2018年高考文科数学分类汇编：A单元集合与常用逻辑用语

A单元集合与常用逻辑用语

A1集合及其运算

l.Al［2018•全国卷I］已知集合4={0,2},8={-2,-1,0,1,2},则")8=()

A.{0,2}B.{1,2}

C.{0}D.{-2,-l,0,l,2}

l.A［解析］4n8={0,2}。{-2,-1,0,1,2}={0,2},故选A.

2.A1［2O18•全国卷□］已知集合八={：1,3,5,7},8={2,3,4,5},则418=()

A.{3}B.{5}

C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7)

2.C［解析］4nB={l,3,5,7}n{2,3,4,5}={3,5},故选C.

l.Al［2018•全国卷ID］已知集合八=W〃-120},8={0,1,2},贝1］/^8=()

A.{0}B.{1}

C.{1,2}D.{0,1.2}

1.C［解析］:A={xlx>l},B={0,l,2},.'.Af\B={l,2}.

l.Al［2018•北京卷］已知集合人心|冈<2},8={-2,0,1,2},则418=()

A.{0,1}B.{-l,0,l)

C.{-2,0,l,2}D.{-1,0,1,2}

［解析「

l.AJA={x11x|<2}={x|-2<x<2},B={-2,0>1,2},/.Afl8={0,l}.

l.Al［2018・天津卷］设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={xeR|-14x<2},则(AUB)nC=(

A.{-1,1}B.{0,l}

C.{-l,0,l}D.{2,3,4}

l.C［解析］先求人g={-1,0,1,2,3,4},再求(*8)4>{-1,0,1}.故选心

l.Al［2018•浙江卷］已知全集U={l,2,3,4,5},A={l,3}〃JCuA=()

A.0B.{1,3}

C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}

l.C［解析］由补集的定义可知,CuA={2,4,5},故选C.

1.Al［2018•江苏卷］已知集合力={0,1,2,8},决{-1,1,6,8},那么A^B=

1.{1,8}［解桐由题意得,而8={1,8}.

A2命题及其关系、充分条件、必要条件

4.A2［2018•北京卷］设a,b,c,d是非零实数，则"ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.B［解桐当ad=bc时例如1*8=4*2,但1,4,2,8不能构成等比数列，故充分性不成立;反之,

由等比数列的性质易得必要性成立.

11

ll.A2［2018•北京卷］能说明“若a>b,则，为假命题的一组a,b的值依次为.

11.1,-1（答案不唯一）［解桐当a>O>b时,■<*不成立.

3.A2R018•天津卷］设xeR,则“X3>8”是“|x|>2"的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.A［解桐由x3>8,解得x>2,此时一定有|x|>2；反之，由|x|>2,解得x>2或x<-2,不一定能得出

x3>8.故。3>8”是“|x|>2"的充分而不必要条件.故选A.

A3基本逻辑联结词及量词

A4单元综合

2.［2018・桂林、贺州联考］若集合岫x|log2X<1},集合归侬2-140},则除心()

A.{A|1<X<2}

B.{M0-1}

C.{A|-1O<1}

D.{x|-1<x<2}

2.B［解析］:加力如^^^闫松^^上归加^④闫必-作碎

9.［2018•河南中原名校联考］设全集4m3,1d-2a+1},集合4={1,3},(：必加)},则a的值为

()

A.OB.1

C.-2D.-1

9.B［解桐由已知可得0靖4Oea.ia2-2a+1=O,解得a=1.故选B.

11.［2018・淄博模拟］下列说法错误的是()

A.命题汨AbeR吊-府-2=0”的否定是“VASR,X2-X-2*0"

B.在A/18C中,“sinA>cosB,是'^ABC为锐角三角形”的充要条件

C.命题“若a=0,则数=0"的否命题是''若会0,则必*0"

D.若pvq为假命题，则0,q均为假命题

11.B［解析］命题“mxoeR,。府-2=0”的否定是“VxeR,/-x-2*0”,A说法正确；：sin30°>cos

120°,.•.在“8C中,"sinGcosB'是""8C为锐角三角形”的必要不充分条件,B说法错误;命题

“若a=0,则ab=O”的否命题是“若a*0,则ab*O",C说法正确;若0/g为假命题，则2g均为假命

题,D说法正确.

