2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-1 . 4 空间向量的应用

2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册

1.4空间向量的应用

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

基础过关练

题组一直线的方向向量和平面的法向量

1.(2020北京一零一中学期中)若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线1上,则直线1的

一个方向向量为()

A.(1,2,4)B.(1,4,2)

C.(2,1,4)D.(4,2,1)

2.已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),则平面ABC的一个法向量为.

3.已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形，NABC=90°,AD〃BC,SAL平面

ABCD,SA=AB=BC=1,AD=|,试建立空间直角坐标系，求平面SAB、平面SDC的一个法

向量.

AD

题组二空间中直线、平面的平行问题

4.(2021海南北京师范大学万宁附属中学月考)若直线m的方向向量为a,平面a

的法向量为R,maa,则能使m〃a的是()

A.a=(l,0,0),u=(-2,0,0)

B.a=(l,-l,3),u=(0,3,1)

C.a=(0,2,1),u=(-1,0,1)

Da=(l,3,5),n=(l,0,1)

5.(2022山东临沂平邑一中月考)已知两个不重合的平面a与平面ABC,若平面a

的法向量为ni=(2,-3,1),向量力=(1,0,-2),左二(1,1,1),则()

A.平面a〃平面ABC

B,平面a，平面ABC

C.平面a与平面ABC相交但不垂直

D.以上均有可能

6.(2021海南海口海南中学期中)已知向量aE2,4,5),b=(3,x,海分别是直线

li,b的方向向量，若1/则()

A.x=6,y=15B.x=3,y=15

_8_10_15

Cr.x--,y——nD.x—6,y——

题组三空间中直线、平面的垂直问题

7.(2022安徽师大附中期中)若直线匕,12的方向向量分别为

a=(l,2,-2),b=(-2,3,2),则L与k的位置关系是()

A.1」12B.L//L

C.11、L相交但不垂直D.不能确定

8.(2022吉林白城大安六中期中)已知直线1的一个方向向量d=(2,3,5),平面a

的一个法向量u=(-4,m,n),若1，a,则m=,n=.

9.(2020陕西西安中学期末)如图,在正方体ABCD-ABCD中,E为棱DD的中点,求

证：

⑴BD」平面ABC

(2)平面EACL平面ABC

能力提升练

题组一用空间向量研究平行、垂直问题

1.(多选)(2022山东潍坊第四中学月考)下列利用方向向量、法向量判断线、面位

置关系的结论中正确的是()

A.两条不重合直线li,b的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则I1〃b

B.两个不同的平面a,B的法向量分别是11=(2,2,-1)八=(-3,4,2),则a±0

C.直线1的方向向量a=(1,-1,2),平面a的法向量u=(6,4,-1),则a

D.直线1的方向向量a=(0,3,0),平面a的法向量u=(0,-5,0),则1〃a

2.(2021天津十三中月考)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂

直,AB=a,AF=1,M在EF上，且AM〃平面BDE,则点M的坐标为()

/

I(V2

XV2一

\一3'3

B.D

zz

c/V2V2/V2T

」V2

l,T(一

\2\4J,1

3.如图,在三棱柱ABC-AEG中，侧棱垂直于底面,AB±BC,E,F分别为AC和BC的

中点.求证：

⑴平面ABE,平面BiBCCi;

(2)CF〃平面ABE.

题组二用空间向量解决立体几何中的探索性问题

4.（2020天津一中月考）如图，已知正方体ABCD-ABCD的棱长为4,P是AAi的中点,

点M在侧面AABB内（含边界），若DiMXCP,则4BCM面积的最小值为（

A.8B.4

5.（2021天津第四十二中学月考）如图，在三棱柱ABC-AB。中，BB」平面

ABC,AB±BC,AAI=AB=BC=2.

⑴求证:BC」平面ABC;

⑵点M在线段BE上,且普=在线段A2上是否存在一点N,满足MN〃平面

AiACG?若存在，求出然的值;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

基础过关练

1.A由已知得前=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与

通共线，故选A.

2.答案(1,1,1)(答案不唯一)

解析设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).

由题意知同=(-1,1,0),BC=(1,0,-1).

所以卜•竺=-x+y=0,令x=i,则y=z=1)所以联(1,1,1).

•BC=x-z=0,

3.解析由已知得SA,AB,AD两两垂直，

•••以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标

系.

1

VSA=AB=BC=1,AD=-2,

.,.S(0,0,l),A(0,0,0),C(l,1,0),D(|,0,0),

••法=&0,-1),SC=(1,1,-1),AD=(|,o,0).

