函数的周期性奇偶性综合应用常见小题讲义高三数学一轮复习

函数的周期性、奇偶性综合应用常见小题总结知识归纳(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对定义域内任一自变量的值x：(1)若，则T＝2a(a>0)．证明：(2)若，则T＝2a(a>0)．证明：(3)若，则．证明：常见小题总结一、单选题1.已知定义在上的偶函数满足，若，则(

)A.0 B. C.3 D.62.定义在R上的函数满足，则下列是周期函数的是A. B. C. D.3.已知定义在R上的函数满足，，当时，，则等于(

)A.2 B.1 C. D.4.已知是定义域为的奇函数，满足若，则(

)A.0 B.2 C.4 D.205.定义在R上的偶函数满足，且当时，，则等于(

)A.10 B. C. D.6.已知函数是定义在R上的偶函数，满足，且在区间上是减函数，则(

)A. B.

C. D.7.已知函数是定义在R上的奇函数，满足，当时，，且，则(

)A. B.0 C. D.20218.定义在R上的函数满足：且，若，则的值是(

)A.0 B. C.1 D.无法确定二、多选题9.已知为定义在R上的偶函数，当时，有，且当时，，则下列命题中正确的是(

)A.

B.函数在定义域上是周期为2的周期函数

C.直线与函数的图象有两个交点

D.函数的值域为10.已知定义在R上的函数满足，，，且为奇函数，则(

)A.为奇函数 B.为偶函数

C.是周期为3的周期函数 D.11.已知是定义域为的奇函数，满足若，则下列判断正确的是(

)A. B.4是的一个周期

C. D.必存在最大值12.已知函数为定义在R上的奇函数，且满足，则下列说法正确的是.(

)A.函数是以2为周期的周期函数 B.函数是关于对称

C. D.函数为偶函数

答案和解析1.【答案】B

【解答】解：根据题意，函数满足，则，

又由为偶函数，则有，

则有，即函数是周期为4的周期函数，

由，令可得，

，，

所以

故选2.【答案】D

【解答】

解：设，则，是周期为1的函数；对于A，B，C均无法证明其具有周期性.

故选：3.【答案】A

【解答】

解：定义在R上的函数满足，

故函数为奇函数．

再由，

故函数为周期函数，且周期为4，

所以

故选4.【答案】B

【解答】解：是定义域为的奇函数

所以，可得，

，即有，即

进而得到，

为周期为4的函数

若，可得，，

则，

可得

故选5.【答案】C

【解答】

解：，

，

所以的一个周期为6，

，

，

，

即

.

故选6.【答案】C

【解答】

解：因为是定义在R上的偶函数，且，所以，即，所以函数是以6为周期的周期函数，所以，，，因为在上是减函数，所以，即7.【答案】C

【解答】

解：，，

又是奇函数，所以，

，

，

则函数的周期是4，

是定义在R上的奇函数，

，

又当时，，且，

，

，

两式联立可解得，，

当时，，

，，，，

，

故选：8.【答案】B

【解答】

解：函数满足，

，

，

函数为奇函数，

又满足，

，则，

，

函数为周期函数，周期，

故选：9.【答案】AD

【解答】

解：因为当时，有，

所以，

所以当时，函数的周期为

又因为，

所以，

当时，

所以，

作出的图象，如图所示：

对于A，因为，

，

所以，故A正确；

对于B，由图象可知函数在定义域上不是周期函数，故错误；

对于C，由图象可知，与只有一个交点为，故错误；

对于D，由图象可知函数的值域为，故正确．

故选：10.【答案】BCD

【解答】

解：根据题意，依次分析选项：

对于A，函数的定义域为R，且，则不会是奇函数，A错误；

对于B，定义在R上的函数满足，可得，

而为奇函数，则，

则有，即函数为偶函数，B正确；

对于C，若函数满足，则有，

即函数是周期为3的周期函数，C正确；

对于D，是偶函数且其周期为3，则，，

则，

故，D正确；

故选：11.【答案】BC

【解答】

解：为上的奇函数，且，

，，

，

关于对称，且的周期为4，

又，，

，

，

，

对于A，，故错误；

对于B，4是的一个周期，正确；

对于C，，正确；

对于D选项，根据题意不能得出必存在最大值，故错误.

故选12.【答案】BCD

【解答】

解：满足且定义在R上的奇函数，

所以，

所以