人教版八年级上册数学教案 第十五章 分式

第十五章分式

15.1分式

15.1.1从分数到分式

©教室目标

1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是不是分式.

2.能够确定一个分式有意义、无意义的条件.

3.能用分式表示现实情境中的数量关系.

■预习导学

阅读教材P127〜128内容,完成下面练习题：

1.式子3丫以及引言中的怜，善-有什么特点？

as20+v20-v

它们与分数的相同点:形式相同，都有分子和分母;

不同点:分式中分母含有字母,而分数的分母不含字母.

总结:一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子&

叫做分式,其中A叫做分子,B叫做分母.

2.下列各式中，是分式的有①②④⑦⑩.

①占②兴怨;③、我;⑤9⑥2x2+：；⑦言;⑧-5;⑨3x2-1;⑩

b-s300-a7S3255b+c

立丝匕®5x-7.

2x-l

〔）判断是不是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的

唯一条件.

3.思考:分式J中A,B满足什么条件时,分式有意义？

D

解:当BWO时，分式［有意义.

D

4.当x取何值时,下列分式有意义？当x取何值时，下列分式无意义?

解：(1)当x+2W0,即xW-2时，分式。才有意义.

x+2

当x=-2时一，分式之无意义.

x+2

⑵当3-2xW0,即xW|时,分式篝才有意义.

当x=|时，分式三套无意义.

5.当分式色0时,A,B应满足什么条件？

解:当A=0且BW0时,分式［的值为零.

6.当x为何值时,分式的值为0?

5x'21-3X，

解：（l）x+7=0且5xW0,即x=-7.

⑵7x=0且21-3xW0,即x=0.

0典例剖析

类型1列式表示

【例1】(教材补充例题)列式表示下列数量关系，并指出哪些是整

式,哪些是分式.

(1)甲每小时做X个零件,他做80个零件需小时；

(2)轮船在静水中每小时走a千米,水流的速度是b千米/时,轮船的顺

流速度是千米/时,轮船的逆流速度是千米/时；

(3)x与y的差除以4的商是.

〔解答)(1)四;分式.

X

(2)a+b,a-b;整式.

⑶争整式.

4

【跟踪训练1】对于单项式“5x”，我们可以这样解释:香蕉每千克

5元,某人买了x千克,共付款5x元.请你对分式后”给出一个实际生活

y

方面的合理解释:答案不唯一解口：香蕉每千克y元，某人付了3元钱，他可

以买到三千克香蕉.

y

类型2分式有意义的条件

【例2】(教材P128例1)下列分式中的字母满足什么条件时分式有

意义？

(1)擀；(2)吃；(3)-^-;(4)虫.

3xx-15-3bx-y

〔解答)(1)要使分式j有意义,则分母3x#0,即x#0.

3x

(2)要使分式吃有意义,则分母x-1^0,即xWl.

X-1

(3)要使分式占有意义,则分母5-3bW0,即b^f.

5-3b3

(4)要使分式也有意义,则分母x-y#O,即xWy.

x-y

【例3](教材P128例1变式)当x取何值时一，下列分式有意义？当x

取何值时一,下列分式无意义？当x取何值时一，下列分式值为零？

⑴筌；⑵争.

xz-4xz-x

〔解答〕(1)有意义:乂?-4#0,即xW±2;

无意义：x?-4=0,即x=±2;

值为零：2x-5=0且X2-4T^0,即X=|.

(2)有意义:x?-xWO,即xWO且xW1;

无意义:x2~x=0,即x=O或x=l;

值为零：*2-1=0且X2-X7^O,即X=-1.

〔)分式有意义的条件:分式的分母不能为0.分式无意义的条件：

分式的分母等于0.分式值为零的条件:分式的分子等于0,但分母不能等

于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.

【跟踪训练2】(《全科王》15.1.1T15)当x取何值时,分式富|

(x+2)

满足下列要求：

(1)值为0?

(2)无意义？

(3)有意义？

解：⑴当x=2时，分式的值为0.

(2)当x=-2时，分式无意义.

(3)当xW-2时-，分式有意义.

【跟踪训练3](《全科王》15.1.1T17)已知当x=-4时，分式卫无

x+a

意义，当x=2时,分式的值为零,求a-b的值.

