工程力学教案(上)

课程名称工程力学教学单元名称绪论单元能力培养目标了解工程力学的研究内容和研究对象、工程力学的研究方法以及工程力学在工程实际中的作用；理解工程力学的性质、《工程力学》课程的作用、工程力学课程的任务。知识点技能点机械设备和工程结构强度、刚度变形、失稳等力学问题；理解工程力学的性质；掌握工程力学的任务。单元教学设计以工程实例为任务进行引领，采用多媒体、教学模式培养能力。单元教学方式多媒体作业调查报告：观察工程中或生活中的力学实例【教学内容】绪论引言1．机械工程中的力学问题（1）各种机械设备和工程结构都是由若干基本的零、部件按照一定规律组成的，称其为构件。（2）变形与失稳金属切削机床的主轴在切削加工工件时，主轴是不允许出现变形的，否则将直接影响到工件的加工精度，变形是刚度问题。此外，某些机构、结构或构件除进行强度、刚度分析外，还应校核稳定性。如液压挖掘机的顶杆、起重机伸缩臂的弦杆等，如果承受过大的轴向压力，就会突然发生弯曲，失去原有稳定的平衡状态，这种现象称之为失稳。为保证机械设备能够安全可靠的正常工作，机械中的所有构件都应具有足够的承载能力。构件的承载能力就是机械工程中常常遇到的力学问题。2．工程力学的主要内容和任务使物体运动状态改变(包括平衡状态)是力的外效应；使物体变形是力的内效应。平衡是指物体相对于地球(作为参考体)处于静止状态或作匀速直线运动状态。（1）力的内、外效应（2）工程力学课程研究的主要内容本课程研究物体的受力、平衡、运动、变形等基本规律,讨论的内容可分为两大类：一是研究作用在物体上的力与运动之间的关系；二是研究作用在物体上的力与变形之间的关系，物体的运动与变形都与作用其上的力有着密切的关系。――刚体静力学研究的主要任务平衡是机械运动的特殊情况，作用于物体上的力系必须满足一定条件，物体才能处于平衡状态。物体受力分析方法，力系等效与简化，力系平衡条件以及利用平衡方程求解未知力，即研究刚体在力作用下的平衡规律。――运动力学所要解决的问题当作用于物体上的力不满足平衡条件时，物体将运动。物体运动时其位置变化的规律——轨迹、速度、加速度等，建立物体运动状态的变化与其受力之间的关系。――材料力学所研究的主要任务机构或构件在使用过程中因其受力而丧失正常的功能的现象，称为失效。在机械设备的正常使用中，必须要有以下三个方面的保证：1）不发生破坏，既有足够的强度；2）发生的小变形在工程容许的范围内，既有足够的刚度；3）不丧失原有形状下的平衡状态，既有足够的稳定性。3．工程力学的研究对象机械工程中涉及机械运动的物体往往比较复杂，在外力作用下物体的变形与破坏形式也是多种多样的。因此，在对其进行力学分析时，须对其进行合理化简，科学地抽象出比较合乎实际的力学模型和制定出失效与设计的准则。（1）刚体和质点物体受力时都将发生或多或少的变形。在分析物体的平衡与运动规律时，可不计微小变形的影响，而将其简化为“刚体”。如果物体的运动范围远远超过其本身的几何尺寸，且仅是为了分析其质心的运动规律时，可将物体进一步简化为只有质量而无体积的一个质点。（2）变形固体、弹性变形与塑性变形在研究构件的强度、刚度、稳定性等问题时物体的变形将成为主要矛盾，应将物体视为可变形的固体。任何固体在外力作用下均将发生变形，若卸除外力后能完全消失的变形，称为弹性变形；不能消失而残留下来的那一部分变形，则称为塑性变形。刚体和变形固体不是绝对的，要视其研究问题的性质而定。4．工程力学的研究方法（1）建立力学模型――从生活、工程或实验中观察各种现象，经过抽象和简化建立力学模型。按照机械运动的基本规律，对力学模型进行数学描述，建立力学量之间的数量关系，从而得到数学模型，经过逻辑推理和数学演绎进行理论分析和计算，最后，通过实验或工程实践来验证。对同一个研究对象，为了不同的研究目的，必须抓住问题的本质，做出正确的假设，使问题抽象化或理想化，以便用简单的力学模型解决问题。――对物体进行运动分析和力平衡状态分析时，应依据问题的性质，抓主要因素，将变形固体视为刚体。研究物体的强度和刚度问题时，变形成为主要因素，因此只有用变形固体这一力学模型来代表真实物体，才能反映问题的本质。――一个物体究竟应该看作为质点还是刚体，完全取决于所研究问题的性质，而不决定于物体本身的形状和尺寸。即使是同一个物体，在不同的问题中，随问题性质的不同，有时要看作质点，有时要看作刚体。当分析强度、刚度和稳定性问题时，由于这些问题都与变形密切相关，因而即使是极其微小的变形也必须加以考虑，这时就必须把物体抽象为变形体这一力学模型。（2）三种主要的研究方法理论分析、试验分析和计算机分析是工程力学中三种主要的研究方法。（1）理论分析是以基本概念和定理为基础，经过严密的数学推演，得到问题的解析解答。构件的强度、刚度和稳定性问题都与所选材料的力学性能有关。材料的力学性能是材料在力的作用下，抵抗变形和破坏等表现出来的性能，它必须通过材料试验才能测定。