为an的各项均为正数，所以q=3．因为a2故选：D.5．（5分）（2023秋·天津和平·高三校考阶段练习）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（

）A．1011升 B．6566升 C．6766升 【解题思路】设此等差数列为{an}，公差为d【解答过程】设此等差数列为{an}由题意可得：a1+则4a1∴故选：C．6．（5分）（2023秋·云南昆明·高三校考阶段练习）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S4S8A．8 B．9 C．16 D．17【解题思路】利用等比数列前n项和的性质计算即可.【解答过程】设S4=xx≠0因为an为等比数列，所以S易知S8所以S12−S故选:A.7．（5分）（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）在数列an中，an=1n+1+2n+1+⋅⋅⋅+nn+1A．1011 B．2011 C．3011【解题思路】由等差数列求和公式可整理得到an，进而确定b【解答过程】∵a∴b∴S故选：D.8．（5分）（2023秋·天津津南·高二校考期末）已知数列an满足a1+12a2+122a3A．2n−nC．2n−n【解题思路】利用an,Sn求an通项公式，进而可得2【解答过程】由题设a1=1且a1+12a所以an=2n−1，又a1所以Sn故选：B.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023秋·海南省直辖县级单位·高二校考期末）已知数列an满足an+1=11−anA．−1 B．12 C．1 D．【解题思路】计算数列an的前四项的值，分析可知，对任意的n∈N∗【解答过程】因为数列an满足an+1=11−a3=11−a以此类推可知，对任意的n∈N∗，故选：ABD.10．（5分）（2023·高二课时练习）某个命题与正整数n有关，如果当n=kk∈N∗时命题成立，则可得当n=k+1时命题也成立，若已知当n=5A．当n=4时，命题不成立B．当n=1时，命题可能成立C．当n=6时，命题不成立D．当n=6时，命题可能成立也可能不成立，但若当n=6时命题成立，则对任意n≥6，命题都成立【解题思路】利用给定信息结合反证法的思想，逐一对各选项进行分析、推导即可判断作答.【解答过程】如果当n=4时命题成立，则当n=5时命题也成立，与题设矛盾，即当n=4时，命题不成立，A正确；如果当n=1时命题成立，则当n=2时命题成立，继续推导可得当n=5时命题成立，与题设矛盾，B不正确；当n=6时，该命题可能成立也可能不成立，如果当n=6时命题成立，则当n=7时命题也成立，继续推导可得对任意n≥6，命题都成立，C不正确，D正确.故选：AD.11．（5分）（2023秋·湖南株洲·高二校考阶段练习）设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，若a3A．数列an是递增数列 B．C．d∈−247,−3【解题思路】利用等差数列的前n项和公式和等差数列的性质得到a7<0，a6+a7>0，再利用等差数列的通项公式得到关于d【解答过程】对于选项A、C：因为S12=12(则a7<0，又因为a3=12，则24+7d>0所以等差数列an对于选项B：因为a3=12，所以对于选项D：因为等差数列an是递减数列，且a7<0则a6>0>a故选：BCD.12．（5分）（2023春·江苏南京·高二校考期末）已知an为各项为正数的等比数列，a2=14，a5=2.记Sn是数列an的前nA．数列an的公比为2 B．C．数列log2an为等差数列 D．数列log2【解题思路】根据等比数列基本量的计算得公比，即可求解等比数列的通项公式，即可判断AC,根据等比数列的求和公式即可判断BD．【解答过程】对于A：已知数列{an}所以a5=a2q对于B：由条件得：an=2×2n−5=故S2n=18×(22n对于C：由于log2an+1对于D:log2an=log故选：ABC．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知数列an的前5项为23，65，123，205，303，则a【解题思路】观察分子分母的规律可得答案.【解答过程】因为2，6，12，20，30分别可分解为1×2,2×3,3×4,4×5,5×6，所以an的第n项的分子可表示为n因为3，5，3，5，3分别减4得−1,1−1,1−1，所以数列an的第n项的分母可表示为−1故数列an的一个通项公式为a故答案为：nn+114．（5分）（2023春·陕西西安·高二统考期末）用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.【解题思路】将n＝k＋1代入，分解因式可得(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6即可.【解答过程】(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k2＋3k＋6＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.∵k(k＋1)为偶数，∴3k(k＋1)能被6整除，∴(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.故答案为：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.15．（5分）（2023秋·山东潍坊·高三校考阶段练习）若项数为n的数列an满足：ai=an+1−ii=1，2，3，⋯，n我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1【解题思路】根据题意可得ck+1【解答过程】由题意，ck+1=8，又c1，c2⋯ck+1又S2k+1=32，故2c由等差数列前n项和公式有k8−2k+6化简得k2解得k=3或k=4.故答案为：3或4.16．（5分）（2023秋·北京·高三校考阶段练习）已知数列an满足a1=1①数列an每一项an都满足0<an≤1n∈N③数列an每一项都满足an≤2n+1成立；④数列a其中，所有正确结论的序号是①③④.【解题思路】通过递推公式，判断出数列单调性，由此得到数列的取值范围，根据取值范围对①③④进行判断，算出S4【解答过程】由a1=1，得a2=1−12=S4an+1又因为a1=1，所以an+1由an+1=an−又12ananan+1=21累加可得21又因an所以n<21an+1当n=1时，a1=2由an+1=a则当n≥2时，an则an当n=1时，a1所以an故答案为：①③④.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023·全国·高二随堂练习）下图中的三角形称为谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形．图中从左向右的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列an的前4项，写出数列a