13J2018•沈阳期末］“a=-1"是''直线A：x+ay册=0与直线〃:(a-2)x+3y+2a=0平行’的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

13.C［解桐根据题意，若川色则有专事量解得a=-1;反之，当a=-1时，直线/x-%6或其斜

率为1,直线4：-3x+3%2=0,其斜率为1,且/i与々不重合厕同也故选C.

16J2018•青海西宁五中月考］由命题？MeRW+2刈+30”是假命题，求得实数6的取值范围

是(a,+8),则实数a=.

16.1［解析］由题意得命题"VASR,**2X，/77>0”是真命题，所以△=44。<0,即m>1,故实数

m的取值范围是(1,+8),从而得实数a的值为1.

B单元函数与导数

B1函数及其表示

13.B1［2O18•全国卷I］已知函数/(x)=log2(x2+a),若/⑶=1,则a=.

13.-7［解析］由/(3)=log2(9+a)=l,得9+a=2,即a=-7.

5.B1,B7［2O18•江苏卷］函数的定义域为.

flyx120.

5.［2,+oc)［解析］要使函数仆)有意义，必须满足解得在2,则函数仆)的定义域为

［2,+分

B2反函数

B3函数的单调性与最值

,"MO.

12.B3[2018逢国卷I]设函数/(x)=ll=>°，则满足/(x+l)42x)的x的取值范围是()

A.(-8,-i]B.(0,+°°)

C.(-l,0)D.(-0o,0)

产+lMO,

12.D［解桐/(x)的图像如图所示.当匕1cM°。即x<-l时,若满足/(x+l)J(2x),则满足x+l>2x,

p+1>0.

即x<l,此时xV-l；当匕“<■即-l<x<0时,/(x+l)</(2x)恒成立.综上,x的取值范围是x<0.故选

D.

B4函数的奇偶性与周期性

16.B4［2018•全国卷ID］已知函数/(x)=ln("l+Y-xHl/gAd,则/(-a)=.

16.-2［解桐由题，(-x)=ln(VT"+x)+l.

/(x)+/(-*)=ln(Vl+x2-x)+l+ln(Vl+x2+x)+l=ln(l+x2-x2)+2=2,

f(a)+f(-a)=2,.-.f(-a)=-2.

5.B4［2018•浙江卷］函数y=2%in2x的图像可能是()

5.D［解桐令Kx),则/(-x)=2/*/sin(-2x)=-2/*/sin2x=-/(x),故/(x)为奇函数，其图像关于原点对

称，排除A,B.当雁

p^+Zx+^jfSO.

14.B5［2018•天津卷］已知aeR,函数/(x)=L/+2H-2ar>0.若对任意向3+8)/(刈43恒

成立，则。的取值范围是

Il叶———成立，即恒成立，因

为x>0时,-x2+x的最大值为■，所以当-34x40时/(x)=x2+2x+a-2,此时只需x2+2x+a-24-x恒成

立，即a<-x2-3x+2恒成立，因为在卜3,0］上,-X2-3X+2的最小值为2,所以。42.故a的取值范围为

?2

B6指数与指数函数

7.，

5.B6、B7R018・天津卷］已知a=log3%=G),c=lo孽，则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

py?更¥

a

5.D［解析］根据指数函数性质得=1,根据对数函数性质得Iog3>l,lo2S=log35>l,且

7

Iog3'<log35,所以c>a>b.故选D.

B7对数与对数函数

7.B7［2018•全国卷田］下列函数中,其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=l对称的()

A.y=ln(l-x)B.y=ln(2-x)

C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

7.B［解析］y=lnx的图像过点(1,0),点(1,0)关于直线x=l的对称点还是(1,0),将(1,0)代入选项,

只有B项满足，故选B.

B8幕函数与函数的图像

B9函数与方程

pc4d

15.B9［2018•浙江卷］已知/R,函数/(x)上三虹+3,<A■当^2时,不等式/(x)<0的解集

是.若函数/(x)恰有2个零点，则A的取值范围是.

15.(1,4)(1,3］U(4,+8)

［解相当A=2时，函数/(x)的图像如图所示J(x)<0的解集为(1,4).

当A<1时/(x)只有1个零点为4；当1<A<3时,/(x)有2个零点为1和4；当3〈心4时J(x)有3个

零点为1,3和4；当A>4时,/(x)有2个零点为1和3.故当1<心3或A>4时J(x)有2个零点.

B10函数模型及其应用

ll.B10［2018•浙江卷］我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值

钱五;鸡母一，值钱三;鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁,鸡母,

r+y+z=100.

