高三数学一轮复习讲义离散型随机变量及其分布教师

课题：离散型随机变量及其分布知识点一、离散型随机变量的分布列1.随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．2.离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.013.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列为其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．(2)超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件{}发生的概率为，，其中，且，称分布列为超几何分布列.01…m…(3)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值()的概率为，则称表…………为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列．分布列的两个性质①，；②.【典型例题】例1.将一颗骰子均匀掷两次，随机变量为(C)A．第一次出现的点数B．第二次出现的点数C．两次出现点数之和D．两次出现相同点的种数例2.设X是一个离散型随机变量，其分布列为则q等于(c)X－101P1－2qq2A．1B．1±eq\f(\r(2),2)C．1－eq\f(\r(2),2)D．1＋eq\f(\r(2),2)例3.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．例4.已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．求X的分布列．【举一反三】1.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()A．25B．10C．7D．62.设随机变量X的概率分布为则P(|X－3|＝1)＝________．X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)3．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为eq\f(2,3)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．【课堂巩固】1．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()X012Peq\a\vs4\al(A.)X012Peq\a\vs4\al(B.)X1234P0eq\a\vs4\al(C.)X012Peq\f(1,7)eq\f(2,7)eq\f(3,7)eq\a\vs4\al(D.)解析：利用离散型随机变量分布列的性质检验即可．答案：C2．带活动门的小盒子里有来自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X表示放出的蜂中工蜂的只数，则X＝2时的概率是()A.eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(4,10),C\o\al(5,30)) B.eq\f(C\o\al(2,20)C\o\al(3,10),C\o\al(5,30))C.eq\f(C\o\al(3,20)C\o\al(2,10),C\o\al(5,30)) D.eq\f(C\o\al(4,20)C\o\al(1,10),C\o\al(5,30))解析：依题意，X服从超几何分布，∴P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20)C\o\al(3,10),C\o\al(5,30)).答案：B3．已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ123…nPeq\f(k,n)eq\f(k,n)eq\f(k,n)…eq\f(k,n)则k的值为()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．3解析：由eq\f(k,n)＋eq\f(k,n)＋…＋eq\f(k,n)＝1，∴k＝1.答案：B4．若离散型随机变量X的分布列为：X01P9c2－c3－8c则常数c的值为()A.eq\f(2,3)或eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D．1解析：由分布列的性质得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9c2－c＋3－8c＝1,9c2－c≥0,3－8c≥0))，解得c＝eq\f(1,3).答案：C5．设随机变量X的概率分布列为X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)则P(|X－3|＝1)＝________.6．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．解析：依题意η的取值可为0,1,2.∴P(η＝0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)7.某学院为了调查本校学生2013年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组；[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列．所以Y的分布列为：Y012Peq\f(29,52)eq\f(5,13)eq\f(3,52)8.口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X＝2)＝eq\f(7,30)，求：(1)n的值；(2)X的分布列．【课后练习】正确率：1．如右图所示，A、Bξ，则P(X≥8)的值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)2．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))的值为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)3．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，则P(x1≤ξ≤x2)等于()A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)4．从4名男生和2名女生中选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．5．李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与x的大小．(只需写出结论)6.某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(2,3).(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．解析：(1)∵X的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,9)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(7,18)，P(X＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\