人教版高中数学《排列组合》教案

排列与组合

我们先看下面两个问题.

(1)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4班，汽车有2班,

轮船有3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙

地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4十2十3=9种不同的走法.

一般地，有如下原理：

加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有s种不同的方法，在第二类办法

中有叫种不同的方法，……，在第n类办法中有m“种不同的方法.那么完成这件事共有N=mi十m2十…

十m”种不同的方法.

(2)我们再看下面的问题：

由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村，共有多少种不同的

走法？

这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村

又有2种不同的走法.因此，从A村经B村去C村共有3X2=6种不同的走法.

一般地，有如下原理：

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有小种不同的方法，做第二步有叫种不同

的方法，……，做第n步有％种不同的方法.那么完成这件事共有N=m,w…%种不同的方法.

例1书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.

1)从中任取一本，有多少种不同的取法？

2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

解：(1)从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一

本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法.根据加法原理,

得到不同的取法的种数是6+5=11.

答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法.

(2)从书架上任取数学书与语文书各本，可以分成两个步骤完成：第•步取•本数学书，有6种方

法；第二步取一本语文书，有5种方法.根据乘法原理，得到不同的取法的种数是N=6X5=30.

答：从书架上取数学书与语文书各•本，有30种不同的方法.

练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币

1)从中任取枚，有多少种不同取法？2)从中任取明清古币各枚，有多少种不同取法？

例2：(1)由数字1,2,3,4,5可以组成多少个数字允许重复三位数？

(2)由数字1,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

(3)由数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选•

个数字，共有5种选法；第二步确定卜位上的数字，由于数字允许重复，

这仍有5种选法，第二步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法.根据乘法原理，得到可以组成

的三位数的个数是N=5X5X5=125.

答：可以组成125个三位数.

练习：

1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，乂从甲地不经过乙地到丙地有2条

水路可走.

(1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？

(2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

2.一名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着20张分别标有数1、2、…、19、20的红卡片，从中任

抽一张，把上面的数作为被加数；在另•个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、9、10的黄卡片，从

中任抽一张，把上面的数作为加数.这名儿童一共可以列出多少个加法式子？

3.题2的变形

4.由0—9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？

小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法

其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习

练习

1.(口答)一件工作可以用两种方法完成.有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完

成.选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？

2.在读书活动中，一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本，共有多少种

不同的选法？

3.乘积(al+a2+a3)(bl+b2+b3+b4)(cl+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项？

4.从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到「地有4条路可通，从「地到

丙地有2条路可通.从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

5.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同.

(1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？

(2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

作业：

排列

【复习基本原理】

1.加法原理做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有n种不同的方法，第二办法中有

|叱种不同的方法……，第n办法中有叫种不同的方法，那么完成这件事共有

N=m।+m2+m3+,••m,,

种不同的方法.

2.乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有g种不同的方法，做第二步有m?

种不同的方法，……，做第n步有m0种不同的方法，.那么完成这件事共有

N=m|Xm2xm3x••,xmn

种不同的方法.

3.两个原理的区别：

【练习1]

1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？

2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一列出.

【基本概念】

1.什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(/WW〃)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一

鹤懑济III：成一列，叫做从n个不同元素冲取出m个元素的一个押列

2.什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.

3.什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.

4.什么叫一个排列？

【例题与练习】

1.由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？

2.已知a、b、c、d四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有

排列.

【排列数】

1.定义：从n个不同元素中，任取m（，“<〃）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m

元素的排列数，用符号p；表示.

用符号表示上述各题中的排列数.

2.排列数公式：p；=n（nT）（n-2）…（n-m+1）

P：=------；Pn=-------------:P；：=--------------:P：=-----------------:

计算：P：=------------------；P；=--------------；P；5=------------------；

【课后检测】

1.写出：

①从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列；

②由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.

③由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.

2.计算：

8

①p：oo②P；③P；-2p；④-y-

P12

排列

一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）

1.排列的定义，理解排列定义需要注意的儿点问题；

2.排列数的定义，排列数的计算公式

〃！

A：=n（n—1）（H—2）…（〃一根+1）或A：=--------（其中mWnm,neZ）

（n-m）!

3.全排列、阶乘的意义；规定0!=1

4.“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用.