易知平面SAB的一个法向量为标=6，0,0).

设平面SDC的法向量为m=(x,y,z),

„,SD=-x-z=0,,…

则(一2取z=l,则x=2,y=T,

m•SC=x+y-z=0,

••・平面SDC的一个法向量为m=(2,-1,1).

解后反思

求解平面的法向量时，如果题目中已经给出坐标，可以直接利用坐标运算来

求解法向量,如果题目中未给出坐标，需先分析条件,利用共点的相互垂直的三条

直线建立恰当的空间直角坐标系，再利用坐标运算求解法向量.

4.B若m〃a,则aJ_口，即a•u=0.对于A,C,D,a♦口均不为0,不满足条件;对

于B,a・口=0-3+3=0,满足条件.故选B.

5.A因为m•9=0,A•左二0,ABAAC=A，所以％也是平面ABC的法向量,又平面

a与平面ABC不重合，所以平面a与平面ABC平行.故选A.

6.D因为匕〃12,所以a〃b,所以解得x=6,y=?故选D.

7.A由题意得a,b=-2+6-4=0,li与12的位置关系是I1-LI2.故选A.

8.答案-6;-10

解析V1±a,又d《2,3,5),u=(-4,m,n),>'•y=y=^>解得m=-6,n=-10.

9.证明以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体

ABCD-AiBiCD的棱长为2,则

E(0,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),Bi(2,2,2),B(2,2,0),Dx(0,0,2).

(1)易得前=(-2,2,0),函=(0,2,2),西=(-2,-2,2).

设平面ABE的法向量为m=(x,y,z),

,.fm,AC=-2x+2y=0,,

则n｛___>取x=l1,则nily=l,z=T,

jn•AB】=2y+2z=0,

1,-1)是平面ABE的一个法向量.

•.,西=-2m,，西〃m,，BD」平面ABC

(2)易得ZE=(-2,0,1).

设平面EAC的法向量为n=(x',y',z'),

则(一，，取x=1,则y=1,z=2,

n•AC=-2x+2y=0,

.,.n=(l,1,2)是平面EAC的一个法向量.

由(1)知m=(l,1,-1)是平面ABE的一个法向量.

Vm•n=l+l-2=0,.,.平面EACL平面ABC

能力提升练

1.AB因为b=-a,且直线li,b不重合，所以故A中结论正确；因为

u・v=2X(-3)+2X4+(-1)X2=0,所以aJ_B,故B中结论正确；因为

a,u=lX6+(-1)X4+2X(-1)=0,所以1〃a或lua,故C中结论错误；因为11=-京,

所以1，a,故D中结论错误.故选AB.

2.C连接0E.设点M的坐标为(x,y,1).

因为ACABD=0,所以0(?，?，0),

又E(0,0,1),A(V2,V2,0),

所以反=(-彳，-¥，1),AM=(x-V2,y-V2,1).

因为AM〃平面BDE,所以丽〃前，

V2V2T

,」

所

以2

V2

V2T一2

所以点M

3.证明以B为坐标原点,BC,BA,BBi所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所

示的空间直角坐标系设BC=a,AB=b,BB1二c,则

(1)易得同=(0,-b,0),荏=&4c).

设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),

r

则，*AB=0,即-by=0,

-ax--by+cz=c0,

-22J

令x=2,则y=0,z=n=(2,0,一，).

易知平面BiBCG的一个法向量n=(0,1,0).

Vn・n=2X0+0Xl+(—，)X0=0,

平面ABEJ_平面BiBCCi.

⑵易得字=(4,0,-c),

由⑴知平面ABE的一个法向量为n=(2,0,-力,

Vn•QF=0,.•.亭〃平面ABE.

又..5。平面ABE,...CiF〃平面ABE.

4.D以D为坐标原点,DA,DC,DDi所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐

标系,如图,

则P(4,0,2),C(0,4,0),Di(0,0,4),B(4,4,0).

设M(4,a,b)(a,be[0,4]),则仄而二(4,a,b-4),CP=(4,-4,2).

VDxMXCP,：.D^M•CP=16-4a+2b-8=0,即b=2a—4..\M(4,a,2a-4).

/.BM=J(4-4)2+(a-4)2+(2a-4)2

=V5a2-24a+32=〔5①于+

当a(时，|BM|取得最小值券

**•Szwa的最小值为3X4X~=~~-故选D.

5.解析⑴