2024年中考数学二模试卷（南通卷）（全解全析）

年中考第二次模拟考试（南通卷）数学·全解全析注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分150分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．第Ⅰ卷选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．的相反数是（

）A．2023 B． C． D．【答案】A【解析】解：的相反数是2023．故选A．2．下列运算，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；

B.，故该选项不正确，不符合题意；

C.，故该选项不正确，不符合题意；

D.，故该选项正确，符合题意；故选：D．3．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：A．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意；B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意；C．是轴对称图形不是中心对称图形，，故该选项不符合题意；D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故该选项不符合题意；故选：B．4．如图桌上摆放这一个茶杯和一摞书，从上面看到的图形是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：书和茶杯从上面看到的图形的分别是长方形和圆，故选：A．5．如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：延长到点C，如图：

，，，∵，∴，，故选：B．6．若，的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：A.中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意；B.中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意；C.中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项符合题意；D.中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意．故选：C．7．若干名学生一起去种树，如果每人种4棵，则还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，则缺少5棵树苗，设学生有x人，树苗有y棵，根据题意可列出方程组（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：设学生有人，树苗有棵，根据题意可列出方程组：，故正确．故选：A．8．若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵关于x的不等式组∴，得，得∵解集为根据小小取小∴故选：C9．如图1在矩形中，点从点出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为的长为关于的函数图像如图2所示，则当点为中点时，的长为（

）A．5 B．8 C． D．【答案】D【解析】解∶因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象时，则，P从A向B移动的过程中，是不断增加的而P从B向D移动的过程中，是不断减少的，因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，此时，即，，由勾股定理得：解得：当点P为中点时，，．故选：D．10．已知实数m，n满足，则的最大值为（

）A．24 B． C． D．【答案】B【解析】解：；∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最大值为，故选：B．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8小题，11-12每小题3分，13-18每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．分解因式．【答案】【解析】解：，故答案为：．12．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超人．数字用科学记数法表示为．【答案】【解析】解：，故答案为：．13．如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是．【答案】8【解析】解：由题意知：入射光线与反射光线，，又，，所以即，解得米．故答案为：814．如果一个多边形的内角和与外角和的比是，那么这个多边形的边数是．【答案】9【解析】解：设这个多边形的边数为，依题意得：，解得，这个多边形的边数为9．故答案为：9．15．圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭．已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，若表的长为，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为【答案】【解析】解：在中，，，，在中，，，，故答案为：．16．已知扇形的面积为，弧长为，将它围成一个圆锥，则该圆锥的高是．【答案】8【解析】解：设母线长为R，由题意得：，解得．设圆锥的底面半径为r，则，解得：，故圆锥的高为：，故答案为：8．17．如图所示，在正方形中，，点为射线上一动点，连接，取其中点，连接，将线段沿翻折得到线段，连接，，，则的最小值为．【答案】【解析】解：设交于点，由折叠的性质得，，，在正方形中，，∴，∴，∵为中点，∴，∴，∴，∴四边形为平行四边形，∴点的轨迹为直线右侧5个单位的平行线，作关于直线的对称点，如图所示，此时，，则最小值为，即最小值，故答案为：．18．如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连结，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为，的值为．【答案】16/【解析】解：，，，，．过点，点，点作轴，轴，轴，垂足分别为，如图所示则．∵四边形是平行四边形，∴，∵折叠，∴，∴，又∵∴，，，，，，，解得．，．故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．解方程或不等式组：(1)(2)解不等式组，并把解集表示在数轴上．【解析】（1）解：经检验：是原方程的解；（2）解：由①可得：，由②可得：，∴原不等式组的解集为；在数轴上表示如图所示：20．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为______．(2)赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．【解析】（1）通过卡片上的文字，可以看到是轴对称图形的为“文”，所以卡片上的文字是轴对称图形的概率为；（2）画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的可能性有2种，∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为．21．在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量．绘制成不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），其中条形统计图被墨汁污染了一部分．(1)条形统计图中被墨汁污染的人数为______人．“8本”所在扇形的圆心角度数为______；(2)求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数；(3)随后又补查了名学生，若已知他们在本学期阅读量都是10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，求的最大值．【解析】（1）解：（人），（人），，故答案为：；（2）解：由统计图可得平均数为本，被调查同学阅读量的平均数为8.7本，该部分学生阅读量从小到大排序后第10个和第11个均为9本，阅读量的中位数为（本）（3）解：原来阅读量的众数为9本，解得，为正整数，的最大值为3．22．拟在新竣工的长方形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示．请在原图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置．【解析】解：连接，作的垂直平分线，以点C为圆心，以长的一半为半径画弧交的垂直平分线于点M，如图所示，点M即为所求．23．如图，直线l与相切于点M，点P为直线l上一点，直线交于点A、B，点C在线段上，连接BC，且．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，的半径为，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）解：直线是的切线，理由：连接，，∵直线l与相切于点M，∴，在和中，∴，∴，为直径，∴直线是的切线；（2）过点O作于点N，