.当z=8i时,x=,=.

{5x+3y+*=100y

fx+y=19,仔=8.

11,811［解桐把z=81代入方程组，得除+3y=73,解得(y=ll.

B11导数及其运算

6.B11［2O18•全国卷I］设函数/(x)=x3+(a；)x2+ax.若/(x)为奇函数厕曲线y=/(x)在点(0,0)处的

切线方程为()

A.y=-2xB.y=-x

C.y=2xD.y=x

6.D［解析］因为/(x)为奇函数，所以a-l=0,即a=l,所以/(x)=x3+x,所以r(x)=3x2+l.因为广(0)=1,

所以曲线y成x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.

21.B11,B12［2O18•全国卷I］已知函数/(x)=aeFnx-l.

⑴设x=2是/)的极值点，求°,并求/(x)的单调区间；

1

⑵证明:当应e时惮0.

1

21.解:(l)/(x)的定义域为(0,+8)/(x)=aex)

由题设知/(2)=0,所以a=w.

x/x

从而f(x)二—匚e-lnx-1,/(x)=—匚e--

(2e2)(2/)x

当0<x<2时,/'(x)<0；当x>2时,(x))0.

所以/(x)在(0,2)单调递减，在(2,单调递增.

1S

⑵证明:当a>EBi：,f(x)>e-lnx-l.

Ev

设g(x)=e-lnx-1,则g'(x)=--——.

ex

当0<x<l时,g<x)<0；

当X>1时,g<x)>0.所以x=l是g(x)的最小值点.

1

故当x>0时,g(x)Ng(l)=0.因止匕，当应15时/(x)*.

13.B11［2O18•全国卷口］曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为.

22

13.2x-y-2=0［解桐因为/上所以曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线斜率为工2,所以切线方程为

y-0=2(x-l),SP2x-y-2=0.

1

21.B11,B12［2O18•全国卷口］己知函数/(x)=3x3-a(x2+x+l).

⑴若。=3,求/(x)的单调区间；

(2)证明:/(x)只有一个零点.

21.解:⑴当。=3时/(X)=A3-3X2-3X-3/(X)=X2-6X-3.

令f(x)=o,解得x=3-2^或x=3+26.

当xe(-8,3-2H)U(3+2H,+8)时/仅)>0;

当xe(3-2第,3+2舛时/(x)vO.

故/(x)在(-8,3一2迎),(3+2迎,+8)单调递增，在(3.26,3+26)单调递减.

⑵证明:由于x2+x+l>0,所以/(x)=0等价于Jn-3a=o.

设g(x)=7^^-3a,则g'(x)=NO,仅当x=0时9。)二0,所以9«)在卜8,#8)单调递墙故g(x)

至多有一个零点，从而/(x)至多有一个零点.

?fa-lV??

又/(361)=-6。2+2。-3=-6,〃/<0,/(3。+1)=3>0,故/(x)有一个零点.

综上J(x)只有一个零点.

19.B11,B12[2018・北京卷]设函数/(x)=[ax2-(3a+l)x+3a+2]e'.

(1)若曲线y寸(x)在点(2/⑵)处的切线斜率为。，求a;

(2)若/(x)在x=l处取得极小值，求a的取值范围.

19.解:⑴因为/(x)=[ax2-(3a+l)x+3a+2]ex,

所以/'(x)=[ax2-(a+l)x+l]ex,/'(2)=(2o-l)e2.

1

由题设知/'(2)=0,即(2a-l)e2=0,解得oZ

⑵(法一)由⑴得F(x)=[ax2-(a+l)x+l]e*=(ax-l)(x-l)e".

若a>l,则当xe(Ll)时,/'(x)<0；当xe(l,+8)时/(x)>0.

所以/(x)在x=l处取得极小值.

若aMl,则当x40,l)时,ax-lWx-l<0,所以r(x)>0.

所以1不是/(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+8).

(法二)_f(x)=(ax-D(x-l)e".

①当a=0时，令/'(x)=0得x=l.

r(x)/(x)随x的变化情况如下表:

X(-8,1)1(1,+8)

r(x)+o-

M,极大值、

所以/(X)在X=1处取得极大值，不合题意.

②当o>0时，令r(x)=O得XI=・,X2=L

(i)当Xi=X2,即a=l时/(x)=(x-l)2e"20,

所以f(x)在R上单调递增，所以/(X)无极值，不合题意.