另外，对于现有理论还不能解决的某些复杂的工程力学问题，有时要依靠试验方法得以解决。在理论分析中，可以利用计算机得到难以导出的公式。在试验分析中，计算机可以整理数据、绘制试验曲线，选用最优参数等。上述工程力学的三种研究方法是相辅相成、互为补充、互相促进的。课程名称工程力学教学单元名称刚体静力学基础1．1静力学的基本概念和公理单元能力培养目标理解刚体的概念、力的概念和性质、平衡的概念；掌握静力学的基本公理的概念和应用知识点技能点刚体、力、平衡的概念；二力平衡公理、加减平衡力系公理、力的可传性原理、力的平行四边形法则、作用与反作用定律的概念和应用。单元教学设计以生活、工程实例来引导学生对知识点技能点的理解来完成培养目标。单元教学方式理论教学+多媒体作业预习相关课程【教学内容】第一篇刚体静力学第1章刚体静力学基础1．1静力学的基本概念和公理1．1．1刚体的概念刚体是指在受力情况下保持其几何形状和尺寸不变的物体，亦即受力后任意两点之间的距离保持不变的物体。显然，这只是一种理想化了的模型，实际上并不存在这样的物体。这种抽象简化的方法。1．1．2力的概念和性质1．力的定义力是物体之间的相互机械作用。力的作用效应力对刚体的作用只有运动效应（包括此效应的特例——平衡）。力的变形效应将在研究变形体的材料力学中讨论。2．力的三要素：力的作用效果决定于力的大小、方向和作用点。力的单位牛顿（中文代号牛，国际代号N）或千牛顿（中文代号为千牛，国际代号为kN）。力的方向——包含方位和指向两个意思，如铅直向下，水平向右等。力的作用点——指的是力在物体上的作用位置。力的作用线——过力的作用点作一直线，使直线的方位代表力的方位。力是矢量（也称向量）可以用一个有方向的线段（AB）来表示。3．力系：作用在物体上的若干个力总称为力系。（1）对同一物体产生相同效应的两个力系互称为等效力系。等效力系间可以相互替代（2）如果一个力系与单个力等效，则此单个力称为该力系的合力，而力系中的各力则称为合力的分力。1．1．3平衡的概念1．平衡状态——工程上一般指物体相对于地面保持静止或作匀速直线运动的状态。2．平衡力系——作用于物体上使之保持平衡状态的力系，也称为零力系。平衡力系中各个力对物体的作用效果相互抵消，因此平衡力系对刚体的作用效果为零，其合力也为零。1．1．4静力学公理1．二力平衡公理作用于刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的充分和必要条件是：此两力的大小相等、方向相反、作用线沿同一直线（简称等值、反向、共线）。注意：a.此原理只适用于刚体；例如，软绳受两个等值、反向、共线的拉力作用可以平衡，而受两个等值、反向、共线的压力作用就不能平衡，如下图所示。b.不要把二力平衡条件与力的作用和反作用性质弄混淆了。对二力平衡条件来说个力作用在同一刚体上，而作用力和反作用力则是分别作用在两个不同的物体上。工程实际中常把满足二力平衡原理的构件称为二力构件或二力杆。2．加减平衡力系原理在作用于刚体的已知力系中，增加或减去一个平衡力系后构成的新力系与原力系等效。这是因为平衡力系对刚体作用的总效应等于零，它不会改变刚体的平衡或运动的状态。这个原理常被用来简化某一已知力系，是力系等效代换的基本原理。与二力平衡公理相同，加减平衡力系公理只适用于同一刚体。例如，如上图（a）所示的杆AB，在平衡力系（F1，F2）的作用下会产生拉伸变形，如果去掉该平衡力系，则杆就没有变形；若将二力反向后再加到杆端，如图（b）所示，则该杆就要产生压缩变形。拉伸与压缩是两种不同的变形效应。实践经验表明，作用于刚体上的力可沿其作用线任意移动而不致改变其对于刚体的运动效应。力的这种性质称为力的可传性。证（1）设力F作用于刚体上的A点，如上a图所示。（2）在力的作用线上任取一点B，由加减平衡力系公理在B点加一平衡力系（F1，F2），使－F1＝F2＝F如上图b所示。（3）再由加减平衡力系公理从该力系中去掉平衡力系（F，F1），则剩下的力F2（上图c所示）与原力F等效。这样就把原来作用在A点的力F沿其作用线移到了B点，且未改变力F对刚体的作用效应。证毕。3．平行四边形法则数学表达式：FR＝F1＋F2图（b）所示为求两汇交力合力的三角形法则。平行四边形公理的逆定理也成立，如果不附加其他条件，一个力分解为相交的两个分力可以有无穷多个解。在工程问题中，往往将一个力沿两垂直方向分解为两个互相垂直的分力。4．作用与反作用定理：两个物体间的作用力与反作用力，总是大小相等、作用线相同、指向相反、分别作用在两个不同的物体上。注意：①力的上述性质无论对刚体或变形都是适用的。②不要把二力平衡公理与力的作用和反作用公理弄混淆了。对二力平衡条件来说个力作用在同一刚体上是一对平衡力，而作用力和反作用力则是分别作用在两个不同的物体上，作用力和反作用力不能平衡。