2024年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）的倒数是（）A．﹣5 B．5 C．﹣ D．2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2024年春节期间国内旅游出行合计约474000000人次，比2023年大幅增加．数据474000000用科学记数法表示为（）A．0.474×109 B．47.4×107 C．4.74×109 D．4.74×1084．（3分）我市今年一月连续10天的最高气温统计如下：气温（单位：℃）34678天数32221则最高气温（单位：℃）的中位数和众数分别是（）A．4，3 B．5，2 C．5，3 D．4，25．（3分）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A． B． C． D．6．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝24，点D为边AC上一点，点A的对应点A′恰好落在BC边上，则线段AD的长为（）A． B． C． D．7．（3分）如图，已知点A（1，3），B（4，1），将线段AB绕点M逆时针旋转到A′B′，点B与B′是对应点，则点M的坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，0） C．（﹣1，1） D．（1，﹣3）8．（3分）如图，平行四边形ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝6，在BC延长线上取一点E，使，连接OE交CD于点F（）A．2 B． C． D．9．（3分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，AD，BD，∠ADC＝40°，则∠BPC的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算的结果是．12．（3分）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，宽为2m的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为m2．13．（3分）某水果店搞促销活动，对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，根据题意可列方程为．14．（3分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．（3分）如图，从一块半径为3m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为m2．16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，连接AE，DE，AC于点P，Q，则四边形OPEQ的周长为．三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．17．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B．求作：以AB为底的等腰△ABC，使点C在∠O的内部，且∠BAC＝∠O．四、解答题（本大题共9小题，共68分）18．（8分）计算：（1）解不等式组；（2）化简．19．（6分）端午节放假期间，小明和小华准备到景点A、景点B、景点C、景点D中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个20．（6分）某市为调查学生的视力变化情况，从全市九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，制成如下折线统计图和扇形统计图：解答下列问题：（1）扇形D的圆心角度数是°；（2）该市共抽取了多少名九年级学生？（3）若该市共有8万名九年级学生，请你估计该市九年级视力较好（5.0及以上）的学生大约有多少人？21．（6分）【问题情境】图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．图形的拼合：就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面积不变的前提下，集趣味性、探索性、实验性于一体．如图①，任意三角形通过分割后重新拼接，可以拼成平行四边形．方案设计：图形的分割：取AB中点D，AC中点E，连接DE；图形的拼合：如图所示，将△ADE绕点E旋转180°，与四边形DBCE拼接成平行四边形DBCF．此时【探究实践】仿照图示的方法，解答下列问题：如图②，对直角三角形ABC，设计一种方案，再拼成一个与三角形等面积的矩形．请你写出方案设计．【拓展应用】如图③，对任意三角形ABC，设计一种方案，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．请你画出方案设计．22．（6分）为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚AB长为4米，靠墙端离地高BC为5米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为50°时（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）23．（8分）如图，点C为⊙O上一点，连接OC并延长至点D，点B为切点，连接OB．点A为⊙O上一点，，AD，BC（1）证明：AD为⊙O的切线；（2）判断四边形OACB的形状，并证明你的结论．24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）与反比例函数y＝（k2为常数，且k2≠0）的图象交于点A（m，6），B（4，﹣3）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当＞k1x+b＞0时，直接写出自变量x的取值范围；（3）已知一次函数y＝k1x+b的图象与y轴交于点C，点P在x轴上，若△PAC的面积为825．（10分）某商场新进一批拼装玩具，每件玩具进价是30元，并规定每件售价不得少于50元．根据以往销售经验发现，日销售量为500件，每件售价每提高0.5元，日销售量为y件．（1）当x＝60时，y＝件；（2）当每件售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？（3）当日销售利润不低于6000元时，求每件玩具售价x的取值范围．26．（10分）在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．动点P从点D出发，速度为2cm/s；同时，沿射线DA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作PE⊥BD，交射线DC于点E，连接EQ，交DB于点F．设运动时间为t（s）（0＜t≤5）．（1）当点E与点C重合时，求t的值；（2）当t为何值时，点Q，B，E在一条直线上；（3）是否存在某一时刻t，使得△AQG∽△PEF？若存在，求出t的值，请说明理由．

