高中数学选择性必修二-精讲精炼-4-等比列(精练)(含答案)

4.3等比数列(精练)【题组一等比数列的判断或证明】1(2021·全国)有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列中公比的取值范围是；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；④若，则，，成等比数列.其中说法正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】对于①，因为等比数列中的各项都不为0，所以①不正确；对于②，因为等比数列的公比不为0，所以②不正确；对于③，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以③正确；对于④，只有当，，都不为0时，，，才成等比数列，所以④不正确.因此，正确的说法只有1个，故选：B.2．(2021·全国高二专题练习)以下条件中，能判定数列是等比数列的有()①数列1，2，6，18，…；②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选：A.3．(2021·全国高二单元测试)已知数列是等比数列，则下列数列中：①；②；③，等比数列的个数是()A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】设的公比为，则，，故、均为等比数列.取，，则，此时，，故不是等比数列，故选：C.4．(2021·全国)设,记不超过的最大整数为，如，，令，则，，，三个数构成的数列A．是等比数列但不是等差数列B．是等差数列但不是等比数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列【答案】A【解析】=-1=,=1,故三个数成等比,选A．5．(2021·吉林延边二中高二月考)下列命题中正确的是()A．若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列B．若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列C．若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列【答案】C【解析】若，则对数无意义，A,B错误；对C，若a，b，c是等差数列，则，所以，正确；对D，若，则，显然，错误.故选：C.6(2021·全国高二专题练习)已知不全相等的实数，，成等比数列，则一定不可能是等差数列的为()A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【解析】因为不全相等的实数，，成等比数列，所以该等比数列的公比，显然有，，A：若，，成等差数列，显然成立，即，化简为，解得，或(舍去)，所以假设成立，故，，有可能是等差数列；B：若，，成等差数列，显然成立，即，化简为：，解得：，显然或，所以假设成立，故，，有可能成等差数列；C：若，，成等差数列，显然，即，化简为：，解得，因为，所以，因此假设成立，故，，有可能成等差数列；D：若，，成等差数列，显然，即，化简为：，解得，而，因此假设不成立，故，，一定不可能成等差数列，故选：D7．(2021·辽宁阜新·高二期末)(多选)已知等比数列中，满足，公比，则()A．数列是等比数列B．数列是等差数列C．数列是等比数列D．数列是等差数列【答案】CD【解析】等比数列中，满足，公比，.对于A，，不是等比数列，故A错误；对于B，，是等比数列，故B错误；对于C，，是等比数列，故C正确；对于D，，是等差数列，故D正确.故选：CD.8．(2021·全国)(多选)若是等比数列，则()A．是等比数列 B．是等比数列C．是等比数列 D．是等比数列【答案】ACD【解析】因为是等比数列，所以设其公比为，即．因为，所以是等比数列，所以A选项正确；因为，所以是等比数列，所以C选项正确；；因为，所以是等比数列，所以D选项正确；当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误.故选：ACD9．(2021·深圳市皇御苑学校)(多选)已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是A． B． C． D．【答案】AD【解析】时，，数列不一定是等比数列，时，，数列不一定是等比数列，由等比数列的定义知和都是等比数列．故选AD．10．(2021·全国高二专题练习)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2an，设bn＝.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式.【答案】(1)b1＝1，b2＝2，b3＝4；(2)是，理由见解析；(3).【解析】(1)由条件可得an＋1＝an.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.(3)由(2)可得，所以.【题组二等比数列基本量计算】1．(2021·全国高二课时练习)在数列中，，点在直线上，则的值为()A． B． C． D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，因为，所以是首项为，公比为的等比数列，所以.故选：B.2．(2021·北京牛栏山一中高二期中)已知等比数列的前n项和为Sn，下表给出了Sn的部分数据：123456…20-61那么数列的第四项等于()A．81 B．27 C．-81或81 D．-27或27【答案】B【解析】由题意得，等比数列中，，故，，因为，，由，所以，所以，所以，故．故选：B．3．(2021·全国高二课时练习)记正项等比数列的前n项和为，若，，则()A．2 B．－21 C．32 D．63【答案】D【解析】设正项等比数列的公比为，因为，，所以，即，解得，所以.故选：D.4．(2021·全国高二课时练习)在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为___________.【答案】80，40，20，10【解析】不妨设等比数列，公比为q则，即5=160q5，∴q5=，∴q=.故∴这4个数依次为80，40，20，10.故答案为：80，40，20，105．(2021·全国高二课时练习)在等比数列{an}中，若a3=3，a10=384，则公比q=___________.【答案】2【解析】，，，，即，，故答案为：2．6．(2021·上海市进才中学高二月考)在2，x，8，y四个数中，前三个数成等比数列，后三个成等差数列，则___________【答案】或.【解析】由已知得解得或，或.故答案为：或.7．(2021·全国高二课时练习)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________.【答案】45【解析】设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.即整理得解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.故答案为：458．(2021·全国高二专题练习)等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.