解：由x=-4时，分式丑无意义,得-4+a=0,解得a=4.

x+a

由x=2时,分式包的值为零,得2-b=0,解得b=2.

.\a-b=4-2=2.

®巩固训练

1.在：ab-：ac,—,工,1,中，分式有（A）

234x+yJix

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.若巳是分式，则口可以是（D）

A.2B.3C.-6D.x+2

3.分式宇的值为0的条件是x=-l.

4.已知甲种糖果每千克售价为16元，乙种糖果每千克售价为20元,取甲种

糖果a千克和乙种糖果b千克,混合后的糖果每千克售价为理等元.当

a+b

a=25,b=15时,混合后的售价是每千克17.5元.

5.解答下列各题.

⑴当x取何值时一，分式二的值是非负数？

⑵当X为何值时,分式笔的值为负数？

⑶当X取何值时一，分式把空的值为0?

x-m

解：（l）x>2或.

口课堂小结

1.分式的定义及根据条件列分式.

2.分式有意义的条件.

15.1.2分式的基本性质

暮教学目标

1.理解并掌握分式的基本性质.

2.能运用分式的基本性质约分和通分.

也预习导学

阅读教材P129〜132内容,完成下面的练习题.

1.分数的基本性质：分数的分子与分母乘（或除以）同一个丕为_Q_的数,

分数的值不变.

2.类比分数的基本性质得到:分式的分子与分母乘（或除以）同一个丕

等于零的整式,分式的值不变.

3.用式子表示分式的基本性质:m；4名（其中M是不等于零的

整式）.

4.判断下列各组中分式能否由第一式变形为第二式.

（］）ajQ（a+b）.屹）x与%（x2+l）

a~ba2-b2'3y3y（x2+l）*

解：（1）不能.因为不能判定a+b#O.

⑵能.因为分式本身y#0,并且无论x为何值,x2+l永远大于0.

5.填空，使等式成立:

⑴3_(3(x+y))

(其中x+yWO);

4y4y(x+y)

y+2i

y2-4(y-2),

〔）在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的

值不变,给分式变形.

6.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫

做分式的约分.

7.分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.

8.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等

的同分母的分式，叫做分式的通分.

®典例剖析

类型1分式的基本性质

【例1】(教材P129例2)填空：

门\x3(x2)3x2+3xyx+y

xyy'6x2(2%)'

/\1(a)2a-b(2ab-b2)

的o)益二市，年;F^(bWO).

0根据分式的基本性质完成分式变形,若等号两边的分子完全出

现就对比分子,若等号两边的分母完全出现就对比分母,通过对比便可得

到变形的方法.

【跟踪训练11(1)下列等式的右边是怎样从左边得到的？

①左黑(反0);②土三.

2b2bcxyy

(2)想一想:为什么①给出cWO;而②没有给出xWO?

解:⑴①由cWO,知?萨=券

2D2b•c2bc

②由xr0,知亡=年三=次.

xyxy^-xy

(2)因为①等号左边的分母没有出现c,所以要明确cWO;而②等号左

边的分式中分母已经出现x,如果x=0,那么给出的分式没有意义.

0应用分式的基本性质时,一定要确定分式在有意义的情况下才

能应用.

【跟踪训练2】（《全科王》15.1.2T4）不改变分式的值使下列分

式的分子和分母都不含“-”号.

⑴当⑵篝；⑶券

-y-3n23b

解：⑴士.⑵-咨⑶-2

y3n23b

［）分式的符号、分子的符号、分母的符号,三个符号中改变其中

任意两个,分式的值不变.

类型2约分

【例2】（教材P131例3）约分:

⑴田；⑵金；⑶6x2-12xy+6y2

3x-3y

-25a2bc3_5abc•5ac2_5ac2

［解答）

15ab2c5abc•3b3b

x2-9_(x+3)(x-3)_x-3

X2+6X+9(X+3)2%+3’

6x2-12xy+6y2_6(x-y)2

=2(x-y).

3x-3y3(%-y)

U要约分,就要先找出分子和分母的公因式.

【跟踪训练3】（《全科王》15.1.2T6）约分.