(ii)当X1>X2,即0<a<l时/(x),/(x)随X的变化情况如下表：

x(7)19.？；&十.

f(x)+0-0+

/(X)7极大值、极小值/

所以/(X)在X=1处取得极大值，不合题意.

(iii)当X1<X2,即a>l时/(x),/(x)随x的变化情况如下表：

'(-3:gl)1(1,+河

f'(x)+0-0+

/(X)7极大值\极小值/

所以/(X)在x=l处取得极小值，即a>l满足题意.

(3)当a<0时，令r(x)=0得Xi=",X2=l.

/'(x)J(x)随x的变化情况如下表：

f'(x)0+0-

f(x)、极小值/极大值、

所以/(X)在X=1处取得极大值，不合题意.

综上所述,a的取值范围为(1,+8).

1O.B11[2O18・天津卷]己知函数/(x)=e、lnx『(x)为/(x)的导函数，则广(1)的值为

lO.e［解析］r(x)=e*lnx+\所以/'⑴=e.

2O.B11>B12R018,天津卷］设函数/(x)=(x-h)(x-t2)(x-t3),其中hh匕wR,且h,31是公差为d

的等差数列.

⑴若t2=O,d=l,求曲线y寸(x)在点(0/(0))处的切线方程；

(2)若”3,求*x)的极值;

(3)若曲线y寸(x)与直线y=-(x-t2)-6百有三个互异的公共点，求d的取值范围.

20.解:(1)由己知，可得f(x)=x(x-l)(x+l)=x3-x,故F(x)=3x2-1.

因此/(0)=0/(0)=-1,又因为曲线y犷x)在点(0/(0))处的切线方程为y-/(O)=f(O)(x-O),故所求切线

方程为x+y=O.

332

⑵由已知可得/(x)=(x-f2*3)(x-t2)(x-f2-3)=(x-t2)-9(x-t2)=x-3t2x^(3^-9)x-^^9t2.

,2t

故/(x)=3x-6t2x+3^-9.

令/'(x)=0,解得XW-遮或x$+6.

当x变化时,r(x)/(x)的变化情况如下表：

X(-8,6-)t2_(t2-,t2+)t2+、(t2+,+8)

f(x)+oo+

/(x)/极大值、极小值/

所以函数/(X)的极大值为*2-H)=(-V5)3-9X(-H)=6V5；

函数/(x)的极小值为*2+H)=(H)3-9x(V5)=-6遮.

⑶曲线y寸(x)与直线y=-(x-t2)-6H有三个互异的公共点等价于关于x的方程

(x-t2^d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)+6^-0有三个互异的实数解.

令"=x-t2,可得u3+(l-c/2)u+6^0.

设函数g(x)=x3+(l-d2)x+6H,则曲线y或x)与直线片有三个互异的公共点等价于函

数g(x)有三个零点.

g'(x)=3x2+(l-d2).

当d2<l时，(x)NO,这时g(x)在R上单调递增，不合题意.

当d2>l时，令g'(x)=O,解得x-有丛2=).

易得,g(x)在(-8,刈)上单调递增，在［x］,X2］上单调递减，在的,+8)上单调递增,g(x)的极大值

若g(X2)",由g(x)的单调性可知函数g(x)至多有两个零点，不合题意.

2

若g(x2)<0,即(d-l>>27,也就是ld/>V10，此时/d/>X2,g(/d/)=/d/+64>0,且

・2/d/<Xi,g(-2/d/)=-6/d/3-2/d/+6返〈-62“^心后<0,从而由g(x)的单调性，可知函数g(x)在区

间卜2/d/,xi),(xi,X2),(X2,/d/)内各有一个零点，符合题意.

所以,d的取值范围是(・8「同)U(同,+引.

B12导数的应用

9.B12［2018逢国卷印］函数厅-/仪2+2的图像大致为()

9.D［解析］y'=-4x3+2x=-2x(俱⑴(俱+1),易知当x>。时，函数在(.今上单调递增,

在惇4)

上单调递减,又函数y为偶函数，故选D.

21.B12［2018•全国卷已知函数/(x)=

(1)求曲线y=/(x)在点(0,-1)处的切线方程；

(2)证明:当aZl时,/(x)+e*.

启历*1.+7

21.解:⑴/仅=*/9)=2.

因此曲线y=/(x)在(0,-1)处的切线方程是2x-y-l=0.