二、新授：

例1：⑴7位同学站成•排，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作：7个元素的全排列一Ay=5040

⑵7位同学站成两排（前3后4）,共有多少种不同的排法？

解：根据分步计数原理：7X6X5X4X3X2X1=71=5040

⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列一A：=720

⑷7位同学站成•排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？

解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有种；第二步余下的5名同学进行全排列有

种则共有A；=240种排列方法

⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

解法一（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有

种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法所以一共有A；=2400

种排列方法.

解法：：（排除法）若甲站在排头有A；种方法；若乙站在排尾有A；种方法；若甲站在排头且乙站

在排尾则有4；种方法.所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有-2+4；=2400种.

小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优

先考虑.

例2：7位同学站成一排.

⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有

种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法.所以这样的排法一共有A：=1440

⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？

解：方法同上，一共有A；A；=720种.

⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？

解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排

头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元

素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法.所以这样的排法一共

有A；A：=960种方法.

解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在•起看成•个元素，此时•共有6个元素，若内站在排头或排尾

有2A；种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有（A：—=960种方法.

解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头

和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有A：种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，

最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有A：A；=960种方法.

小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）.

例3：7位同学站成一排.

（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

解法一：（排除法）=3600

解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），

再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有种方法，所以一共有=3600种方法.

⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？

解：先将其余四个同学排好有A：种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入

这五个“空”有用种方法，所以一共有A：A；=1440种.

小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）.

三、小结：

1.对有约束条件的排列问题，应注意如卜.类型：

⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置：

⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；

⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；

2.基本的解题方法：

⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位

置）法（优限法）；

⑵某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素

的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；

⑶某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空

法”；

⑷在处理排列问题时，一般可采用直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排

列问题的根基.

四、作业：《课课练》之“排列课时1-3”

课题：排列的简单应用（2）

目的：使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题，进•步培养分析问题、解决问题的

能力，同时让学生学会一题多解.

过程：

一、复习：

1.排列、排列数的定义，排列数的两个计算公式；

2.常见的排队的三种题型：

⑴某些元素不能在或必须排列在某•位置——优限法；

⑵某些元素要求连排（即必须相邻）一捆绑法；

⑶某些元素要求分离（即不能相邻）一插空法.

3.分类、分布思想的应用.

二、新授：

示例一：从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在

第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？

解法一：（从特殊位置考虑）136080

解法二：（从特殊元素考虑）若选：若不选：A；

则共有+136080

解法三：（间接法）-Ag=136080

示例二:

⑴八个人排成前后两排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排，则共有多少种不同的排

法？

略解：甲、乙排在前排丙排在后排其余进行全排列

所以一共有A：A：=5760种方法.

⑵不同的五种商品在货架上排成一排，其中两种商品必须排在一起，而两种商品不排在一起,

则不同的排法共有多少种？

略解：(“捆绑法”和“插空法”的综合应用)捆在一起与e进行排列有A；；

此时留下三个空，将C,d两种商品排进去一共有A；；最后将外加‘松绑所以一共有A；A；A；

=24种方法.

⑶6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的坐法有多少种？

略解：(分类)若第一个为老师则有A；A；；若第一个为学生则有A；

所以•共有2A；A：=72种方法.

示例三：

(1)由数字I,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的正整数？

略解：A；+A：+A：+A；+A：=325

(2)由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字，并且比13000大的正整数？

解法一：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有种方法；另一类是首位不为1,

有种方法.所以一共有=114个数比13000大.

解法二：(排除法)比13000小的正整数有个，所以比13000大的正整数有—4：=114个.

示例四：用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数，由小到大排列.

⑴第114个数是多少？⑵3796是第儿个数？

解：⑴因为千位数是1的四位数一共有=60个，所以第114个数的千位数应该是“3”，十位数

字是“1”即“31”开头的四位数有4：=12个：同理，以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个，

所以第114个数的前两位数必然是“39”，而“3968”排在第6个位置上，所以“3968”是第114个数.

(2)由上可知“37”开头的数的前面有60+12+12=84个,而3796在“37”开头的四位数中排在第

11个(倒数第二个)，故3796是第95个数.

示例五：用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中

(1)能被25整除的数有多少个？

⑵十位数字比个位数字大的有多少个？

解：⑴能被25整除的四位数的末两位只能为25,50两种，末尾为50的四位数有个，末尾为

25的有A；A；个，所以一共有+44=21个.

注：能被25整除的四位数的末两位只能为25,5Q75,00四种情况.