(1)若a1＝－8，a3＝－2，求S4；(2)若S6＝315，q＝2，求a1.【答案】(1)－15或－5；(2)5.【解析】(1)由题意可得，所以或.当时，；当时，；综上所述，或.(2)，解得.9．(2021·全国高二课时练习)已知数列是等比数列．(1)若，，，求；(2)若，，，求；(3)若，，求q与；(4)若，，求与q．【答案】(1)；(2)；(3)，；(4)或.【解析】(1)因为，，，可得.(2)因为，，且，所以.(3)设等比数列的公比为，因为，，可得，即，解得，所以.(4)设等比数列的公比为，因为，，当时，可得，此时，满足题意；当时，可得，解得.【题组三等比数列中项性质】1．(2021·全国)若三个数1，2，m成等比数列，则实数()A．8 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】因为为等比数列，故即，故选：B.2．(2021·全国高二课时练习)在等比数列中，已知是方程的两根，则A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】在等比数列中，因为是方程的两个根，所以所以因为所以选A.3．(2021·全国)在正项等比数列中，已知，，，则等于()A． B． C． D．【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则，，所以，，则,因为，则，即，解得.故选：C.4．(2021·全国)在等比数列中，，，则的值为()A．48 B．72 C．144 D．192【答案】D【解析】由，得，由，得，所以，所以．故选：D5．(2021·新蔡县第一高级中学)已知，则等比数列，，的公比为()A． B．C． D．以上答案都不对【答案】B【解析】设数列的公比为，，，的公比相当于，，的公比，相当于，，的公比，令，即相当于，，的公比，∴，解得，则，，∴公比．故选：B6．(2021·北京清华附中高二期中)已知等比数列的各项均为正数，且，则()A． B．5 C．10 D．15【答案】B【解析】因为等比数列的各项均为正数，且，所以.故选：B.7．(2021·江西省铜鼓中学高二开学考试(文))已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则()．A． B． C． D．或【答案】B【解析】因为，，，成等差数列，所以公差,所以，因为，，，，成等比数列，所以是和的等比中项，所以，解得或，因为等比数列中奇数项同号，所以，所以，故选：B【题组四等比数列的前n项和性质】1．(2021·安徽宣城·高二期中(文))设是等比数列的前项和，若，，则()A． B． C． D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为，若，则，矛盾.所以，，故，则，所以，，，因此，.故选：B.2．(2021·全国高二课时练习)一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为()A．180 B．108C．75 D．63【答案】D【解析】由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.故选：D3．(2021·新余市第一中学高二月考)已知等比数列前项和是，前项和是，则前项和是()A． B． C． D．或【答案】A【解析】设等比数列的公比为，前项和为，则，，所以，，，整理可得，解得或.当时，，则，显然不成立，故.故选：A.4．(2021·全国)设等比数列{an}的前n项和记为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5=()A． B． C． D．【答案】A【解析】:∵数列{an}为等比数列,且其前n项和记为Sn,∴S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.∵S10∶S5=1∶2,即S10=S5,∴等比数列S5,S10-S5,S15-S10的公比为=-.∴S15-S10=-(S10-S5)=S5.∴S15=S5+S10=S5.∴S15∶S5=.故选：A.5．(2021·全国高二课时练习)已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则().A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴，设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即，∴，∵,∴解得，又前3项之积，解得，∴.故选:B.6．(2021·北京海淀·)已知等比数列的前项和，则__________，__________．【答案】【解析】因等比数列的前项和，于是得，，，数列公比，解得，此时，当时，，满足上式，即，有是非零常数，则是等比数列，所以.故答案为：6；.7．(2021·全国高二课时练习)设等比数列的前项和为，若，则______.【答案】【解析】，否则.∴，∴.∴.故答案为：8．(2021·全国高二课时练习)等比数列{an}中，前n项和为Sn，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.【答案】16【解析】由S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，此数列首项为S3＝2其公比，得S12－S9＝2×23＝16.故答案为：9．(2021·全国)若数列为等比数列，且，，则___________.【答案】256【解析】∵是等比数列，∴，，，，为等比数列，且公比，∴.故答案为：10．(2021·全国)已知正项等比数列共有项，它的所有项的和是奇数项的和的倍，则公比______.【答案】【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，则，由，得，因为，所以，所以，.故答案为：.11．(2021·全国高二课时练习)已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.【答案】2【解析】由题意,设奇数项的和为,偶数项的和为,得故公比故答案为212．(2021·全国高二课时练习)设Sn是等比数列的前n项和，若，则________.【答案】【解析】设等比数列的公比为q，由已知，因为，，，，，．∴．故答案为：．13．(2021·全国)已知等比数列的前项和，则实数的值为______.【答案】【解析】由，得.当时，，不合乎题意.当时，，令，则，所以，，解得.故答案为：.14．(2021·柳州市第二中学(理))已知等比数列的前项和为，则数列的通项公式______________.【答案】.【解析】由得，当时，，当时，，，所以当时，，因为数列是等比数列，所以，即，所以，，公比，所以.故答案为：.15(2021·全国高二专题练习)已知等比数列的前项和，则______.【答案】3【解析】时，，又，数列等比数列，∴，即，解得．∴.故答案为：3．【题组五等比数列的单调性】1．(2021·全国)等比数列是递增数列，若，，则公比为()A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】因为等比数列是递增数列，则数列的公比满足且，所以，，即，解得或.