⑵证明:当a>l时,/(x)+eN(x2+x-l/ex+i)e*.

令g(x)=x2+x-l+e"L则g'(x)=2x+l+ex+1.

当x<-l时,g〈x)v0,g(x)单调递减;当x>-l时,g〈x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)>g(-l)=0.

因止匕f(x)+eN0.

22.B12[2018•浙江卷]已知函数f(x)=Rlnx.

⑴若/(X)在X=X1,X2(X1*X2)处导数相等，证明：/(xiW(X2)>8・8ln2;

(2)若aW3-4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=/(x)有唯一公共点.

11

22.证明:⑴函数段)的导函数片力3尸，

工111

由F(X1)=F(X2)得丽工

J_J_1

因为M*X2,所以gg='

由基本不等式得5”1:历+疡22眄药，

因为x#X2,所以XIX2>256.

1____

bU-三0K1的

由题意得/(xi)tf(^2)=vsi-lnxi-M/^a-lnX2=-ln(xiX2).

-VS

设g(x)=2-Inx,

则g«x卢申4),

所以

X(0.16)16(16,十可

g'(x)-0+

g(x)2-4ln2z

所以g(x)在(256,+8)上单调递增，故g(xix2)>g(256)=8-8ln2,

即/(xi)+f(x2)>8-8ln2.

(2)令m=e-W),"=‘k'+1,则/(团)・痴・0>/4/+心-应0/(。)・质・0<7?^^.》丙<0,

所以，存在xo《m,r))使/(xo)=kxo+o,

所以，对于任意的OER及依(0,+8),直线y=kx+a与曲线y=/(x)有公共点.

^Blnr-a

由f(x)=kx+a得k=*.

设h(x)=*，则h1(x)=-7=1-，其中g(x)=2-lnx.

由(1)可知g(x)Ng(16),又a<3-4ln2,故・g(x)・：l+a£g(16)-l+o=・3+4ln2+a<0,

所以/7仅40,即函数除)在(0,+8)上单调递减，因此方程f(x)-kx-o=0至多有1个实根.

综上，当o«3-4ln2时，对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.

11.B12［2O18•江苏卷］若函数0)之芹-a*+1(%R)在(0,+8)内有且只有一个零点，则f(x)在

卜1,1］上的最大值与最小值的和为.

11.-3［解析］由题意得,f(x)=6*・2ax=2M3x-a).当小。时，对任意於(0,+8),f(x)>0,则函数f(x)

在(0,+8)上是增函数，则f(x)>f(0)W,则f(x)在(0,+8)上没有零点，不满足题意，舍去.当a>0时，

令f(x)=0及x>0彳导x4,则当於(0；)时,外用<0,当法(>J时,外用乂),因此函数f(x)的单调

递减区间是(0；),单调递增区间是(3+8),在X题0)取得极小值以二方*.而函数的在

(0,+oc)内有且只有一个零点，所以+1=0,解得a=3,因此＜刃=2*3-3*+1,则

a»=2M3x-3).令左)=0,结合得x=O或x=1.而当於(-1,0)时,(月＞0,当XG(0,1)

时,CM<0,则函数内0在(-1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，所以f(X)max=f(0)=1.又

f(-1)=-4,f(1)=0,所以f(X)min=-4,故在［-1,1］上的最大值与最小值的和为3

17.C9,B12［2O18・江苏卷］某农场有一块农田，如图1-5所示,它的边界由圆O的一段圆弧

例尸M尸为此圆弧的中点)和线段仞V构成•已知圆。的半径为40米，点尸到〃/V的距离为50

米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚胸的地块形状为矩形Z8C2大棚/烟的地块

形状为A。尸，要求48均在线段例/V上,C,。均在圆弧上.设。。与例/V所成的角为6.

(1)用8分别表示矩形Z8CD和ACA尸的面积,并确定sin6的取值范围；

(2)若大棚两种植甲种蔬菜，大棚/两种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比

为4:3,求当6为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

图1-5

亿解:⑴连接尸。并延长交MN千〃则PHLMN,所以0*10.

过。作OE工BC于£则例儿所以/COE=a

故(9E=40cos0,£C=4Osin6,

则矩形为8C。的面积为2,40cosa40sin8+10)=800(4sin6tos6代os0),

△。〃尸的面积为工应必。^^0(4O-4Osin3=1600(cos8-sinaos0).