【解题思路】根据图形规律即可求解.【解答过程】解：a1=1=30，a2=3=3由规律可知an=如图：

18．（12分）（2023·全国·高二随堂练习）已知无穷数列1×2，2×3，3×4，…，nn+1(1)求这个数列的第10项和第31项．(2)420是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？(3)证明：60不是这个数列中的项．【解题思路】（1）由数列的定义得到该数列的通项公式，从而求得其第10项和第31项；（2）将420代入该数列的通项公式，从而得解；（3）将60代入该数列的通项公式，从而得证.【解答过程】（1）因为无穷数列1×2，2×3，3×4，…，nn+1所以该数列的通项公式为an则a10=10×(10+1)=110，（2）因为an将420代入，得n(n+1)=420，解得n=20或n=−21（舍去），所以420是这个数列中的第20项.（3）因为an将60代入，得n(n+1)=60，即n2+n−60=0，解得又n∈N∗，故所以60不是这个数列中的项.19．（12分）（2023·全国·高二随堂练习）设x>0，n∈N∗，且n≥2，用数学归纳法证明：【解题思路】利用数学归纳法的证明方法证明即可．【解答过程】当n=2时，左边=1+2x+x2，右边因为x>0，所以x2>0，故左边假设当n=k时，不等式成立，即(1+x)k则当n=k+1时，∵x>0，∴1+x>0，在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以(1+x)k所以(1+x)k+1>1+(k+1)x．即当综上，对一切正整数n，不等式都成立．20．（12分）（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn,a1(1)求数列an(2)若数列bn满足：bn=2n+1an【解题思路】（1）根据an与Sn之间的关系，分n=2和（2）由（1）可得bn【解答过程】（1）因为当n≥2时，2Sn=若n=2，则2S2=2若n≥3，则2S两式相减可得：2an=即ann=可知n=1不符合上式，n=2符合上式，所以an（2）由（1）可得：bn当n=1时，则Tn当n≥2时，则Tn可知n=1符合上式，所以Tn21．（12分）（2023秋·江苏淮安·高三联考阶段练习）已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)若bn=1an，求证：数列b【解题思路】（1）根据Sn,an的关系可得（2）利用放缩法，结合等比数列求和公式即可求证.【解答过程】（1）因为Sn−n3当n=1时，a1=S当n≥2时，Sn−1①-②得an=3则an−1=3(an−1−1)则an−1=3（2）因为an=3所以T<122．（