若，则，解得，此时，此时数列为递增数列，合乎题意；若，则，解得，此时，此时数列为递增数列，合乎题意.综上所述，或.故选：D.2．(2021·陕西新城·西安中学高三(文))在等比数列{an}中，且a8＞a9，则使得的自然数n的最大值为()A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【解析】因为，即，所以，又因为，所以数列为单调递减，因为，所以，所以.又因为为整数，故.故选：C3．(2021·全国高二课时练习)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn+1>Sn”是“{an}单调递增”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】，例如，但是数列不单调递增，故不充分；数列单调递增，例如，但是，故不必要；故选：D4．(2021·福建省福州第一中学高三开学考试(理))(多选)设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是()A． B． C． D．与均为的最大值【答案】BD【解析】由题意知，：由得，由得，所以，又，所以，故错误；：由得，故正确；：因为是各项为正数的等比数列，，有所以，所以，故错误；：，则与均为的最大值，故正确.故选：5．(2021·江苏连云港·高三月考)(多选)设等比数列的公比为，前n项和为，前n项积为，并满足条件，则下列结论中正确的有()A． B．C． D．是数列中的最大值【答案】BCD【解析】依题意等比数列满足条件：，，，若，则，则，则与已知条件矛盾.所以不符合，故A选项错误.由于，，，所以，，，则，所以B选项正确，又.所以C选项正确.因此，前项都大于，从第项开始起都小于，因此的值是中最大的.所以D选项正确.故选：BCD.6．(2021·全国高二课时练习)(多选)关于递增等比数列，下列说法不正确的是()A．当 B． C． D．【答案】BCD【解析】，当时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列递增，正确；，当，时，为摆动数列，故错误；，当，时，数列为递减数列，故错误；，若，且取负数时，则为摆动数列，故错误，故选：BCD．7．(2021·全国高二课时练习)若一个数列的第项等于这个数列的前项的乘积，则称该数列为“积数列”．若各项均为正数的等比数列是一个“2020积数列”，且，则当其前项的乘积取最大值时，的值为________．【答案】1009或1010【解析】设数列的公比为．由题意可得，，∴，∴．又，∴，数列为递减等比数列，，，，则当其前项的乘积取最大值时，的值为1009或1010．故答案为：1009或10108．(2021·西城·北京育才学校高二期中)等比数列满足如下条件：①；②数列单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式________.【答案】(答案不唯一)【解析】满足上述所有条件的一个数列的通项公式.故答案为：(答案不唯一)9．(2021·湖北黄州·黄冈中学高三)设数列的前n项和为，写出的一个通项公式________，满足下面两个条件：①是单调递减数列；②是单调递增数列.【答案】(答案不唯一)【解析】根据前n项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项起，各项都是大于零的，由数列本身为单调递减数列，结合各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列的例子，就是符合条件的例子，故答案为：(答案不唯一)【题组六等比数列的实际运用】1．(2021·全国高二课时练习)中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人．从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n年的人口总数an的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2036年是否需要调整政策？【答案】(1)an＝；(2)2036年不需要调整政策．【解析】解:(1)当n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，所以an＝45.5＋0.5×(n－1)＝45＋0.5n.当n≥11时，数列{an}是以0.99为公比的等比数列．又a10＝50，所以an＝50×0.99n－10，因此新政策实施后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为an＝(2)设Sn为数列{an}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4950×(1－0.9910)≈950.8(万)，所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为=47.54万．因为47.54＜49，故到2036年不需要调整政策．2．(2021·全国高二课时练习)某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．两种方案的期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更多？(计算精确到千元，参考数据：1.110≈2.594，1.310≈13.796)【答案】甲方案的获利较多．【解析】根据题意，分析可得甲方案是等比数列，乙方案是等差数列．甲方案获利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.65(万)，而银行的利息成本为10(1＋0.1)10＝25.94万元，那么甲的纯利润为42.65－25.94≈16.7万元；乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)＝＝32.50(万元)，贷款的本利和为：1．1[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝17.534(万元)，∴乙方案扣除本利后的净获利为：32.50－17.534≈15.0(万元)．所以，甲方案的获利较多．3．(2021·全国高二课时练习)一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度．(1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？(2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由．【答案】(1)64米；(2)不能超过，理由见解析.【解析】(1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成，的等差数列，则当时，即，飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米．(2)不能超过．由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成，