/IX-3a3,G12a3(y-x)2⑶/T

1k727a(x-y)

解：(1)芍二一三.

a4a

12a3(y-x)24a2(x-y)

⑵

27a(x-y)9

x2-l__(X4-1)(X-1)_X+1

⑶x2-2x+l(x-1)2%-l

0约分的过程中注意完全平方式(a-b)2=(b-a)2的应用.像(3)这

样的分子、分母是多项式，应先分解因式再约分.

类型3通分

【例3】(教材P132例4)通分:

3i_a-b/门\2%13x

与-⑵-

2azbab£cx-5x+5

1解答)(1)最简公分母是2a2b2c.

3_3bc_3bc

2a2b2a2b•be2a2b2c^

a~b_(a-b)•2a_2a2-2ab

ab2cab2c•2a2a2b2c*

⑵最简公分母是(x+5)(x-5).

2x_2x(x+5)_2X2+10X

x-5(x-5)(x+5)x2-25'

3x_3x(x-5)_3X2-15X

x+5(x+5)(x-5)x2-25,

〔)通分时,要先确定各分式的公分母,一般取各分母的所有因式的

最高次幕的积作公分母，即最简公分母.

【跟踪训练4】通分:

(1)二与四•

、2y2,⑵品与母

2mn匕2m-3

4m2~92m+3

解:⑴成嗡券券

2?xy_2xy

⑵品廿(x+y)22(x+y)2

2

2mn2mn2m-3(2m-3)

4m2-94m2-9,2m+34m2-9

®巩固训练

1.不改变分式的值,将2变形,可得(C)

2—1

A.--B.—

%+2x-2

c.----U.—

x-2%+2

2.下列各分式中，是最简分式的是（D）

A2nmDmn

-r

・m+mn

「m2-n2Dm24-n2

m-n*m+n

3.不改变分式的值,将下列各式的分子、分母中的系数化为整数.

(])0.2x+y_2x+10y

0.2x-|y2x-5yf

i,1

⑵寺=9

6x-4y

4.约分:

(xT5(a+b)2,zx%2y+%y2m2-3m

1)-25(a+b)'(；2xy

⑶9-m2

缔.门)T5(a+b)_3(a+b)

师.-25(a+b).5.

(2)%2y+xy2_xy(x+y)_x+y

2xy2xy2'

m2-3mm(?n-3)_m

9-1712(3+m)(3-7n)771+3

5.通分：

11CL-16

⑴6ab2'()a2bc⑵a2+2a+lJa2-l

13ac12b

解：⑴

6ab218a2b2c19a2bc18a2b2c

a-l_(a_l)6_6Q+6

a2+2a+l(a+1)2(a-1)，a2T(a+1)2(a-1)

国课堂小结

1.分数的基本性质.

2.通分和约分.

15.2分式的运算

15.2.1分式的乘除

第一课时分式的乘除

©教茎目标.

1.理解分式乘除法的法则.

2.会进行分式乘除运算.

国预习导学

阅读教材P135〜137内容,完成下面练习题.

复习回顾：⑴|Y二裳*

(2)-X

797X963

⑶沁|义52x5105

43X4126

95X945

27X214,

分数的乘除运算法则:

1.两个分数相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作

为积的分母.

2.两个分数相除，把除数的分子、分母颠倒位置后,再与被除数相乘.

3.类比分数的乘除运算法则，总结出分式的乘除运算法则：

⑴乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为

积的分母;

⑵除法法则:分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除

式相乘.

用式子表端ca・ca^cada,d

db•d"bdbcb•c

®典例剖析

类型1分式的乘除运算

【例1】（教材P136例1）计算:

⑴竺・*.⑵空.-5a2b2

')3y2#•2c2'4cd

（解答）⑴原式=卓冷等一T

3y•2x36x3y3x2

⑵原式=穿・4cd__ab3•4cd_2bd

z222

2c-5ab2c・5a2b2^ac

1）运算结果应化为最简分式.

【跟踪训练1】计算:

⑴兴•禺；⑵学+8x2y;⑶-3xy+孚

4b9az5a3x

3a•16/74

解：（1）原式二

4b•9a23a

⑵原式=等-112xy3

5a8x2y5a•8x2yWax'

⑶原式~xy•券2

2y22y

（）整式与分式运算时,可以把整式看成分母是1的分式.注意变换

过程中的符号.