过/V作GM例N分别交圆弧和的延长线于G和/<则GK=KNfO.

令NGOK=4，则sin仇二’,4€(0,工).

当兵［比:)时，才能作出满足条件的矩形Z8C。，

所以sin。的取值范围是艮).

答:矩形48CA的面积为800(4sin6bos0-fcos4平方米,尸的面积为1600(cos8-sin

Ocos。平方米,sin8的取值范围是

(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4.3

设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3《七＞0),

则年总产值4kM00(4sin比os，9os功+3A*1600(cos6-sin/osS=8000k(sinaos6gos3),

生［&：).

设46)=sin/os69os6,a［4：)，

贝ijf［0)=cos20-sin20-sin8=《2sin264in8-1)=32sine-1)(sin8+1).

令4。割得加1

当生［比外时同功X),所以43为增函数；

当住(连)时，(功＜0,所以《功为减函数.

因此，当(9专时,曾取到最大值.

答:当8至时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

19.B12,B14［2O18•江苏卷］记《月国⑺分别为函数的导函数.若存在府eR,满足

心⑷力府)且外府)引(加),则称府为函数4月与仪才的一个"S点".

(1)证明:函数心()中与或短x2不存在"S点"；

(2)若函数AA)=3A2-1与4吊6X存在“S点”，求实数3的值;

1

⑶已知函数外)=/3以用=.，对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数KM与/用在区间(0,+s)

内存在“S点”，并说明理由.

19.解:⑴证明:函数外)=X4M=*+2*-2,则f\^)=\,g[^)=Q.x+2.

[*=x2+2z-2.

由外)=水见且ZWRIW得h=2w+2.此方程组无解，

因此,与仪切不存在“S点”.

⑵函数4H=a*-1，dx）=lnx,则f[^=Q.ax,g[^:^.

fazQ-l=lnz（x

21110=-,件-l=lno

设加为/W与内）的“S点”，由《松）带（%）且"府）=g（府）海,即12M='（）

1J—

得In府=-■，即府=“，则3,，吟1石.

eel

当aW时，刈=满足方程组()即的为由)与p(x)的“S点”.

因此旧的值为最

⑶对任意aX),设KB=*3*・ax+a.

因为/?(0)=4>0,饵1)=1-3刃七二-2<0,且饵用的图像是不间断的，

所以存在府[0,1),使得h(XQ)=O.

.一

令加93,则z?x).函数1用

则(H=-2x,g(M=1.

产+T产+。=晶三

由且am=g(a得''即1一中京41,(*)

此时,也满足方程组(巧，即小是函数外)与4m在区间(0,1)内的一个“s点”.

因此,对任意a>0,存在。乂）,使函数仆）与双力在区间。心）内存在“S点”.

B13定积分与微积分基本定理

B14单元综合

3.B14[2018・全国卷口]函数/（x）=T的图像大致为（）

尸W

3.B［解析］由题易知x*0.因为/(-x)='=-/(x),所以函数/(x)为奇函数，所以A错;当x>0

1

时,e、>e",此时段)>0,所以D错;当x=l时J(l)=eF>2,所以C错.故选B.

12.B14R018•全国卷U］已知知)是定义域为(4,+可的奇函数，满足/(Lx)=/(l+x).若/⑴=2,

则f(l)田(2)加3)+…然50)=()

A.-50B.OC.2D.50

12.C［解桐因为/(x)是奇函数，所以的)=0,且即又由成1+x)

得/(x+l)=-/(x-l),所以/化+2)=-/(*)/仕+4)=次*+2)=-［负刈4(刈,所以/口)是以4为周期的周期函数.

因为/(1)=2,/(2)=/(1+1)=/(1-1)=/(0)=0,/(3)=/(-1)=-/(1)=-2,/(4)=/(0)=0,所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

故/(1)42)+/(3)+…+/(50)=/(1)+/(2)=2,故选C.

9.B14,C1［2O18•江苏卷］函数4A)满足f(x+4)=f(x)(xeR),且在区间(-2,2］

'coS芋QVmMZ,

上,f(x)42则f(f(15))的值为.

9.T［解析］由f(x+4)=f(x)(xeR),得f(15)=f(-1+4x4)=f(-1),又-1e(-2,0］,所以

*15)=4-1)=I-1+W2而%(0,2］,所以^15))=^=cos(l^)=cosi=T

5.［2018•济宁期末］已知函数①上^^则?'胡)=()

A.OB.3

1

C.1D3

5.D［解析］由函数的解析式可得£)=log2；=-1,则"©)={-1)=3-14.