∵，∴，即，又∵，则，∴，∴，则，∴，∵，，∴，∴，，∴，则，∴图中阴影部分的面积为：．24．某公司开发出一种新技术产品，上市推广应用，从销售的第1个月开始，当月销售量（件）与第个月之间的函数关系如图1所示，月产品销售成本（元）与当月销售量（件）之间的函数关系如图2所示，每件产品的售价为100元．

(1)求出与和与之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）(2)推广销售的第三个月利润为多少？(3)第几个月获得利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）解：设与的函数关系式，代入得解得将代入得或（舍去）；（2）设第个月的利润为元，则当时，，故第个月的利润为元；（3）由（2）知，当时，有最大值为元，答：第个月利润最大，最大利润为元．25．如图1，P是正方形边上一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点F，连接．

(1)补全图形，求的大小；(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明；(3)连接，G是的中点，，若点P从点B运动到点C，直接写出的最大值．【解析】（1）解：补全图形如图1，

∵线段与关于直线对称，∴，，∴，∵，∴，∴为；（2）解：，证明如下：如图2，连接，，连接交于，

由对称的性质可得，，，，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，解得，∴；（3）解：如图3，连接，，交点为，

由正方形的性质可得，，为的中点，∴，，又∵是的中点，∴是的中位线，∴，由题意知，在以为圆心，以2为半径的的圆上运动，∴在以为圆心，以1为半径的的圆上运动，如图3，∴当三点共线时，最大，∴，∴最大值为．26．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”，例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属和合函数”．（1）若一次函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“4属和合函数”，求k的值；（2）反比例函数（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且a+b＝3，请求出a﹣b的值；（3）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+3，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．【解析】解：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，∵1≤x≤3，∴k﹣1≤y≤3k﹣1，∵函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“k属和合函数”，∴（3k﹣1）﹣（k﹣1）＝4（3﹣1），∴k＝4；当k＜0时，y随x的增大而减小，∴3k﹣1≤y≤k﹣1，∴（k﹣1）﹣（3k﹣1）＝4（3﹣1），∴k＝﹣4，综上所述，k的值为4或﹣4；（2）∵反比例函数y＝，k＞0，∴在第一象限，y随x的增大而减小，当a≤x≤b且0＜a＜b是“k属和合函数”，∴﹣＝k（b﹣a），∴ab＝1，∵a+b＝3，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣4＝5，∴a﹣b＝﹣；（3）∵二次函数y＝﹣x2+2ax+3的对称轴为直线x＝a，∵当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，∴当x＝﹣1时，y＝2﹣2a，当x＝1时，y＝2+2a，当x＝a时，y＝a2+3，①如图1，当a≤﹣1时，当x＝﹣1时，有y最大值＝2﹣2a，当x＝1时，有y最小值＝2+2a∴（2﹣2a）﹣（2+2a）＝k•[1﹣（﹣1）]＝2