2024年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）的倒数是（）A．﹣5 B．5 C．﹣ D．【解答】解：的倒数是5．故选：B．2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．是轴对称图形，故本选项不合题意；D．既是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．3．（3分）2024年春节期间国内旅游出行合计约474000000人次，比2023年大幅增加．数据474000000用科学记数法表示为（）A．0.474×109 B．47.4×107 C．4.74×109 D．4.74×108【解答】解：474000000＝4.74×108．故选：D．4．（3分）我市今年一月连续10天的最高气温统计如下：气温（单位：℃）34678天数32221则最高气温（单位：℃）的中位数和众数分别是（）A．4，3 B．5，2 C．5，3 D．4，2【解答】解：这组数据的中位数是第5、6个数据的平均数，所以这组数据的中位数为＝8（℃），众数为3℃．故选：C．5．（3分）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形，第二横行有3个正方形，第三横行中间有一个正方形．故选：C．6．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝24，点D为边AC上一点，点A的对应点A′恰好落在BC边上，则线段AD的长为（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝7，∴BC＝＝＝25，∵将△ABC沿BD折叠后，点A的对应点A′恰好落在BC边上，∴∠BA′D＝∠A＝90°，A′D＝AD，∴AB⊥CD，A′D⊥BC，∴BC•A′D＝△BCD，∴×25AD＝，解得AD＝，故选：B．7．（3分）如图，已知点A（1，3），B（4，1），将线段AB绕点M逆时针旋转到A′B′，点B与B′是对应点，则点M的坐标是（）A．（﹣1，﹣2） B．（1，0） C．（﹣1，1） D．（1，﹣3）【解答】解：因为线段A′B′由线段AB绕点M逆时针旋转得到，所以AA′和BB′的垂直平分线经过旋转中心M．如图所示，画出线段AA′和BB′的垂直平分线，所以点M的坐标为（﹣1，1）．故选：C．8．（3分）如图，平行四边形ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝6，在BC延长线上取一点E，使，连接OE交CD于点F（）A．2 B． C． D．【解答】解：如图，作BC的中点G，∵四边形ABCD是平行四边形，且AD＝6，∴BC＝AD＝6，OB＝OD，∴，∵点G为BC的中点，OB＝OD，∴OG∥CD，，∴△CEF∽△GEO，∴，∴，∴，故选：B．9．（3分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，AD，BD，∠ADC＝40°，则∠BPC的度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC＝40°，∴∠BDC＝∠ADB﹣∠ADC＝50°，∴∠BAC＝∠BDC＝50°，∵∠C＝15°，∴∠BPC＝∠C+BAC＝65°，故选：D．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大．∵﹣5＜﹣1，抛物线过点（﹣2，∴当x＝﹣3时y＝a﹣b+c＞0，故①正确．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又点（﹣2，y1），（2，y3），（6，y3）均在该二次函数图象上，且点（7，y3）到对称轴的距离最大，点（2，y4）到对称轴的距离最小，∴y3＜y1＜y7，②错误．∵方程ax2+bx+c+1＝3的两实数根为x1，x2，∴抛物线与直线y＝﹣2的交点的横坐标为x1，x2．由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（8，0），∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，5），0），∵抛物线开口向下，x1＜x3，∴x1＜﹣2，x7＞4，故③正确．∵﹣＝6，∴b＝﹣2a．∵4a﹣2b+c＝0，∴c＝2b﹣7a＝﹣8a，∵抛物线的最大值为a+b+c，∴若m为任意实数，则am2+bm+c⩽a+b+c＝a﹣4a﹣8a＝﹣9a，∴am8+bm+c⩽﹣9a，故④正确．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算的结果是7．【解答】解：＝4﹣（﹣2）＝7，故答案为：4．12．（3分）如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，宽为2m的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此他可以估计不规则图案的面积为2.1m2．【解答】解：据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为3×6＝6（m2），设不规则图案的面积为x，则＝0.35，解得：x＝2.7，∴不规则图案的面积约为2.1m4，故答案为：2.1．13．（3分）某水果店搞促销活动，对某种水果打9折出售，若用50元钱买这种水果，根据题意可列方程为．【解答】解：依题意得：，故答案为：．14．（3分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2k+5）x+k2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（3k+1）2﹣2×1×k2＝5k+1＞0，∴k＞﹣．故答案为k＞﹣．15．（3分）如图，从一块半径为3m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的最大扇形，则阴影部分的面积为πm2．【解答】解：如图，连接BC，∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径，∴BC＝2×3＝6m，∴AB＝BC＝6m，∴S阴影＝S圆﹣S扇形＝π×33﹣＝π（m7），故答案为：π．16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，连接AE，DE，AC于点P，Q，则四边形OPEQ的周长为．【解答】解：连接OE．∵E是BC的重点，四边形ABCD为正方形∴OE⊥BC，OE＝1在Rt△ABE中，AE＝在Rt△EBO中，OB＝∵AB∥BC，OE⊥BC∴AB∥OE∴∠BAP＝∠PEO，∠ABP＝∠POE∴△ABP∽EOP∴∴2PE＝AP，2OP＝BP∴PE＝，OP＝∴四边形OPEQ的周长＝2（PE+OP）＝三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．