如下图所示作用力与反作用力的关系和表示方法。课程名称工程力学教学单元名称1．2约束与约束力1．3构件的受力图单元能力培养目标理解约束与约束反力的概念；理解和掌握几种常见约束类型的约束反力画法；能正确画出常见结构的受力图。知识点技能点约束与约束反力的概念；柔索约束、光滑面约束、光滑圆柱形铰链约束、固定铰链支座约束、辊轴（活动）铰链支座约束、固定端约束的概念和约束反力画法；画受力图的方法。单元教学设计以生活、工程实例、图片引导学生对知识点技能点的理解来完成培养目标。单元教学方式理论教学+多媒体作业教材P19习题1-7（c）、1-8(b)(c)、1-9【教学内容】1．2约束与约束反力1．2．1约束与约束反力的概念1．约束自由体——在空间作任意运动的物体如：飞行的飞机、炮弹和火箭。受约束体——某些运动受到限制的物体。约束——凡是限制某一物体运动的周围物体，称为该物体的约束。2．约束反力约束反作用力：约束对研究物体的反作用力称为约束反作用力。约束反力的方向：约束反力作用在约束与被约束物体的接触处，它的方向总是与约束所能限制的运动方向相反，这是确定约束反力方向的准则。物体的受力可以分为两类：主动力和约束反力。主动力或载荷——能主动地使物体运动或有运动趋势的力，例如物体的重力，结构承受的风力、水压力，机械零件中的弹簧力等。1.2.2常见的约束类型及其约束反力的特点和画法1．柔索约束：工程上常用的钢丝绳、皮带、链条等柔性索状物体。（1）特点：限制物体沿柔索中心线伸长方向的运动。（2）柔索的约束反力：作用在柔索与物体的连接点上，其方向一定是沿着柔索中心线，而背离物体，亦即必为拉力。（3）表示符号：ＦＴ表示。2．光滑接触面：光滑接触面约束当两个物体间的接触表面非常光滑，摩擦力可以忽略不计时，即构成光滑接触面约束。（1）特点：它对被约束物体在接触点切面内任一方向的运动不加阻碍，接触面也不限制物体沿接触点的公法线方向脱离接触，而只限制物体沿该方向进入约束内部的运动。（2）光滑接触面的约束反力：作用在接触点处，方向沿着接触面在该点的公法线，指向受力物体，亦即必为法向压力。（3）表示符号：通常用ＦN表示。3．光滑圆柱形铰链（中间铰链）：光滑圆柱形铰链：由两个（或更多个）带相同圆孔的构件，并将圆柱形销钉穿入各构件的圆孔中而构成。如门、窗的合页，活塞与连杆的联接，起重机动臂与机座的联接等。（1）约束特点：如果不计摩擦，那么销钉只限制两构件在垂直于销钉轴线的平面内相对移动，而不限制两构件绕销钉轴线的相对转动。（2）约束反力：圆柱形铰链的约束反力可表示为两个正交分力Ｆx、Ｆy，这两个分力通过销孔中心，指向可预先假设假设的指向正确与否，可由计算结果判定。（3）表示符号：Ｆx、Ｆy4．固定铰链支座约束：若相联的构件中有一个与固定部分（如机座、桥墩等下页图所示）相连接则称为固定铰链支座约束。（1）约束特点：如果不计摩擦，那么销钉只限制两构件在垂直于销钉轴线的平面内相对移动，而不限制两构件绕销钉轴线的相对转动。（2）约束反力：圆柱形铰链的约束反力可表示为两个正交分力Ｆx、Ｆy，这两个分力通过销孔中心，指向可预先假设假设的指向正确与否，可由计算结果判定。（3）表示符号：Ｆx、Ｆy5．活动铰链支座约束：在铰链支座与支承面之间装上辊轴，就成为辊轴铰链支座。（1）约束特点：如略去摩擦，这种支座不限制构件沿支承面的移动和绕销钉轴线的转动，只限制构件沿支承面法线方向的移动。（2）活动铰链支座的约束反力FN必垂直于支承面，通过铰链中心，指向待定。（3）表示符号：FN6．固定端约束：对物体一端起固定作用，限制物体的转动和移动的约束，称为固定端约束或固定端支座。例如下图所示固定端约束的约束反力可简化为两个垂直的约束反力FAx、FAy和一个约束反力偶MA.。如图1-16b所示。其中FAx、FAy限制物体的移动，MA限制物体的转动。FAx、FAy的指向和MA的旋向可任意假定，是否正确可通过计算确定。图1-16图1-161.3构件的受力图分离体——解除约束后的物体；受力图——画有分离体及其所受全部外力（包括主动力和约束反力）的简图。图1-17例1-1圆球O重G，用BC绳系住，旋转在与水平面成角的光滑斜面上，如图1-17a所示。画球O的受力图。图1-17解（1）取分离体单独画出圆球O。（2）画球O的主动力圆球O的主动力只有重力G。（3）画球O的约束反力圆球O的约束有B点的柔索约束和A点的光滑接触面约束，对应有两个约束反力。球O的受力图如图1-17b所示。（4）检查分离体上所画之力正确、齐全。画受力图的步骤：根据题意确定研究对象，并将研究对象从周围的约束中解除出来，画出研究对象的简单轮廓图（即取分离体）；在分离体上画出研究对象的全部主动力；在分离体上的解除约束处画出研究对象的全部约束反力；图1-18检查。图1-18例1-2匀质杆AB的重量为G，A端为光滑的固定铰链支座，B端靠在光滑的墙面上，在D处受有与杆垂直的F力作用，如图1-18a所示。