【例2】（教材P136例2）计算:

八、a2-4a+4*；⑵11

()a2-2a+l

az-449-m2*m2-7m*

2

⑴原式二(°-2)._—

1解答）尔"(a”(a+2)(a-2)

(a-2)2(a-l)

(aT)2(a-2)(a+2)

Q-2

(a-1)(a+2)'

m2~7m

⑵原式:1

49-m21

1Tn(?n-7)

(7+m)(7-m)1

(7+m)(7-?n)

__m

7+m*

【跟踪训练2】（《全科王》15.2.1第一课时T13）计算.

(1)(a-2)-(2)-^4-(x+3);

az-4a+4xz+2x

(3)"+2%y+y2=xy+y2

xy-y2x2-2xy+y2*

解：(1)原式=(a—2)・32(2)位+2.

(a-2)

⑵原式治1_2

x+3X2+2X*

(x+y)2.(x-y)2(%+y)(%-y)x2-y2

⑶原式二

y(x-y)y(x+y)y2y2

类型2分式的乘除的实际应用

【例3】（教材P136例3）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长

为am（a>l）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分,

“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-l)m的正方形，两块试验田的小

麦都收获了500kg.

⑴哪种小麦的单位面积产量高?

⑵高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?

〔解答)(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(aZ-Dm；单位面积

产量是詈kg/m2：“丰收2号”小麦的试验田面积是(aT)元单位面积产

II500

量^(a-l)2kg/m~.

Va>l,A(a-l)2>0,a-l>0.

由图可得(aT)2<a2-L

.500,500

a2T(a-l)2,

...“丰收2号”小麦的单位面积产量高.

500500_500.a2-l_(a+l)(a-l)_a+l

(a-l)2a2_l(a-l)2500(a-l)2a-l*

“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积

产量的二倍.

a-l

【跟踪训练3】(《全科王》15.2.1第一课时T16)有甲、乙两筐水

果，甲筐水果重(XT/千克，乙筐水果重&2-1)千克(其中x>l),售完后，两

筐水果都卖了50元.

⑴哪筐水果的单价低？

(2)高的单价是低的单价的多少倍?

解：(1)乙筐水果的单价低.

50二50_50.(%+l)(x-l)

⑷(.1)2丁正T(%—1)2・50

%+1

x-1,

...高的单价是低的单价的学倍.

%-1

@巩固训练

1.下列计算对吗?若不对,要怎样改正？

⑴7=1；(2)-4-a=b;

aba

(3)W・"迎(4)^4--=-.

2bx2x3a2x3

解：(1)对.

(2)错.正确的是与

(3)错.正确的是-二.

X

(4)错.正确的是老

3az

2.计算：

y

⑴;15久2

(2)—4-(-2xb);

X

5x-5y.9秒2.

3%2y%2-y2'

a2-b2,a-b

4a2+12ab•a+3b

解:⑴黄y_i

15x23x,

(2)-4-(-2xb)=—•—

xx-2xbX

(3)5y.9xy25(x-y).9xy215y

3x2yx2-y23x2y(x+y)(x-y)x(x+y)*

(4)原式(a+b)(。一匕).a+3ba+b

、4a(a+3匕)a-b4a'

3.先化简，再求值:二|三,其中x=6.

x+3xz-4x+4

解.原式上・3+3)0353.

.八x+3(%-2)2x-2,

当棵树,若甲队单独植树,需要n天(n>l)才能完成,若乙队单独植树,则乙

队完成任务需要的天数比甲队的2倍多1天.那么甲队每天植树的棵数是

乙队的3倍吗?请说明理由.

解：甲队每天植树的棵数不是乙队的3倍.理由如下：

由题意可知，甲队每天植树的棵数为竺,乙队每天植树的棵数为三匚,则竺

n2n+ln

・mm2n+l2n+l

—__________二___•二

2n+lnmn

因为n>l,所以2n+K3n,EP—<3.

n

©课U'结

1.分式的乘除运算法则.

2.分式的乘除法法则的运用.

第二课时分式的乘除混合运算及乘方

色教学目标

1.理解分式乘方的运算法则.

2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.

暮预习导售.

阅读教材P138〜139“例5”内容,完成下面的练习题.