17．（4分）已知：∠O及其一边上的两点A，B．求作：以AB为底的等腰△ABC，使点C在∠O的内部，且∠BAC＝∠O．【解答】解：如图，点C为所作．四、解答题（本大题共9小题，共68分）18．（8分）计算：（1）解不等式组；（2）化简．【解答】解：（1）原式＝，解得：，故x＞0；（2）原式＝×＝＝．19．（6分）端午节放假期间，小明和小华准备到景点A、景点B、景点C、景点D中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个【解答】解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明和小华都选择去同一景点游玩的结果有4种，∴小明和小华都选择去同一景点游玩的概率为＝．20．（6分）某市为调查学生的视力变化情况，从全市九年级学生中抽取了部分学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，制成如下折线统计图和扇形统计图：解答下列问题：（1）扇形D的圆心角度数是36°；（2）该市共抽取了多少名九年级学生？（3）若该市共有8万名九年级学生，请你估计该市九年级视力较好（5.0及以上）的学生大约有多少人？【解答】解：（1）（100%﹣40%﹣30%﹣20%）×360°＝36°，故答案为：36；（2）∵2022年抽取的九年级学生视力在4.9以下的人数为900人，占40%，∴抽取的人数为：900÷40%＝2250（名），答：该市共抽取了2250名九年级学生；（3）（10%+20%）×80000＝24000（人），答：估计该市九年级视力较好（8.0及以上）的学生大约有24000人．21．（6分）【问题情境】图形的分割：就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或几个图形．图形的拼合：就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，在保持面积不变的前提下，集趣味性、探索性、实验性于一体．如图①，任意三角形通过分割后重新拼接，可以拼成平行四边形．方案设计：图形的分割：取AB中点D，AC中点E，连接DE；图形的拼合：如图所示，将△ADE绕点E旋转180°，与四边形DBCE拼接成平行四边形DBCF．此时【探究实践】仿照图示的方法，解答下列问题：如图②，对直角三角形ABC，设计一种方案，再拼成一个与三角形等面积的矩形．请你写出方案设计．【拓展应用】如图③，对任意三角形ABC，设计一种方案，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．请你画出方案设计．【解答】解：探究实践：图形的分割：取AB中点D，AC中点E，延DE将△ABC分割成两个图形；图形的拼合：如图2所示，将△ADE绕点D旋转180°，与四边形拼接成矩形BCEE，矩形BCEF的面积与△ABC的面积相等，拓展应用：如图：图形的分割：过A作AG⊥BC于G，取AB中点E，连接DE交AG于H，AG将△ABC分割成四个图形；图形的拼合：将△AEH绕点E旋转180°，将△ADH绕点D旋转180°，此时矩形BCNM的面积与△ABC的面积相等．22．（6分）为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚AB长为4米，靠墙端离地高BC为5米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为50°时（结果精确到0.1m，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【解答】解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，垂足为G，由题意得：CF＝AG，AF＝CG，在Rt△ABF中，AB＝4米，∴BF＝AB•sin20°≈4×5.34＝1.36（米），AF＝AB•cos20°≈4×5.94＝3.76（米），∴AF＝CG＝3.76米，∵BC＝7米，∴CF＝AG＝BC﹣BF＝5﹣1.36＝3.64（米），在Rt△ADG中，∠ADG＝50°，∴DG＝≈3.06（米），∴CD＝CG﹣DG＝3.76﹣6.06≈0.7（米），∴凉荫处CD的长约为4.7米．23．（8分）如图，点C为⊙O上一点，连接OC并延长至点D，点B为切点，连接OB．点A为⊙O上一点，，AD，BC（1）证明：AD为⊙O的切线；（2）判断四边形OACB的形状，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵，∴∠BOC＝∠AOC，在△BDO与△ADO中，，∴△BDO≌△ADO（SAS），∴∠OAD＝∠OBD，∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∴∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线；（2）解：四边形OACB是菱形，证明：∵∠OBD＝90°，OC＝CD，∴BC＝OC＝OD，∵，∴AC＝BC，∵OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AC＝BC，∴四边形OACB是菱形．24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b（k1，b为常数，且k1≠0）与反比例函数y＝（k2为常数，且k2≠0）的图象交于点A（m，6），B（4，﹣3）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当＞k1x+b＞0时，直接写出自变量x的取值范围；（3）已知一次函数y＝k1x+b的图象与y轴交于点C，点P在x轴上，若△PAC的面积为8【解答】解：（1）∵B（4，﹣3）在反比例函数y＝2为常数，且k2≠7）的图象上，∴k2＝4×（﹣5）＝﹣12，∴反比例函数解析式为：y＝﹣，∵点A（m，6）在y＝﹣，∴m＝﹣2，∴A（﹣6，6），∵点A（﹣2，2），﹣3）在一次函数y＝k1x+b（k7，b为常数，且k1≠0）的图象上，∴，解得，∴一次函数解析式为：y＝﹣x+2．（2）观察函数图象，当＞k1x+b＞5时，自变量x的取值范围为：﹣2＜x＜0；（3）由一次函数y＝﹣x+3可知C（5，D（2，∵△PAC的面积为8，∴S△PAC＝S△PAD﹣S△PCD＝5，即＝8，∴PD＝，∴P（﹣，0）或（．25．（10分）某商场新进一批拼装玩具，每件玩具进价是30元，并规定每件售价不得少于50元．根据以往销售经验发现，日销售量为500件，每件售价每提高0.5元，日销售量为y件．（1）当x＝60时，y＝400件；（2）当每件售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？（3）当日销售利润不低于6000元时，求每件玩具售价x的取值范围．【解答】解：（1）当x＝60时，y＝500﹣5×，故答案为：400；（2）根据题