画AB杆的受力图。解（1）取分离体单独画出AB杆。（2）画AB杆的主动力AB杆的主动力为重力G和载荷F。（3）画AB杆的约束反力AB杆的约束有B点的光滑接触面约束和A点的固定铰链约束，对应有两个约束反力。由于A点的反力方向不能确定，故只能进行正交分解，方向可任意假定。AB杆的受力如图1-18b所示。图1-19例1-3图1-19a所示的三铰拱桥，由左、右两个半拱铰接而成。设拱桥自重不计，在AC半拱上作用有载荷F，试分别画出AC和CB半拱的受力图。图1-19解（1）先画BC半拱的受力图取BC半拱为分离体。由于BC自重不计，且只在B、C两处受到铰链的约束，因此BC半拱为二力构件，其受力图如图1-19b所示。（2）再画AC半拱的受力图取AC半拱为分离体。由于自重不计，因此主动力只有载荷F。半拱在铰链C处受到BC半拱给它的约束反力FC′的作用。根据作用与反作用定律，FC′＝－FC。半拱在A处的受力可进行正交分解，如图1-19c，也可按三力平衡汇交定理画成图1－19d的形式。这里的FAx、FAy指向可随意假定，是否正确则需通过计算确定。例1-4图1-20a所示的多跨梁由AB梁和BC梁铰接而成，支承和载荷情况如图所示。试画出AB梁、BC梁和整体的受力图。解（1）先画BC梁的受力图取BC梁为分离体。BC梁受到一个主动力F2和两处约束的约束反力FC、FBx和FBy，其受力图如图1-20b所示。（2）然后画AB梁的受力图取AB梁为分离体。AB梁受到一个主动力F1和B点圆柱铰链约束及A点固定端约束的约束反力作用，具体如图1-20c所示。BC杆由于只受到三个力的作用，故也可按三力平衡汇交定理画出，这时AB杆在B的受力应按作用与反作用定律相应画出。（3）再画整体多跨梁的受力图取整体为分离体。多跨梁有两个主动力F1和F2，还受到A和C两处约束，其受力图如图1-20d所示。图1-20图1-20课程名称工程力学教学单元名称受力图习题课单元能力培养目标通过习题课使学生进一步掌握画受力图的方法和技巧；注意画受力图时容易出错的几点；能熟练、正确地画出受力图。知识点技能点画受力图的方法、技巧及注意的问题。单元教学设计采用课堂提问、工程实例分析、重点问题讲解、课堂练习、作业错误分析纠正、方法总结等来完成培养目标。单元教学方式理论教学+多媒体作业教材P22习题1-10【教学内容】受力图习题课一、改错题（指出图中受力图的错误，并改正。）1、2、二、力加在销钉上构件的受力分析：例：试分析图示AB、BC杆和销钉的受力；若分结构中AB杆和BC杆的受力，又如何？讲本例时注意：1、两构件是通过销钉联结在一起，两构件不直接相互作用，而是通过销钉来传递力。2、明确各力的含义，即何为施力物体，何为受力物体，进一步理解作用与反作用力公理。3、当销钉上没有外力作用时，销钉不另作分析，若有力作用时，可另作分析，也可把销钉放在某一构件上考虑。4、进一步理解外力、内力的含义。5、讲清楚如何取分离体——由简单构件到复杂构件。三、课堂练习解：（1）滑轮受力图（2）CD杆：无主动力，只受两个力作用，为二力杆（3）AC杆：无主动力，（4）整体系统的受力图：几个物体组成的系统整体受力图上只画外力不画内力外力：系统外物体给系统的作用力内力：系统内构件之间的相互作用力。必须指出，内力与外力的区分不是绝对的，在一定的条件下，内力与外力是可以相互转化的。对整个系统来说，内力对整体的外效应没有影响。总结：对物体进行受力分析，即恰当地选取分离体并正确地画出受力图是解决力学问题的基础，不能有任何错误，否则以后的分析计算将会得出错误的结论。为使能正确地画出受力图，提出以下几点供参考：1、要明确哪个物体是研究对象，并将研究对象从它周围的约束中分离出来，单独画出其简图。2、受力图上要画出研究对象所受的全部主动力和约束反力，并用习惯使用的字母加以标记。为了避免漏画某些约束反力，要注意分离体在哪几处被解除约束，则在这几处必作用着相应的约束反力。3、每画一力要有依据，要能指出它是哪个物体（施力物体）施加的，不要臆想一些实际上并不存在的力加在分离体上，尤其不要把其它物体所受的力画到分离体上。4、约束反力的方向要根据约束的性质来判断，切忌单凭直观任意猜度。5、在画物体系统的受力图时，系统内任何两物体间相互作用的力，作为内力，不应画出。当分别画两个相互作用物体的受力图时，要特别注意作用力与反作用力的关系，作用力的方向一经设定，反作用力的方向就应与之相反。课程名称工程力学教学单元名称2．1平面汇交力系合成的解析法单元能力培养目标了解平面力系的分类；掌握力在直角坐标轴上的投影、合力投影定理、平面汇交力系合成的解析法。知识点技能点力在直角坐标轴上的投影、合力投影定理、平面汇交力系合成的解析法。单元教学设计以动画、例题帮助学生对知识点技能点的理解来完成培养目标。