1.回顾累的运算法则：

⑴/1\am.•a/n-__a__m+n(2)am4-an=am'n;

(3)(am)n=amn;(4)(ab)n=anbn.

2.计算：（/；（/；（/I

2

解：（£）2耍aa*aa

bb,bb29

3

同理亨号;io_a10

D10,

aCl*CL.........CLQ71

3.类比上面的例题归纳：（今3•

Ibb•b.........bbn

分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.

4.判断下列各式是否成立,并将错误的改正.

⑴的哈⑵（新喏

9a2

⑶当J薯⑷喘）Jx2-62,

解：（1）错.正解:砥尸二（匕3产b6

(2a)24a2,

⑵错.正解：（爱y二.(-3b)2_9M

(2a)24a2'

(2y)3_8y3

（3）错.正解：（葺）.——--------------

(-3x)327x3'

⑷错.正解:（汐二(3a)29a2

(x-b)2x2-2bx+b2'

〔）做乘方运算要先确定符号并正确运用事的运算法则.

@典例剖析

类型1分式的乘除混合运算

x

【例】(教材P138例4)计算言

15x-325xz-95%+3

rg_ix_2x.25X2-9.x_2x2

（解答）八15x-335x+33'

〔）乘除混合运算可以统一为乘法运算.

【跟踪训练1】（《全科王》15.2.1第二课时T3）计算.

2x2y5m2n^Sxym

⑴3mn24xy23n'

_a_+_2_•___a_-_l___—.__1__•

a2-la2+4a+4*a+2'

__3_x_—.____2___•__x___

4尤-3•16N-94X+3"

解：（1）原式=当.誓3n1

3mn‘4xyz5xym2y2,

a+2a-l

⑵原式:,(a+2)=」一.

(a+l)(a-l)(a+2)2a+1

2

/^\庙卡3%.(4x+3)(4%-3).x3x

八4X-324x4-32

类型2分式的乘方

【例2】（教材P139例5）计算:

⑴(弟)2；(2)(­a2b

3c-cd3T家

(-2a2b产4a4b2

〔解答）（1）原式:(3c)29c2•

232

(a2b卢d3ca6b3dca3b3

------------=--------------••-----------二——-----------

⑵原式二33392

(-cd)2a(2a)之-cd2a4a8cd6.

（）分式的混合运算的顺序与数的混合运算一样,先乘方,再乘除.

【跟踪训练2】计算（g）2+（a-l）•子.

a+3a-l

解；原式-ST）2・J_,（3+a）（3-a）_3-a^

•八（a+3）2a-la-la+3*

〔）复杂的分式混合运算,要注意:①能分解因式的就先分解因式;

②化除法为乘法；③分式的乘方;④约分化简成最简分式.

®巩固训练

1.计算:

-2x4y2^3.

(DC

a2-b2

a2+2ab+b2

2ab3

)\2丁.6市a4.3

~c2d

(~2x4y2)38x12y6

解：（1）原式二

(3Z)327z3•

_a+b

⑵原式二(a+b)(a-d)(a+b)

(a+匕)2(a~b)2a~b*

3

4a2b6b-27c318D3

（3）原式:

c4d26a4b6a2cd2'

2ab2.ab3

2.化简求值:康『其中aT,b=3.

a+ba2-b2

解:原式弓Jr；求值结果：T?

2b{a­b）30

3.化简求值（右）2・畤其中a=1,b=-3.

az-aba-ba-b2

解:原式=2＞求值结果:-1.

4.小明在做一道化简求值题：（xyT）・立竺叱・号，他不小心把条件X

xyx乙

的值抄丢了，只抄了y=-5,你说他能算出这道题的正确结果吗?为什么？

解:原式=x6x）.竟尸置f.

•••分式的值与x的值无关.

...他能算出这道题的正确结果,是5.

通课堂小结

1.分式乘方的运算.

2.分式乘除法及乘方的运算方法.

15.2.2分式的加减

第一课时分式的加减

@教学目标

1.熟练地进行同分母的分式加减法的运算.

2.会把异分母的分式通分,转化成同分母的分式相加减.

色预习导要

阅读教材P139~140内容,完成下面的练习题.

1.观察思考:

⑴阜二；

555555

⑶-9；/八11321

236663666,

同分母分数相加减,分母不变,把分子相加减.