14.(2018•天津一中月考］已知奇函数4R在R上是增函数,©=xg若

a带(4og25.1),。科(2。,8),6和(3),则a,Z>,c的大小关系为()

A.a〈b〈cB.c<b<a

C.b<a<cD.b<c<a

14.C［解析］因为《X)是奇函数且在R上是增函数,所以当x>0时从而是R

上的偶函数，且在(0,%)上是增函数.因为a带(』og25.1)=aiog25.1),且4<5.1<8,所以

2<log25.1<3,所以0<208<log25.1<3,所以p(208)<y(log25.1)<y(3),6PZJQVC,故选C.

8.［2018•北京四中期末］设函数外)的定义域为。，若存在正实数刀,使得对任意法。,都有

外力7?)>仆),则称/W为。上的“6型增函数”.已知函数封)是定义在R上的奇函数，且当x>0

时/力二侯,7(弟R),若4X)为R上的“20型增函数”，则实数3的取值范围是()

A.aX)B.a<5

C.a<10D.a<20

8.B［解析］「函数封)是定义在R上的奇函数，且当x>Q时品淤=1x-a卜式aw

睚5

为R上的"20型增函数”,.:仆+20)>4。当x=0时,/20-a/-a>0,解得

a<10,又个0)>(10)，即/10-a/-a>-/-10+a/+a,解得a<5,结合选项知选B.

产丹加

8.［2018•天津一中月考］已知函数4X)工若函数/H=/Q0/-3x+。有三个零点，则实

数。的取值范围为

匾

8.(e,£)uGH［解析］函数外)=若函数或KTAB/Qx+b有三个零点，则

x

fx-«X>4t

“A)=/4A)/-3X的图像与直线y=-b有3个交点.“月i”画出函数“m的大致图像，如

图所示.

当x<0时,*3启6,当且仅当x=-1时取等号，由图可知3>6,可得/?<£;当0<A<4时,x-8与,当

X』时取得最大值，故满足条件的

4.[2018•北京东城区期末]已知函数｛M=Ynx.

⑴求曲线片外)在点(1/1))处的切线方程;

(2)求4A｝的单调区间;

(3)若对于任意的都有AMvax1求实数a的取值范围.

4.解:⑴因为函数/M=Alnx,所以(A)=lnx+1,当x=1时,41)=ln1+1=1/1)0,所以曲线片回

在点(1,个))处的切线方程为y=x-1.

(2)函数4Mfinx的定义域为(0,+8),(A)=lnx+1.令「用=0彳导x=S.当x变化时，/6月月的变化

情况如下表:

XQ一3+・)

fM0+

幅，极小值/

所以人力的单调递增区间是3+-）,单调递减区间是

（3）当上ge时,"《HVax-1"等价于"aNlnxj".令p（A）Mnx£xeE#］厕g（M±占与,ASEH当x&

GH时,gt»<0,所以久>0在区间6」）上单调递减.当Ae（1,e）时,gt»>0,所以仪才在区间（1,e）上

单调递增.而描=』11e-*e=e-1>1.5,5（e）=lne+；=1+；<1.5,所以［刃在区间上的最大值为

星）F-1.所以当a>e-1时，对于任意的法都有.

C单元三角函数

ci角的概念及任意角的三角函数

11.C112018•全国卷I】已知角a的顶点为坐标原点，始边与工轴的非负半轴重合，终边

2

上有两点4(1,d),B(2,b),且cos2a=—,则f=()

A1a有「2小n.

A.―D.C.---------U.1

555

1LB【解析】假设角a为第一象限角，如图,

即cosa=漏，所以cosa="^=",解得a=5；cos0(=而”=",

由cos2a=3,得2cos2a-l=3,

解得b==.所以|a-b|=T

7.C112018•北京卷】在平面坐标系中，45,。£）,反,6"是圆/+/=1上的四段弧（如

图），点P在其中一段上，角a以0x为始边，0P为终边，若1而£/<以光。<5m。，

则P所在的圆弧是（）

(C)EF(D)GH

7.C【解析】(法一)由三角函数线知，在第一象限内，同角的正切线最长，排除A,B；当角a

的终边位于第三象限时，正切值为正，正弦、余弦值为负，排除选项D.