单元教学方式理论教学+多媒体作业调查身边的平面汇交力系、平面平行力系、平面任意力系的实例【教学内容】第２章平面力系的简化与平衡静力学研究的基本问题是作用于刚体的力系的简化和力系的平衡条件，这是静力分析中的两个核心问题。力系◆平面力系空间力系2．1平面汇交力系合成的解析法2．1．1力在平面直角坐标轴上的投影过力F的两端点A、B分别向x、y轴引垂线，垂足在x、y轴上截下的线段ab、a1b1分别称为力F在x、y轴上的投影，记作Fx、Fy。图2-1投影正负号的规定：投影是代数量，其正负规定为：由起点a到终点b（或由a1到b1）的指向与坐标轴的正向一致时为正，反之为负。一般地，有（2-1）式中力F与x轴所夹的锐角。已知投影求力：已知力F在x、y轴上的投影为则该力F的大小和方向分别为，（2-2）式中力F与x轴所夹的锐角。力的指向由Fx、Fy的正负符号确定。Fx＋＋－－Fy＋－＋－F↗↘↖↙2．1．2平面汇交力系合成的解析法1．合力投影定理设平面汇交力系F1，F2，…，Fn作用在刚体的O点处，其合力FR可以连续使用力的三角形法则求得，如图2-2所示。其数学表达式为（2-3）图2-2（2－3）图2-2（2－3）将（2-3）式两边分别向x、y轴投影，得到（2-4）合力在某轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。——合力投影定理2．平面汇交力系合成的解析法应用合力投影定理即可求得合力FR的大小及方向（2-5）式中为合力FR与x轴之间所夹的锐角。合力FR的指向由、的正负号确定。例2-1用解析法求图2-7a所示平面汇交力系的合力的大小和方向。已知F1=100N，F2=100N,F3=150N,F4=200N。解由式（2-5）计算合力FR在x、y轴上的投影图2-7图2-7故合力FR的大小和方向为：由于为负值，为正值，所以合力指向第二象限，如图2-7b所示，合力的作用线通过力系的汇交点课程名称工程力学教学单元名称2．2力矩和力偶单元能力培养目标掌握力对点之矩、力偶的概念、性质；会应用合力矩定理；掌握平面力偶系合成的结果和平衡方程的应用；理解掌握力的平移定理。知识点技能点力对点之矩、力偶的概念和性质；合力矩定理、力的平移定理；平面力偶系合成的结果和平衡方程的应用。单元教学设计以生活、工程实例帮助学生对知识点技能点的理解来完成培养目标。单元教学方式理论教学作业教材P19习题1-4、1-5、【教学内容】2．2力矩和力偶2．2．1力对点之矩1．力矩的概念：力使物体产生绕某一点的转动效应和量。力的大小与力臂的乘积，是度量力F使物体绕O点转动效果的物理量，称为力F对O点的矩，用M（F）表示。（1）将转动中心称为矩心。（2）矩心到力作用线的垂直距离称为力臂，用符号d表示。（3）通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时力矩为正，反之为负。力矩的表达式为力矩的国际单位是：牛·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。2．力矩的特性：（1）力对已知点的矩不会由于力沿作用线移动而改变（这符合力的可传性原理）。（2）力的作用线如通过矩心，则力矩为零。如果一个力的大小不为零，而它对某点的矩为零，则该力的作用线必过该点。（3）相互平衡的两力，对同一点的矩的代数和为零（符合二力平衡原理）。例2-2如下页图所示，已知皮带紧边的拉力FT1＝2000N，松边的拉力FT2＝1000N，轮子的直径D＝500mm。试分别求皮带两边拉力对轮心O的矩。解由于皮带拉力沿着轮缘的切线，所以轮的半径就是拉力对轮心O的力臂，即（m）于是 （N·m）（N·m）拉力FT1使轮逆时针转动，故其力矩为正；FT2使轮顺时针转动，故其力矩为负。2．2．2合力矩定理力系有一合力时，合力对某点之矩，等于各分力对同点之矩的代数和。即（1-7）在计算力矩时，有时欲求一个力对于某一矩心的矩而力臂不易计算，就可应用合力矩定理，将原力分解为两个适当的分力，分别求两分力对于该矩心的矩，再求其代数和。例2-3如图所示，在ABO折杆上A点作用一力F，已知a＝180mm，b＝400mm，＝60，F＝100N。求力F对O点之矩。解由力矩的定义式（1-6）可得则可以较方便地计算出结果：（N·m）例2-4如图所示圆柱齿轮，受到与它相啮合的另一齿轮的作用力，压力角α＝20，齿轮节圆直径，试求力Fn对齿轮轴心O之矩。解(1)应用力矩公式计算如图2-12a，齿轮轴心O为矩心，力臂，则力Fn对O点之矩为（2）应用合力矩定理计算如图2-12b所示将力Fn分解为圆周力Ft和径向力Fr：由合力矩定理可得因为径向力Fr通过矩心O，故，于是2．2．3力偶及其性质1.力偶的概念①由两个大小相等、方向相反的平行力组成的力系，称为力偶。②实践证明，力偶只对物体产生纯转动效应，因此，只改变物体的转动状态。2．