串讲04 圆锥曲线（考点串讲）（解析版）

串讲04圆锥曲线知识网络二、常考题型三、知识梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注：（1）若，M的轨迹为椭圆；（2）若，M的轨迹为线段；（3）若，M的轨迹无图形2.椭圆的方程及简单几何性质（1）焦点在x轴：①标准方程：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)②范围：－a≤x≤a且－b≤y≤b③顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)④轴长：长轴长＝eq\a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq\a\vs4\al(2b)⑤焦点：F1(－c,0)，F2(c,0)⑥焦距：|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)⑦对称性：对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)⑧离心率：e＝eq\f(c,a)(0<e<1)（2）焦点在y轴：①标准方程：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)②范围：－b≤x≤b且－a≤y≤a③顶点：A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)④轴长：长轴长＝eq\a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq\a\vs4\al(2b)⑤焦点：F1(0，－c)，F2(0，c)⑥焦距：|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)⑦对称性：对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)⑧离心率：e＝eq\f(c,a)(0<e<1)3.点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)；点P在椭圆内部⇔eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)>1.4.直线与椭圆相交的弦长公式如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).5.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：（1）当时，M的轨迹不存在；（2）当时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．（3）当时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．6.双曲线的方程及简单几何性质（1）焦点在x轴：①标准方程：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)②范围：x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)③顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)④轴长：实轴长2a；虚轴长2b⑤焦点：F1(－c,0)，F2(c,0)⑥焦距：|F1F2|＝2c⑦对称性：对称轴：坐标轴；对称中心：原点⑧离心率：e＝eq\f(c,a)(1<e<＋∞)⑨渐近线：y＝±eq\f(b,a)x（2）焦点在y轴：①标准方程：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)②范围：y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)③顶点：A1(0，－a)，A2(0，a)④轴长：实轴长2a；虚轴长2b⑤焦点：F1(0，－c)，F2(0，c)⑥焦距：|F1F2|＝2c⑦对称性：对称轴：坐标轴；对称中心：原点⑧离心率：e＝eq\f(c,a)(1<e<＋∞)⑨渐近线：y＝±eq\f(a,b)x7.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．8.抛物线的方程及简单几何性质（1）y2＝2px(p>0)①准线：②范围：x≥0，y∈R③顶点：O(0,0)④开口方向：向右⑤焦点：⑥对称性：x轴⑦离心率：e＝1（2）y2＝－2px(p>0)①准线：②范围：x≤0，y∈R③顶点：O(0,0)④开口方向：向左⑤焦点：⑥对称性：x轴⑦离心率：e＝1（3）x2＝2py(p>0)①准线：y＝－eq\f(p,2)②范围：x∈R，y≥0③顶点：O(0,0)④开口方向：向上⑤焦点：⑥对称性：y轴⑦离心率：e＝1（4）x2＝－2py(p>0)①准线：y＝eq\f(p,2)②范围：x∈R，y≤0③顶点：O(0,0)④开口方向：向下⑤焦点：⑥对称性：y轴⑦离心率：e＝19.直线与圆锥曲线相交，弦长、中点弦问题．（1）处理弦长问题，一般将直线方程与圆锥曲线方程联立得方程组，化为一元二次方程后，利用根与系数的关系，代入弦长公式或，其中k为直线AB的斜率，．（2）处理中点弦问题，一般有两种思路。思路一：联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求；思路二：利用“点差法”．四、常考题型探究考点一椭圆的定义例1.已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段【答案】D【分析】利用椭圆轨迹的相关定义即可得解.【详解】因为所以为线段上的点.故选：D.例2.已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的定义直接求解即可.【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且，所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆，设椭圆方程为，焦距为，则，解得，故动点P的轨迹方程为.故选：B【变式探究】已知是椭圆上一点，分别为的左、右焦点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的定义从而可求解.【详解】由题意知点在椭圆上，所以由椭圆的定义可得．故D正确.故选：D.考点二椭圆的标准方程例3.椭圆的离心率为，则（

）A．2 B．1 C． D．2或【答案】D【分析】对的值分类讨论，进而求得，由椭圆的离心率建立等式，进而求出的值.【详解】由于椭圆方程为，当时，则，其离心率为：，解得，当时，则，其离心率为：，解得，综上，的值为2或.故选：D.例4.已知椭圆的焦距等于2，则实数的值为．【答案】3或5【分析】讨论焦点在轴和焦点在轴上两种情况计算可得.【详解】若椭圆的焦点在轴上，则由已知得，得；若椭圆的焦点在轴上，则由已知得，得．综上，知所求实数的值为3或5.故答案为：3或5.【变式探究】已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，，求的方程．【答案】【分析】设椭圆方程，将点坐标代入求参数，即可得方程.【详解】依题意，设的方程为，且，因为经过点，，所以，解得，故的方程为．考点三椭圆的几何性质例5.已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，则的周长为（