(法二)设角a的终边与单位圆的交点坐标为(x,y),由任意角的三角函数定义得，xvy,若

I9.3)

x<0,则由，x得y>x2,排除选项D,由，y可得,>0,进而得x,y异号.故选C

C2同角三角函数的基本关系式与诱导公式

16.C2,C5,C6【2018・江苏卷】已知0为锐角，tan。#,cos(a+p)=-—s.

(1)求cos2a的值；

(2)求tan(a-p)的值.

4■

16.M:(1)因为tana=*tan所以sino="cosa.

2

因为Sin20+COS2c(=1,所以cos20

7

因止匕cos2a=2cos2a-1=-25

(2)因为。，B为锐角，所以。+隹(0,TT).

[(a+pF萼

又因为cos(a+p)=-5,所以sin(a+p)=V=5,

因此tan(a+p)=-2.

42tzM

因为tano(=*所以tan因=I=%=-7

因此，tan(a-[3)=tan[2a-(a+p)]=1+-2a^=-11

C3三角函数的图象与性质

6.C3【2018•全国卷m】函数f(x)J』。的最小正周期是()

・■

A*B2C.nD.2n

1KX1h

6.C【解析】因为f(x)Jl^sin2x,所以其最小正周期为彳=兀

7.C3,C412018・江苏卷】已知函数丫=$皿(2x+(p)(-Lp<”的图像关于直线x4对称，则

(P的值为.

7.-N【解析】由题意得，sin(2xj+(p)=±1,贝!]3+(p=f+kTT(keZ),所以(p=-Z+kn(keZ),又

・・■

-5<(p<5,故

C4函数y=Asin(3+0)的图象与性质

10.C4【2018・全国卷II】若f(x)=cosx-sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是()

A*B'C.4D.R

10.C【解析】f(x)=cosx-sinx=^cos^+^,由ZknVx+Ln+ZkTt(keZ),得函数f(x)的

单调递减区间为L2kTV，(keZ).由f(x)上单调递减，得a的最大值为

.故选C.

16.C7、C4【2018・北京卷】已知函数f(x)=sinzx+V3sinxcosx.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)在区间[-3,m]上的最大值为工求m的最小值.

更更11/-\-

16.解：(1)f(x)=3+2sin2x=2sin2x-'cos2x+'=sin(2X-6)+4

h

所以f(x)的最小正周期为T=z=it.

*1

(2)由⑴知f(x)=sin(2x-")+'.

因为xe[-*,m],所以2x鼻2m-，l

要使f(x)在rrJ上的最大值为'，即sin(2x。)在m_l上的最大值为1,

只需2m-，'，即m居所以m的最小值为L

・W

6.C4[2018•天津卷】将函数y=sin(2x+$)的图像向右平移五个单位长度，所得图像对应的函

数()

A.在区间I彳’I上单调递增

B在区间用01

上单调递减

惇,加单调递增

C.在区间

D.在区场联单调递减

6.A【解析】将函数y=sin(2x+$)的图像向右平移五个单位长度后，得到函数丫=如2x的图像,

该函数在区间L''.」上单调递增.故选A.

7.3【解析】由题意得，sin（2x1+（p）=±1,则3+kiT（MZ）,所以（p=・\kTT（"立），又

■■■

-J<（p<5,故（p="6.

C5两角和与差的正弦、余弦、正切

16.C5、C6、C8【2018・天津卷】在MBC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知

bsinA=acos

(1)求角B的大小；

(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.

■b

16.解：（1）在AABC中，由正弦定理知可得bsinA=asinB,

又bsinA=acosB-&),所以asinB二acos(B-6即sinB=cos(B-6),可得tanB二有

又因为Bw(0,n),所以B=1

■

(2)在aABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B/，有b?=a2+c2-2accosB=7,故b=

由bsinA二acos(B-"),可得sinA二亚

因为avc,故cosA二v.

姐1

因此sin2A=2sinAcosA=7,cos2A=2cos2A-l=7

11^33^

所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=7x2-7x1=14.

18.C5,C7,C9【2018・浙江卷】已知角a的顶点与原点0重合，始边与x轴的非负半轴重

3

-，

合，它的终边过点p

(1)求sin(a+n)的值;

（2）若角B满足sin（a+P）=",求cosB的值.

18.解:（1）由角a的终边过点P

4

所以sin(a+n)=-sina=s.

（2）由角a的终边过点Pcosa=-,

512

由sin(a+p)="得cos(