力偶矩力偶对刚体的作用效应，用力偶中的一力的大小F与力偶臂d的乘积F·d来度量，称为力偶矩，记作M（F，F），简记为M，即或 力偶矩的正负号规定：逆时针方向转动为正，顺时针方向转动为负。力偶矩的单位与力矩的单位相同，为Nm或kNm。3.力偶的三要素力偶对刚体的转动效应取决于力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用平面的方位，这三者称为力偶的三要素。三要素中的任何一个发生了改变，力偶对刚体的转动效应就会改变。若两个力偶的三要素相同，则这两个力偶彼此等效。4．力偶的性质性质1力偶在任何坐标轴上的投影为零。它表明不能将力偶简化为一个力，或者说力偶没有合力。即力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。力偶只能与力偶等效。也只能与力偶相平衡。故力偶对刚体只有转动效应，而无移动效应。性质2力偶对刚体的作用效应取决于力偶的三要素，而与作用位置无关。推论（1）力偶可以在作用面及平行于作用面的平面内任意搬移，而不会改变对刚体的转动效应。推论（2）只要保持力偶矩不变，可以任意改变力的大小和方向及力偶臂的长短，而不会改变力偶对刚体的转动效应。注意：上述推论只适用于刚体，而不适用于变形体。性质3力偶对其作用面内任意点的矩恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。2．2．4平面力偶系的合成与平衡1．合成作用在刚体上同一平面内的若干个力偶所组成的系统，称为平面力偶系。图（a）所示。则两力偶的力偶矩分别为，分别将作用在A点的两个力和B点的两个力进行合成（设F3＞F4），可得FR与为一对等值、反向、不共线的平行力，它们组成的力偶就是原来两个力偶的合力偶，其合力偶矩为合力偶矩为即平面力偶系合成的结果为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。2．平面力偶系的平衡平面力偶系平衡的充分与必要条件是所有各分力偶矩的代数和等于零。即（2-10）这就是平面力偶系的平衡方程，应用该方程可以求解一个未知量。例2-5多头钻床在水平工件上钻孔如图所示，设每个钻头作用于工件上的切削力在水平面上构成一个力偶。。求工件受到的合力偶矩。如果工件在A、B两处用螺栓固定，A和B之间的距离l=0.2m，试求两螺栓在工件平面内所受的力。解（1）求三个主动力偶的合力偶矩负号表示合力偶矩为顺时针方向。（2）求两个螺栓所受的力选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的反力作用而平衡，故两个螺栓的反力作用而平衡，故两个螺栓的反力FA与FB必然组成为一力偶，设它们的方向如2-18图所示，由平面力偶系的平衡条件，有解得所以，方向如图2-18所示。2．2．5力的平移定理定理作用在刚体上某点的力F，可平移到刚体内的任意一指定点，但必须同时附加一个力偶，其附加力偶矩等于原力对指定点之矩。证如图所示证毕。力的平移定理，可以看成为一个力分解为一个与其等值的平行力和一个位于平移平面内的力偶。同样，利用力的平移定理也可将一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，合成为一个该作用面内的合力。合力与原力矢量相等，其作用线平移的距离为合力的作用线在原力作用线的哪一侧应根据力偶的转向确定。例如，用扳手和丝锥攻螺纹时，如果只在扳手的一端加力F，如图（a）所示，由力的平移定理可知，力F却使丝锥弯曲，从而影响攻丝精度，甚至使丝锥折断，因此这样操作是不允许的。再例如打乒乓球课程名称工程力学教学单元名称2．3平面任意力系的简化2．4平面力系的平衡方程及应用单元能力培养目标了解平面力系的简化方法及简化结果；会应用解析法计算平面力系的合力；理解平面力系平衡方程基本形式的意义；了解平面力系平衡方程其它形式及使用条件；掌握应用平面力系平衡方程解决平衡问题。知识点技能点用解析法计算平面力系的合力；平面力系平衡方程基本形式的意义；平面力系平衡方程其它形式及使用条件；应用平面力系平衡方程解决平衡问题的方法。单元教学设计以生活、工程实例、动画帮助学生对知识点技能点的理解来完成培养目标。单元教学方式理论教学+多媒体作业教材P36习题2-1(c)、2-2、2-7、2-16、【教学内容】2．3平面力系的简化2．1．1平面力系向一点的简化简化中心——力系所在平面内任取一点O。主矢——合矢量ＦRˊ，体现原力系对刚体的移动效应。 (2-1)主矩——附加力偶矩等于原力对简化中心O点之矩的代数和，体现原力系对刚体绕简化中心的转动效应。（2-2）综上所述可知，平面力系向一点（简化中心）简化的一般结果是一个力和一个力偶：这个力作用于简化中心，称为原力系的主矢，它等于原力系中所有各力的矢量和；这个力偶的矩称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中所有各力对于简化中心力矩的代数和。