异分母分数相加减,先通分,再把分子相加减.

2.类比分数的加减,分式的加减法则如下:

(1)同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减.

用字母表示为:士+也空;二丝丝.

CCCCCC

(2)异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.

用字母表示为:白：=暗；｝：=鬻

bdbdbdbd

3.⑴型X

XXX

a5-a

■一二-

⑵;yy,

(3)^^_bay+bx

xyxy

2xx4xn-3mx

3m2n6mn

典例剖析

【例1】⑴教材P139问题3中的;++工冷片

叁

（2）教材P139问题4中的S3S2_S2S]S3S]S

S?SiS2sl

【例2】（教材P140例6）计算:

5%+3y2x

⑴

x2-y2x2-y2

11

⑵2P+3q"2k3q・

（解答）（1）原式:5x+3y-2x3x+3y3(x+y)3

x2-y2(x+y)(x-y)(x+y)(%-y)x-y*

⑵原式:2P-3q+2P+3q_2P_3q+2P+3q_4p

(2p+3q)(2p-3q)(2p+3q)(2p-3q)(2p+3q)(2p-3q)4p2-9q2'

（）（1）在与分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因

式；（2）注意:过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.

【跟踪训练1】（《全科王》15.2.2第一课时T4）计算.

⑵9-V;

(D—aax-2x-2

2x2y⑷三+±.

(x-y)2(x-y)2'x-22-x

解：⑴原式上』.

a

⑵原式当=-1.

%-2

2x2y2

⑶原式:o2

(x-y)(x-y)x-y

⑷原式*」*-4-3+2)①幻=x+2.

x-2x-2x-2x-2

【跟踪训练2】（《全科王》15.2.2第一课时T8）计算.

^a+b_b+c1

(2)—4-,

abbea+1a(a+l)'

2

⑶工r

(Q+匕)C_(匕+C)ab(c-a)c-a

解：(i)原式二

abcabcabcac

⑵原式品1

a

⑶原式=»4

x-1X-lX-1

国巩固训练

1.阅读下面题目的运算过程:

%-3_2

x2-l1+x

%-3_2(%-1)①

(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)

=x-3-2(x-1)...②

=x-3_2x+2...③

=-x-l....(4)

上述计算过程中，从哪一步出现错误?写出该步代号:②;

(1)错误的原因是漏掉了分母;

⑵请写出正确的计算过程.

解:原式=就32(%-1)

(x+l)(x-l)

-(%+1)

1

X-\

2.计算:

a2a3a

(1)--十-------；⑵

b+1b+1b+12c2d3cd2'

al

a2-b2a+b

解：（1）原式=0.

⑵原式=涔含

6c2d2

⑶原式=六・

3.若一:；求A,B的值.

(x+l)(x-l)X+1%-1

Ag...%-5_A(%T)+B(%+1)

•*(x+l)(%-l)(%+1)(%-1)'

...x-5=(A+B)x+(-A+B),

.(A+B=1,

''l-A+B=-5,

解得A=3,B=-2.

@课皇小结

1.分式加减运算的方法思路：

异分母通分1同分母分母不变分子（整式）

相加减转化为相加减相加减

2.分式相加减时,如果分子是一个多项式,要将分子看成一个整体,先

用括号括起来,再运算,可减少出现符号错误.

3.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式（或整式）.

第二课时分式的混合运算

®教学目标

1.灵活应用分式的加减法法则.

2.会进行分式加减乘除混合运算.

辱预习导芋.

阅读教材Pl材~142“例7、例8"，完成下面的练习题.

1.分数的混合运算顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减.

类比分数的混合运算法则，你能猜想出分式的混合运算顺序吗?试一

试.

分式的混合运算顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减.

2.计算：

(1)1-^4-—•空；(2)1+—-2a+1;

2y2y3xa-la2+a-2

⑶(节2小(鲁刍.

b5b5b

解：(1)原式=1-瑟•空•亚=1-2=更生.

2y3x3x3x3x

(2)原式口+吃

a-l,(等aT)(a+2)

a2+a-2,a+22a+l

=----------------------+----------------------------------------------

(a-l)(a+2)(a-l)(a+2)(a-l)(a+2)

2

_a-l_(a+l)(aT)_Q+1

(a-l)(a+2)(a-l)(a+2)a+2>

S、向#工2。+。2_。2.5b_5a

()原可下丁^-一正.2a+a2，(a+2,

()严格按照计算顺序计算,在计算过程中，分式前面是“-”号时,

计算时一定要注意符号变化.