）A．16 B．8 C．25 D．32【答案】A【分析】利用椭圆的定义计算可得；【详解】解：由椭圆的定义可知，，，故选：A．例6.设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】首先求出，再根据椭圆的定义得解.【详解】椭圆，则，所以，因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为.故选：D【变式探究】已知椭圆的两个焦点是、，点是椭圆上一点，且，则的面积是.【答案】4【分析】根据椭圆的定义和已知条件，可求出的值，再根据勾股定理，可证明是以为直角边的直角三角形，由此即可求出结果.【详解】由椭圆的定义可知，，又，联立两式，可得又，所以，所以是以为直角边的直角三角形，所以的面积为.故答案为：.考点四直线与椭圆的关系例7.直线与椭圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可.【详解】联立，则所以方程有两个不相等的实数根，所以直线与椭圆相交故选：C.例8.过点A(0,1)的直线一定与椭圆相交.（正确或错误）【答案】正确【分析】将代入椭圆方程左面直接判断即可.【详解】因为，所以A(0,1)在椭圆内，故过点A(0,1)的直线一定与椭圆相交.故答案为：正确【变式探究】已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点，，(1)求的标准方程；(2)写出的焦点和顶点坐标.【答案】(1)(2)焦点坐标为，顶点坐标为，【分析】（1）设椭圆的方程为（，，），代入求解即可；（2）由（1）的结论即可得出答案.【详解】（1）设椭圆的方程为（，，），则，解得，，椭圆的标准方程为.（2）椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，顶点坐标为，.考点五双曲线的定义例9.已知双曲线的左、右焦点为，，若双曲线上存在点满足，则双曲线的一条渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用双曲线定义得a值，进而求得渐近线方程【详解】由题意，则，故渐近线方程为故选：D例10.双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（

）A．1 B．13 C．1或13 D．3【答案】B【分析】根据双曲线的定义即可求解.【详解】是双曲线左支上的一点，所以，解得：，由双曲线定义可知，，所以13.故选：B.【变式探究】若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（

）A．4 B．10 C．2或10 D．4或12【答案】D【分析】通过对点的位置进行分类讨论,再结合双曲线的定义进行运算即可.【详解】由双曲线的方程可得,所以,可得.设右焦点为,左焦点为,当点在左支上时,则,所以；当点在右支上时,．故选:D.考点六双曲线的标准方程例11.焦距为26，且经过点的双曲线的标准方程是.【答案】【分析】由题意得到，，得到双曲线方程.【详解】∵双曲线经过点，∴为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且.又，∴，∴.∴双曲线的标准方程为.故答案为：例12.已知双曲线的焦距为6，它的离心率为3，则该双曲线的标准方程为.【答案】或【分析】根据双曲线的焦距和离心率求出，再分两种情况写出标准方程.【详解】依题意，，由，得，所以，当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为；当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为.故答案为：或.【变式探究】已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点，求双曲线的方程.【答案】【分析】由双曲线所过的点，利用待定系数法即可求得双曲线方程.【详解】设曲线的方程为，由曲线过，两点，得，解得，所以曲线的方程为.考点七双曲线的几何性质例13.如果曲线经过平移坐标轴后的新方程为，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将曲线方程化简，在观察此方程由什么样的平移方式得到新方程为，从而就得到答案.【详解】由曲线方程，得，可知该双曲线的中心为，它经过平移坐标轴后的新方程为，在新坐标系下，双曲线的中心变为，因此新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为故选：D.例14.双曲线的实轴长比虚轴长短（

）A．4 B．2 C．10 D．20【答案】A【分析】根据双曲线方程求出实轴长和虚轴长，进而求解即可.【详解】由双曲线，则，，即，所以实轴长为，虚轴长为，所以实轴长比虚轴长短4.故选：A.【变式探究】已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的实轴长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由抛物线方程求得其焦点坐标，进而求得c的值，再由双曲线中a、b、c的关系求得a的值，进而求得实轴长.【详解】抛物线的焦点为，所以，由得，所以，所以实轴长为.故选：D.考点八直线与双曲线的关系例15.双曲线：的渐近线恰好与曲线相切，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设渐近线方程联立，利用判别式求得斜率，然后根据公式可得.【详解】设双曲线的渐近线为，代入联立可得，由条件可知，故，故，则的离心率为.故选：C例16.若双曲线的一条渐近线方程为，则．【答案】【分析】由题意得，从而可求出的值【详解】根据题意得，解得.故答案为：81【变式探究】已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．(1)求双曲线的方程；(2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由渐近线公式，以及代入点的坐标，即可求解双曲线方程；（2）直线方程与双曲线方程联立，根据交点个数，求实数的取值范围.【详解】（1）由条件可知，，且，解得：，，所以双曲线方程为；（2）设直线的方程为，联立，，时，，得；当时，时，，得，满足条件，综上可知，或.考点九抛物线的定义例17.已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.【详解】抛物线的准线方程为，又点在抛物线上且纵坐标为，所以点到的焦点的距离为.故选：B例18.已知为抛物线：（）上一点，点到的焦点的距离为，则（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】根据抛物线的定义列方程来求得的值.【详解】根据抛物线的定义可知，.故选：C【变式探究】若抛物线（）上一点到其焦点的距离为3，则该抛物线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离求解.【详解】抛物线的准线方程为，所以点P到焦点的距离为，所以，抛物线的方程为.故选：A.考点十抛物线的标准方程例19.已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直线与轴的交点坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，得到答案.【详解】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，故，解得，抛物线的标准方程为．故选：D．例20.抛物线的准线方程是，则其标准方程是.【答案】【分析】根据准线方程可求抛物线的标准方程.【详解】由抛物线的准线方程是可知，抛物线开口向上，焦点为坐标，则抛物线的标准方程为.故答案为：.【变式探究】已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点，求这个抛物线的标准方程．【答案】【分析】根据抛物线的性质，利用待定系数法即可求解.【详解】根据已知条件可设抛物线的标准方程为，因为点在抛物线上，所以，因此．从而可知所求方程为．考点十一抛物线的几何性质例21.若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标可以为（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先求得焦点坐标，然后根据抛物线的定义求得点的坐标.【详解】设抛物线的焦点为，则，依题意可知，所以，则.所以点坐标为：、.故选：BD例22.若点为抛物线上的动点，为该抛物线的焦点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由抛物线的性质：焦半径最小时，抛物线上的点必为顶点；结合