力系的主矢与简化中心的位置无关。主矩一般随简化中心的位置不同而改变。例如，试分析固定端约束的约束反力2-1-2平面力系简化的最后结果1．若主矢ＦR′≠0，则不论主矩Ｍo是否等于零，原力系简化的最后结果为一个力，此力称为平面力系的合力。这时又可分为两种情况:当Ｍo＝0时，则作用于简化中心的力ＦRˊ就是原力系的合力ＦR。此时简化中心O恰好选在了平面力系合力的作用线上。当Ｍo≠0时，原力系简化为作用线通过简化中心的一个力ＦRˊ和一个矩为Ｍo的力偶，如图2－5a所示，根据力的平移定理的逆定理，可以把此力与力偶进一步合成为一合力ＦR。合力FR作用线与简化中心O的垂直距离为:d=（2-3）合力ＦR的作用线在简化中心O的哪一侧，应根据主矩Ｍo的转向决定，合力ＦR对简化中心之矩与主矩的转向应一致。2．若主矢ＦRˊ＝0，主矩Ｍo≠0，则原力系简化的最后结果为一个力偶，此力偶称为平面力系的合力偶，其力偶矩等于主矩，即M=Ｍo=∑Ｍo(Ｆi)。此时主矩与简化中心的位置无关，是一常量，亦即原力系向任意点简化的结果都是其矩为Ｍo的力偶，这也反映了力偶可在作用面内任意移转这一特性。3．若主矢ＦR′＝0，主矩Ｍo＝0，这说明原力系合成为零力系，则原力系平衡，这种情况将在下一章重点讨论。例2-6铆接薄钢板的铆钉A、B、C上分别受到力F1、F2、F3的作用，如图所示。已知F1=200N，F2=150N，F3=100N。图上尺寸单位为m。求这三个力的合成结果。解(1)将力系向A点简化，其主矢为，主矩为主矢在x、y轴上的投影为主矢大小：主矢方向：主矩（2）因为，所以原力系还可以进一步简化为一个合力，其大小与方向和主矢相同，即合力的作用线位置到A点的垂直距离为因为为逆时针，故最终合力的作用线在A点的右边如图2-25d所示。例题2-7胶带运输机传动滚筒的半径，由驱动装置传来的力偶矩，紧边皮带张力，松边皮带张力，皮带包角为210°如图2-26a所示，图2-26坐标位置如图示，试将此力系向点O简化。图2-26解将力系向O点简化（1）求主矢主矢在x、y轴上的投影为主矢大小：主矢方向：（2）求主矩由于主矩为零，故力系的合力即等于主矢，且合力的作用线通过简化中心O如图2-26b所示。2．4平面力系的平衡方程及其应用2.4.1平面力系的平衡条件与平衡方程平面力系平衡的充分与必要条件是力系的主矢和力系对任意点的主矩都等于零。即：FR′=0，MO=0上面的平衡条件可用下面的解析式表示平面力系的平衡方程(基本形式)前两式表示力系中各力在作用面内任选的两个不相平行的坐标轴上投影的代数和等于零，称为投影式；第三式表示力系中各力对其作用面内任意点之矩的代数和等于零，称为力矩式。前者说明力系对刚体无任何方向的移动效应；后者说明力系使刚体无绕任一点的转动效应。2.4.2平面力系平衡方程的应用例2-8简易起重机的水平梁AB，A端以铰链固定，B端用拉杆BC拉住，如图所示。水平梁AB自重，载荷，尺寸单位为m，BC杆自重不计，求拉杆BC所受的拉力和铰链A的约束反力。解（1）选取梁AB(包括重物)为研究对象，画其受力图。梁AB除受到主动力G、FP作用外，还有未知约束反力，包括拉杆的拉力FT和铰链A的约束反力FAx、FAy。因杆BC为二力杆，故拉力FT沿BC中心线方向。这些力的作用线可近似认为分布在同一平面内,如图2-27b所示。（2）选取坐标系Axy，矩心为A点，如图2-27b所示。（3）各个力向x,y轴投影,并对A点取力矩建立平衡方程。①②③将已知量代入③式得将FT代入①、②式得计算结果FAx、FAy和FT皆为正值,表明这些力的实际指向与图示假设的指向相同。讨论：计算结果正确与否，可任意列一个上边未用过的平衡方程进行校核。例如：选取D点为矩心，因故原计算结果正确。例2-9起重机重，可绕铅垂轴AB转动。起重机的挂钩上挂一重为的重物，如图所示。起重机的重心C到转动轴的距离为1.5m，其他尺寸（均以m计）如图所示。求在止推轴承A和径向轴承B处的约束反力。解（1）以起重机为研究对象，画出受力图。起重机上作用有主动力W和FP；止推轴承A有轴向反力FAy和径向反力FAx；径向轴承B只有一个垂直于转轴的径向反力FB，其指向假设向右，如图b所示。（2）选取坐标系Axy，如图b所示，列平衡方程并求解：解得：FB为负值，说明它的方向与受力图中假设的方向相反，即正确的指向应向左。平面任意力系的平衡方程还有下列两种形式：1．二矩式：（2-20）图2图2-30其中，投影轴x不能与矩心A、B两点的连线相垂直。这是因为平面任意力系满足，则表明该力系不可能简化为一力偶，只可能是作用线通过A点的一合力或平衡。若力系又满足,同理可以断定，该力系简化结果只可能为一作用线通过A、B两点的一个合力（图2-30）或平衡。