2018届高三高考数学二轮复习分类训练

2018届高三高考数学二轮复习

专题训练

目录

概率论与数理统计01.........................................................................................1

概率论与数理统计02........................................................................................7

概率论与数理统计03.......................................................................................13

概率论与数理统计04......................................................................................21

离散型随机变量期望与方差..............................................29

离散型随机变量分布列..................................................36

三角函数01......................................................................................................42

三角函数02.....................................................................................................48

三角函数03......................................................................................................54

三角函数04......................................................................................................59

数列01.............................................................................................................65

数列02.............................................................................................................73

数列03.............................................................................................................80

数列04.............................................................................................................87

数列05.............................................................................................................94

数列通项公式的求法一构造构造辅助数列...............................101

数列通项公式的求法二累加累乘.........................................107

数列通项公式的求法三特殊方法........................................112

圆锥曲线01....................................................................................................118

圆锥曲线02....................................................................................................125

圆锥曲线03....................................................................................................133

圆锥曲线04....................................................................................................141

高三高考数学二轮复习专题训练

概率论与数理统计01

1、甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,8,C,。四个不同的岗位服务，每个岗位至少

有一名志愿者。

(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；

(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。

A?1

解：(1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件£人，那么P(EQ=T7=—,

。5A40

即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是1-。

40

A41

(2)设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)=r4=±,

C5At10

—9

所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)=1-P(E)=N-。

2、一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，

摸出的球不再放回。

(1)连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率;

(2)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率。

解:(1)从袋中依次摸出2个球共有蜀种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有尺尺

A2A21741

种结果，则所求概率［=」^=一(或片=2'—=一)。

A;6986

A1A1A1

(2)第一次摸出红球的概率为T，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球

A；

4-4'

的概率为—2，则摸球次数不超过3次的概率为：

4

一A；小；，湖二7

2Al4；闵12°

1

高三高考数学二轮复习专题训练

3、在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的。若对4道选择题中的每

一道都任意选定一个答案，求这4道题中：

(1)恰有两道题答对的概率；

(2)至少答对一道题的概率。

解：设“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试

验中“选择正确”这一事件发生的概率为工,由独立重复试验的概率公式得::

4

(1)恰有两道题答对的概率为6==条

4,81175

(2)至少有一道题答对的概率为1一4(0)=1-C；-I_____=____

-256-256

4、为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了

“株沙柳。各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为尸，设J为成活沙柳的株数，数学

期望为3,标准差若为立。

(1)求〃,P的值，并写出片的分布列；

(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率。

解：由题意知，J服从二项分布B(马p),P(J=k)=Cpk(l—pyT,攵=0,1,…

311

(1)由Ej=np=3,(4A=np(l-p)=—，得1一〃二万,从而n=6,P=—o

J的分布列为：

0123456

1615201561

P

64646464646464

(2)记“需要补种沙柳”为事件A,则P(A)=P(JW3),

，曰o/人、1+6+15+2021—a1匕015+6+121

得P(A)=----------=一,或尸(4)=1-P(J>3)=11---------=一

64326432

2

高三高考数学二轮复习专题训练

5、在某次普通话测试中，为测试字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片上印有一个汉

字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音"g'：

(1)现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片中随机抽取1张，

测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行，求这三位被测试者抽取的卡片上，

拼音都带有后鼻音“g”的概率；

(2)若某位被测试者从这10张卡片中一次随机抽取3张，求这3张卡片上，拼音带有后

鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。

解：(1)每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取的1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”

的概率为士。因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而，所求

(2)设A,(j=0,1,2,3)表示所抽取的三张卡片中，恰有，张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其

C'C27C31

相应的概率为p(4)，则P(A?)=,=而，。3)=才=示，

7111

)

因而所求概率为P(A+A3)=P(A2)+/(A3)=—+—=—o

6、某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B

的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人

参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为4,科目B每次考试成绩合格的概率

3

均为设各次考试成绩合格与否均互不影响。

2

(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；

(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为J,求J的

数学期望

3

高三高考数学二轮复习专题训练

解：设“科目A第一次考试合格”为事件A:'科目A补考合格”为事件A2:'科目B第一次考试

合格”为事件与，“科目B补考合格”为事件B20

(1)不需要补考就获得证书的事件为4•旦，注意到Ai与Bi相互独立，

211

则尸(A叫)=P(4)XP(4)=§X5=3

所以，该考生不需要补考就获得证书的概率为

3

(2)由已知得，J=2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

----2111114

p6=2)=尸(A再)+P(A叫)=?彳+代=1+十三，

3幺333yy

-...-2112111211114

^=3)=^^)+^^)+^^)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=-+--=-,

32232233266+99

———....12111211111

P©=4)=尸(A叫叫应)+P(A叫再也)=-x-x-x-+-x-x-x-=-+-=-.