（2）用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，一共有=300个.因为在这300个数中，

1.二

十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的"，所以十位数字比个位数字大的有万4A；=15。个.

三、小结：能够根据题意选择适当的排列方法，同时注意考虑问题的全面性，此外能够借助•题多解

检验答案的正确性.

四、作业：“3+X”之排列练习

组合⑴

课题：组合、组合数的概念

目的：理解组合的意义，掌握组合数的计算公式.

过程：

一、复习、引入：

1.复习排列的有关内容：

相同排

定义特点公式

列

排列

以上由学生口答.

2.提出问题：

示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，

1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序''排列"，而示例2只要求选出

2名同学，是与顺序无关的.

引出课题：组令问题.

二、新授：

1.组合的概念：一般地，从"个不同元素中取出，“（mW”）个元素并成一组，叫做从"个不同元素

中取出，"个元素的个组合.

注：L不同元素2.“只取不排"一一无序性3.相同组合：元素相同

判断卜.列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：

⑴从A、B、C,。四个景点选出2个进行游览；（组合）

⑵从甲、乙、丙、「四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记排列）

2.组合数的概念：从，，个不同元素中取出，“个元素的所有组合的个数，叫做从”个不同元

素中取出m个元素的组合数.用符号C：'表示.

例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙.即有C；=3种组合.

又如：从4、B,C,。四个景点选出2个进行游览的组合：AB,AC,AD,BC,BD,CO一共6种

组合，即：=6

在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有

关.那么又如何计算C：”呢?

3.组合数公式的推导

⑴提问：从4个不同元素a,b,c,"中取出3个元素的组合数是多少呢？

启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我

们可以考察一下c：和川的关系，如下：

组合排列

abc—>abc,bac,cab,acb,bca,cba

abd—>abd,bad,dab,adb,bda,dba

acd—>acd,cad,dac,adc,eda,dca

bedTbed,cbd,dbc,bdc,edb,deb

由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数

A：,可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；②对每一个组合的

屋

3个不同元素进行全排列，各有种方法.由分步计数原理得：Al=Cl-Al，所以：c[=得.

⑵推广：一般地，求从"个不同元素中取出m个元素的排列数,可以分如下两步：①先求从n

个不同元素中取出"，个元素的组合数C：”;②求每个组合中，"个元素全排列数A；；,根据分布计数原

理得：A：=C：.A；；

⑶组合数的公式：

rmA：n(n-l)(n-2)---(n-m+l)

-----------------

nI

或C：=-----------(n,meN\<ri)

(4)巩固练习：

1.计算：⑴C；(2)CjQ

C+、T厂in〃?+1厂m+1

2.求证：Crt=-----Cft

n-m

3.设N+,求+C；：/的值.

(2x-3>x-i

解：由题意可得：J即：24W4

x4-1>2x-3

VXGN+，，x=2或3或4

当x=2时原式值为7；当x=3时原式值为7；当m2时原式值为11.

.,•所求值为4或7或II.

4.例题讲评

例1.6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分

法？

略解：Cl-Cl-C1=90

例2.4名男生和6名女生组成至少有I个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？

解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有,

所以一共有C：+♦C：+C：♦=100种方法.

解法二：（间接法）GI-C：=100

5.学生练习：（课本99练习）

三、小结:

相同组

定义特点4公式

排列

组合

此外，解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利

用分类和分步计数原理.

四、作业：课堂作业：教学与测试75课

课外作业：课课练课时7和8

组合⑵

课题：组合的简单应用及组合数的两个性质

目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并

且能够运用它解决一些简单的应用问题.

过程：

一、复习回顾：

1.复习排列和组合的有关内容：

强调：排列一次序性；组合一无序性.

2.练习一：

练习I：求证：c：=&C；：，（本式也可变形为：机

m

练习2：计算：①和②③c：+G；

答案：①120,120②20,20③792

（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础.）

3.练习二:

⑴平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

⑵平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？

答案：⑴Gi=45（组合问题）⑵=90（排列问题）

二、新授：

1.组合数的性质1：C：=.

理解：一般地，从〃个不同元素中取出小个元素后，剩下〃-根个元素.因

为从〃个不同元素中取出加个元素的每一个组合，与剩下的〃-加个元素的每一个组合一一对座，所

以从〃个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这〃个元素中取出"-m个元素的组合数，即：

C：=c7：在这里，我们主要体现：“取法”与“乘U法”是“一一对应”的思想.

mn)

证明：・・・C；m=-----------------------------=--—

m!(〃一机)！

又/=m膏i(n—m\)\；C=cr

注：1°我们规定C：=1

2。等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标.