国典例剖析

【例1】(教材P141例7)计算号)2.六一/*

［解答)(金・—丹

ba-bb4

4a21a4

二•——•一

b2a-bbb

4a24a

b2(a~b)b2

_4a2_4a(a-d)

b2(a­Z?)b2(a-b)

__4a2-4a2+4ab

b2(orb)

_4ab

b2(a-b)

_4a

ab~b2'

【例2】(教材P141例8)计算:

⑴”2+券.黑

)工％

(2)(x+2_%-1-4

x2-2xX2-4X+4x

(m+2)(2-7n)+52m-4

1解答）（1）原式:

2-m3-m

__9-m2.2(?n-2)

2-m3-m

(3-m)(3+m)-2(2-m)

二_______________________•_______________

2-m3-m

=-2(m+3)

=-2m-6.

x+2x-1X

(2)原式=[

x(x-2)(x-2)2x-4

(x+2)(x-2)-x(x-1).x

x(x-2)2x-4

X2-4-X2+X

(x-2)2(x-4)

1

(x-2)2,

【跟踪训练1】（《全科王》15.2.2第二课时T12）计算.

⑴("]

3%+yy•3

⑵舄r&）仁捻

⑶(级+x+2)+七史1

%-3x-3

(4)—•(―)2-

aa+1a-la+1

解:⑴原式冬•1X39x2_9x2+3xy_3x

3x+yyyy2(3x+y)y2(3x+y)3xy+y2

⑵原式

21a+br2aa+ba+b_a-b

——二L1

一(a+匕)(a-b)a(a-b).aa(a+b)(a-b)a(a+b)(a-b)aa(a+Z?)(a-b)

a+b_1

aa2'

(%+2)(%-2)x-3x+2

⑶原式:

x-3(4-2)2X-2,

2

⑷原式q-4a24a24a2-4。-2

a(a+1)2(a+l)(a-l)a+1(a+l)(a-l)a2-l

【例3］（补充例题）先化简（^-x-2）.詈然后从-2q<2

范围内选取一个合适的整数作为X的值代入求值.

（导引）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再选取

使分式有意义的X的值代入计算可得.

（解答）原式式篇/一&+2）］.言

-%2+X+6x-2

二-------------------•-----------

%-2x+2

__(x+2)(x-3).x-2

x-2x+2

=-(x-3)

=-x+3,

•.•xW±2,.•.可取x=l,

则原式=T+3=2.

（）在运算过程中，要注意:

(1)与整数或整式相加减时,把整式或整数看成分母是1的整式或整

数,通分后再计算;

⑵化简求值,一定要化成最简分式再求值;

⑶自己选择值代入时,所代入的字母值要保证原分式有意义.

【跟踪训练2](《全科王》15.2.2第二课时T15)先化简(^--a+1)

9先产,然后给a选择一个你喜欢的数代入求值.

解:原式二岛号)Q+1

(a-2)2

/3_a2~i\a+1

%+1a+l(a-2)2

__4-a2a+1

a+1(a-2)2

2+a

•.•要使分式有意义，••.a+IWO且a-2N0,

解得a7^-1且aW2.

当a=l时，-=3.

2—1

®巩固训练

1.计算：

⑴(1+白)・喑；

m+1加-4

⑵备II备；

(3)x+y+/.

x-y

解：(1)原式=弋.

m-2

(2)原式

(3)原式二在~.

x-y

_2_2

2.先化简，再求值:—・2：y42一2,其中X=2.25,y=-2.

x+2yxz+4xy+4yz

解:原式=-二-.

x+y

当x=2.25,y=-2时，

原式=-三-=-9.

2.25-2

3.化简式子当+(X-竺3,从0,1,2中取一个合适的数作为x的值代入求

X2X

值.

解:原式=吃,

x-2

Vx^O,2,

/.当x=l时，

原式=T.

◎课堂小结

1.“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减.在这里

要注意分数线的作用.

2.注意分式和分数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后加

减.

3.运算结果,能