33ZZ33ZZloloy

44188

故Ef=2x2+3x=+4x+=2。答：该考生参加考试次数的数学期望为2。

99933

7、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试

合格就签约。乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试

合格的概率都是上,且面试是否合格互不影响。求:

2

(1)至少有1人面试合格的概率；

(2)签约人数&的分布列和数学期望。

解：用C分别表示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知A,8,。相互独立，且

P(A)=P(B)=P(C)=g。

_______17

(1)至少有1人面试合格的概率是1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1一(一y=-

28

(2)&的可能取值为0,1,2,3o

P(W=0)=P(ABC)+P(ABQ+P(ABC)

4

高三高考数学二轮复习专题训练

=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABQ

“⑷P向P©+P⑷尸⑷尸©+尸⑷P同P(O=(3+(3+(夕=|.

——11

p(^=2)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=-.,=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=-.

88

所以，］的分布列为：

0123

3311

P

8888

3311

［的期望E［=0x2+lx2+2x±+3x上=1。

8888

8、已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验

结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病。下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止。

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验。若结果呈阳性则表明患病动物为这3

只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中

任取1只化验。

(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

(2)J表示依方案乙所需化验次数，求J的期望。

5

高三高考数学二轮复习专题训练

方案乙所需化验次数4的期望为0.2x0.4+0.2x0.8+0.2xl+0.2xl0.64o

6

高三高考数学二轮复习专题训练

概率论与数理统计02

9、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费。元，如果投保人在购买保险的

一年度内出险，那么可以获得10000元的赔偿金。假定在一年度内有10000人购买了这种

保险，且各投保人是否出险相互独立。已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元

的概率为1-0.999"'。

(1)求一投保人在一年度内出险的概率p;

(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小

于0,求每位投保人应交纳的最低保费。(单位：元)

解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p,记投保的10000人中出险的人数

为J，则J〜p).

(1)1己A表示事件保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金则,发生当且仅当4=0,

P(A)=1一尸(a=1—P(J=0)=l-(l—0严，又P(A)=l-0.999©,故“=0.001。

(2)该险种总收入为1000Q/元，支出是赔偿金总额与成本的和。

支出:10000^+50000,盈利:77=10000a-(10000^+50000),

盈利的期望为日7=10000。一10000£^—50000,由J〜3(104JO-，知，

成=10000x10-3,Ez7=io4a-lO4^-5xlO4=104a-104xl04xl0-3-5xl04o

Ez/^O«104«-104xl0-5xl04^0<=><z-10-5^015(元卜

故每位投保人应交纳的最低保费为15元。

7

高三高考数学二轮复习专题训练

10、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6,

且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

(3)记J表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求J的分

布列及期望。

解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，

记6表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，

记。表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，

记。表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，

(1)C=AB+AB,P(C)=P(AB+A-B)=P(A-5)+P(A-B)

=P(A)・尸(5)+P(A)・P(豆)=0.5x0.4+0.5x0.6=0.5;

(2)D=AB,P(D)==P(A)-P(B)=0.5x0.4=0.2,

尸(O)=l-P(万)=0.8;

(3)5(3,0.8)，故J的分布列为：

2

%=0)=023=0.008.=i)=c]x0.8x0.2=0.096;

=2)=C；x0.82x0.2=0.384;P(=3)=08=0.512;所以Ej=3x0.8=2.4。

11、甲乙两个盒子中装有大小相同的小球，甲盒中有2个黑球和2个红球，乙盒

中有2个黑球和3个红球，从甲乙两盒中各任取一球交换。

(1)求交换后甲盒中恰有2个黑球的概率；

(2)设交换后甲盒中黑球的个数为自，求[的分布列及数学期望。

8

高三高考数学二轮复习专题训练

解：(1)取出的两个球都是黑球，则甲盒恰好有两个黑球的事件记为4,

则尸⑷=耳与」；

取出的两个球都是红球，则甲盒恰好有两个黑球的事件记为A2,

ClCl31

则262)=^^=高；所以P=P(A)+P(A2)=7。

C4,C51v2

(2)^=1)=4^-=—，PC=2)=L,PC=3)=^^=3

C\C\102bC\C\5

自的分布列为：

12、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为,，现有甲、

7

乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，

直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在第一次被取出的机会是等可能

的，用J表示取球终止时所需要的取球次数。求：

(1)袋中原有白球的个数；

(2)随机变量J的数学期望；

(3)甲取到白球的概率。

/j(n-l)