3°此性质作用：当"2时，计算C；可变为计算能够使运算简化.

例如：C歌=《歌2。。=。短=2002.

4°C,,=C；nx=y或x+y="

2.示例•：(课本101例4)一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.

(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解：⑴Cg=56(2)C；=21(3)C；=35

引导学生发现：C；=C，+C；.为什么呢？

我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：•类含有1个黑球，•类

不含有黑球.因此根据分类计数原理，上述等式成立.

•般地，从％,。2，・一，。“+1这”+1个不同元素中取出m个元素的组合数是。：；|，这些组合可以

分为两类：•类含有元素外,•类不含有为.含有的组合是从。2,。3，‘"，4"+1这”个元素中取出“

a

-1个元素与%组成的，共有C：，个；不含有生的组合是从“2,。3，一,，n+l这n个元素中取出＞n个元

素组成的，共有C："个.根据分类计数原理，可以得到组合数的另•个性质.在这里，我们主要体现从特

殊到般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想.

3.组合数的Ifi2：c：%=c：+c：i.

证明：Cm+Cm-]=--—+-----------------

_〃!（〃一加+1）+n\m

ml（n-机+1）!

（〃一加+1+m）几！

加！（〃一加+1）!

5+1）!

小！（〃一机+1）!

一

_C?:+l

.in_「ni

注：1。公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相

同的一个组合数.

2。此性质的作用：恒等变形，简化运算.在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应

用.

4.示例二：

（1）计算：C；+C；++C；

⑵求证：C，=《+2Cr+C；2

⑶解方程：G，=C/3

⑷解方程：c：+；+c：+]=—A：+3

x十/K十4]0X+J

（5）计算：。：+。：+。：+。：+。：和。；+。；+。；+。；+。；+。；

推广：C：+C：+C"..+C，'+C：=2"

5.组合数性质的简单应用：

证明下列等式成立：

⑴（讲解）。3+。：-2+。3+一.+。3+a=C*

⑵（练习）以++%+♦••+*=

⑶C：+2C1+3C；+.••+〃C；=]（C,；+C；+…+C：）

6.处理《教学与测试》76课例题

三、小结：1.组合数的两个性质；

2.从特殊到一般的归纳思想.

四、作业：课堂作业：《教学与测试》76课

课外作业：课本习题10.3：课课练课时9

组合⑶

课题：组合、组合数的综合应用⑴

目的：进一步巩固组合、组合数的概念及其性质，能够解决一些较为复杂的组合应用问题，提高合理

选用知识的能力.

过程：

一、知识复习：

1.复习排列和组合的有关内容：

依然强调：排列一次序性；组合一无序性.

2.排列数、组合数的公式及有关性质

性质1:C：=C7"性质2:C2=C：+C：I

常用的等式：cf=C«+1=C：=C^=1

3.练习：处理《教学与测试》76课例题

二、例题评讲：

例I.100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查.

⑴都不是次品的取法有多少种？

⑵至少有1件次品的取法有多少种？

⑶不都是次品的取法有多少种？

解：⑴=2555190：

⑵/-，）=C：©+GU+。起0+/=1366035；

⑶/-C,t=+%。+C衰;。+C^=3921015.

例2.从编号为1,2,3,…，10,11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数,

则•共有多少种不同的取法？

解：分为三类：1奇4偶有：3奇2偶有5奇1偶有C；

所以一共有C：C：+C；C；+C；=236.

例3.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻

译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担项任务，其中3名从事

英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

解：我们可以分为三类：

①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C：C；；

②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有

③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有

所以一共有+=42种方法.

例4.甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出

多少种不同的值周表？

解法一：（排除法）一=42

解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有c：c：；另一类为甲不值周一，但值周六,

有所以-共有c：c：+c：c；=42种方法.

例5.6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？

解：第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法：第二步将5个

“不同元素(书)”分给5个人有种方法.根据分步计数原理，-共有4；=18()()种方法.

变题1：6本不同的书全部送给5人，有多少种不同的送书方法？

变题2：5本不同的书全部送给6人，每人至多1本，有多少种不同的送书方法？

变题3：5本相同的书全部送给6人