1C27

解：(1)设袋中原有几个白球，由题意知：3=方=一短-=-羡

：.〃(〃—1)=6,解得〃=3或〃=-2(舍去),即袋中原有3个白球；

(2)由题意，J的可能取值为1,2,3,4,5,

9

高三高考数学二轮复习专题训练

3

P(4=l)=],Pq=2)=4x3_2山.344x3x36

7x67'()7x6x535

p饪=4)=4.X3X2X334x3x2xlx31

/j—DJ—

\'7x6x5x4357x6x5x4x335

所以，取球次数^的分布列为：

A1*»345

32631

P

77353535

£4=lx-+2x-+3x—+4x—+5x-=2.

77353535

(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到

白球”的事件为A，则P(A)=P("J=1”或=3”或"J=5”),

因为事件笛=1"*=3"*=夕两两互斥,

所以尸(A)=P(”1)+尸("3)+P(J=5用+卷+2=||

13、甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有机个球，乙袋中共有2根

2

个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为',从乙袋中摸出1个球为红球的概率为

(1)若〃?=10,求甲袋中红球的个数；

(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是:，求鸟

的值；

(3)设22=),若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且

从甲袋中摸1次从乙袋中摸2次。设J表示摸出红球的总次数，求J的分布列和数学期望。

2

解:(1)设甲袋中红球的个数为x,依题意得x=10x《=4;

2

—m+2mP2]q

(2)由已知得：3------------=!，解得R=二

3m3210

10

高三高考数学二轮复习专题训练

,c、n%八、34448八“八2443G1456

(3)P(^0)=-x-x-=-，P(^l)=-x-x-+-xC2x-x-=-

,P(^=3)=1x||2

3O125

所以？的分布列为：

40123

2

P485619

X

125125125125

4

所以=1。

14、甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者对本队赢得一

2221

分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为女，乙队中3人答对的概率分别为士,士二，

3332

且各人回答正确与否相互之间没有影响。用J表示甲队的总得分。

(1)求随机变量4的分布列和数学期望；

(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用8表示“甲队总得分大于乙队

总得分”这一事件,求尸(AB)。

解：(1)解法1:由题意知，J的可能取值为0,1,2,3,且

P(^0)=Cfx[l-|)3=±,^=l)=C]x|x(l-|j2=|,

PC=2)=cM|j“W,"『Mx/*。

所以J的分布列：

0123

1248

尸

279927

州数学期望为-0$+lx|+2x扣乂*2。

解法2:根据题设可知，J〜,因此J的分布列为：

11

高三高考数学二轮复习专题训练

%=上小扑1丁=《9k=0,1,2,3o

因为4〜,所以Ej=3xg=2。

(2)解法1:用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用。表示“甲得3分乙得。分”这一

事件，所以4B=CU。，且C，。互斥，

2

1112111110

又P(C)=C；x-X-X-+-X-X-+-X-X-

32332332F，

P(DXx[|)3xgxixg=1,

1043434

由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=—+—=—=——o

33323

解法2:用人表示“甲队得女分”这一事件，用纥表示“乙队得攵分”这一事件，k=0,1,2,3o

由于事件，44为互斥事件，

故有餐)=。

P(AB)=P(A3BOU4P(AB0)+P(A2Bi)

由题设可知，事件人与为独立，事件为与与独立，

因此P(AB)=p(Ad)+p(&4)=P(A)P(线)+P(4)P(4)

-仔丫J】xlL-QJJ।21一34

一⑴廿产XEE*关+54司一诟。

12

高三高考数学二轮复习专题训练

概率论与数理统计03

15、随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三

等品20件、次品4件。已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、

1万元，而1件次品亏损2万元。设1件产品的利润(单位：万元)为

(1)求J的分布列；

(2)求1件产品的平均利润(即J的数学期望)；

(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,一等品率提高为70%o如

果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

解：(1)J的所有可能取值有6、2、1、一2;

P(^=6)=—=0.63;P«=2)=拒=0.25;

200200

204

p《=l)=君=0.1；p6=_2)=荻=0。2，故J的分布列为：

461•X

P0.630.250.10.02

(2)£^=6x0.63+2x0.25+1x0.1+(-2)x0.02=4.34；

(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为

£：(X)=6X0.7+2X(1-0.7-0.01-X)+(-2)X0.01=4.76-A(0<X<0.29)

依题意，E(x)>4.73,即4.76-X24.73,解得xW0.03,所以三等品率最多为3%。

16、在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一巨大汽油罐。已知

只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中

率都是士，每次命中与否互相独立。

3

13

高三高考数学二轮复习专题训练

(1)求油罐被引爆的概率；

(2)如果引爆或子弹用尽则停止射击，设射击次数为J,求J的分布列及其数学期望。

解：(1)‘油罐被爆引的事件为事件A,其对立事件为A,”

贝P(A)=C^V)4+d)5.•・P(A)=1-P(A)=--

535»•,

24

(2)射击次数J的可能取值为2、3、4、5,P(J=2)=(-)2=-；

j9

P(^=3)=C；-j.1.|=1-；尸e=4)=C；H)2,；=t.

JD。。。/

7111

4

^=5)=c-.-.(-r+(-)=-：

故j的分布列为：

2345

484£

P

927279

c4、8“4u179

E&2x-+3x——+4x——+5x-=——

92727927

17、学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有

1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个

球，若摸出的白球不少于2个，则获奖。(每次游戏结束后将球放回原箱)

(1)求在一次游戏中，

①摸出3个白球的概率；

②获奖的概率；

(2)求在两次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)o

14

高三高考数学二轮复习专题训练

i।杆3峻-，i1次劭战中独：丁了个门球~为1：气」(，，。・1・2・33・“

、C;C；1

u>Q"在1次说皮中女其“为小寸〃•㈣A=4U4・乂

、

，gyC\WC:

IO

1

•II》t*z||■白白U.V的m,口・“龟以他为0•

《7Y”

f=吁L"E

7>

所以XM力6F至___

二匚五二

7

*的故不用；'"5

2

18、某射手每次射击击中目标的概率是一，且各次射击的结果互不影响。

3

(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；

(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率;

(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分。在3次射

击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3

分。记J为射手射击3次后的总的分数，求J的分布列。

(1)解：设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X~8[5,g)。在5次射击中，恰

2?_40

有2次击中目标的概率P(X=2)=C2X1|

5YXG3J-243

/

(2)解：设，第，次射击击中目标”为事件4(i=l,2,3,4,5):'射手在5次射击中，有3次连

续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，贝IJ

P(A)=P(A4A4')+P(A4444)+P(4%A4A)

15

高三高考数学二轮复习专题训练

8

87

(3)解：由题意可知，J的所有可能取值为0,1,2,3,6

P《=0）=P（T*）=

12122

尸«=1)=尸(A44)+avlA)+尸(%无A)=+-X-X-+x-=-

33339

——2124

P《=2）=P（A4A）=5X§X丁云，

户《=3）=P（AaH）+P（44A3）=仔］x1+1xW=.，

P«=6）=P（A44）=

所以J的分布列是：

＜）1*>36

183

一•而2727

*—•

19、在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3

件，求：

(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；

(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果为C；。，从10件产品中任取3件，

其中恰有人件一等品的结果数为C：C/,那么从10件产品中任取3件，其中恰有人件一等

「k「3-k

品的概率为P(X=k)=31,k=0,1,2,3,

"o

所以随机变量X的分布列是：

16

高三高考数学二轮复习专题训练

X0123

7

242173

p4O-40-T2O

721719

X的数学期望EX=0x2-+lx二+2x」-+3x」一=二

24404012010

(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A;

“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A;

“恰好取出2件一等品”为事件A?；

“恰好取出3件一等品”为事件A?;

C'C23

由于事件4,4,&彼此互斥，且A=4U&UA3,而=5,

71

P(4)=尸(X=2)=而，P(4)=P(X=3)=芮，

所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为

37131

尸⑷=P(AJ+P(A,)+P(4)=j+'+——=—o

1234040120120

20、甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为g与p，且乙投球

2次均未命中的概率为工。

16

(1)求乙投球的命中率p;

(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为J,求J的分布列和数学期望。

解：(1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B,

由题意得(1一尸(5))2=(1—p)一二7,解得p=二或p=:(舍去)，

1644

3

所以乙投球的命中率为一；

4

1-13-1

(2)由题设和(1)知尸(4)=,,P(A)=],「网二,P(B)=-O

17

高三高考数学二轮复习专题训练

J可能的取值为0、1、2、3,故P©=0)=尸(X)P(月方)=gx］；11W

___,__IfIV3117

=1)=P(A)P(BUB)+C[P(B)P(B)P(A)=2xl4I+2义丁1*厂交

p©=3)=P(A)P(8OB)=

P©=2)=1—PC=0)—PC=l)-PC=3)=<;

?的分布列为：

0123

17159

尸

32323232

17159

J的数学期望Ej=0x石+lx"+2x“+3x石=2。

，乙。乙◊乙

21、已知甲盒内有大小相同的1