如果力系又满足，而投影轴x不垂直于AB连线，显然力系不可能有合力，因此，力系必为平衡力系。2．三矩式：(2-21)其中，矩心A、B、C三点不能在一直线上。以上讨论了平面力系的三种不同形式的平衡方程，在解决实际问题时，可根据具体条件选择其中某一种形式。原则是应当尽量避免解联立方程，在此必须强调指出，无论采用何种形式的平衡方程，都只能写出三个独立的方程，可求解三个未知量。任何第四个方程只是前三个的线性组合，因而都不是独立的，我们可以利用这个方程来校核计算的结果。应用平衡方程求解物体在平面力系作用下平衡问题的步骤:①确定研究对象,画其受力图,判断平面力系的类型；注意:一般应选取有已知力和未知力同时作用的物体为考虑平衡问题的研究对象。②选取坐标轴和矩心；由于坐标轴和矩心的选择是任意的,在选择时应遵循以下原则:a、坐标轴应与尽可能多的未知力垂直(或平行)；b、矩心应选在较多未知力的汇交点处.③将各个力向两坐标轴投影,对矩心取力矩建立平衡方程求解；④校核。可选取一个不独立的平衡方程,对某一个解答作重复运算,以校核解的正确性。2.4.3平面特殊力系的平衡方程（1）平面汇交力系显然，平面汇交力系平衡时，亦应满足平面力系的平衡方程式。其M0=ΣM0(Fi)=0是恒等式，因此，平面汇交力系独立的平衡方程为两个投影方程。即（2）平面平行力系若取x轴与各力的作用线垂直。则不论平行力系是否平衡。各力在x轴上的投影均为零。即ΣFix=0是恒等式。因此平面平行力系独立的平衡方程为二矩式为其中，矩心A、B两点的连线不能与各力的作用线平行。平面汇交力系或平面平行力系只有两个独立平衡方程。故此只能求解两个未知量。图2-33若力在一定范围内连续均匀分布于物体上，则称之为均布载荷，即q=常数。载荷集度的单位是N/m或kN/m。如图2-33所示为沿杆件轴线均匀、连续分布的载荷，在进行受力分析计算时常将均布载荷简化为一个集中力F，其大小为(l为载荷作用的长度)，作用线通过作用长度的中点如图2-33。图2-33例2-11如图所示,物重,用钢丝绳经过滑轮B再缠绕在绞车D上。杆AB与BC铰接,并以铰链A、C与墙连接。设两杆和滑轮的自重不计,并略去摩擦和滑轮的尺寸,求平衡时杆AB和BC所受的力。解（1）由于滑轮B上作用着已知力和未知力，故取滑轮B为研究对象，画其受力图。滑轮受钢丝绳拉力FT1与FT2作用，且。滑轮同时还受到二力杆AB与BC的约束反力FBA和FBC作用，滑轮在四个力作用下处于平衡，由于滑轮尺寸不计，这些力可看作平衡的平面汇交力系，滑轮B的受力图如图2-34d所示。（2）由于两未知力FBA和FBC相互垂直，故选取坐标轴x，y如图2-34d所示。（3）列平衡方程并求解。 FAB为负值，表示此力的实际指向与图示相反，即AB杆受压力。图2-35例2-12在水平双伸梁上作用有集中载荷FP，力偶矩为M的力偶和集度为q的均布载荷，如图2-35a所示。。求支座A、B的约束反力。图2-35解（1）取AB梁为研究对象，画受力图。作用于梁上的主动力有集中力FP、力偶矩为M的力偶和均布载荷q、均布载荷可以合成为一个力，其大小为，方向与均布载荷相同，作用于分布长度的中点，B支座反力FB铅垂向上；因以上各力（力偶）均无水平分力，故A支座反力FA必定沿铅垂方向。这些力组成一平衡的平面平行力系，如图2-35b所示。（2）选取坐标系Axy,矩心为A，如图2-35b所示。（3）列平衡方程如下：①②解方程①、②得：课程名称工程力学教学单元名称2．5物体系统的平衡问题单元能力培养目标了解静定与静不定问题的概念及物体系统平衡问题的解法。知识点技能点静定与静不定问题的概念；物体系统平衡问题的解法。单元教学设计以工程实例、动画帮助学生对知识点技能点的理解来完成培养目标。单元教学方式理论教学+多媒体作业教材P36习题2-13、2-11【教学内容】2．5物体系统的平衡问题2.5.1静定和静不定问题的概念如下图所示，a图为一平面汇交力系，可以建立两个独立的平衡方程，而未知量只有两个FTA、FTB，因此可以全部求出，这样的问题就是静定问题；b图为一平面汇交力系，可以建立两个独立的平衡方程，而未知量有三个FTA、FTB、FTC，因此无法通过平衡方程求出，这样的问题就是静不定问题。1．静定问题：所有未知量的数目少于或等于独立的平衡方程的数目的问题。2．静不定问题或超静定问题：所有未知量的数目多于独立平衡方程数目的问题。3．静不定问题的次数=所有未知量的数目—独立平衡方程数目如下图所示，a图为静定问题，b图为静不定问题。在工程实际中为了提高构件的可靠性，常常使用增加多余约束来实现，这样就出现了静不定问题。静不定问题的解法将在第二篇材料力学中介绍。2.5.2物体系统的平衡问题1．概念①物体系统：由两个或两个以上单个物体通过一定的约束联系起来的系统。②系统外力：物体系统所受的主动力和外部约束反力。③系统内力：系统内各物体之间的相互作用力2．物体系统平衡问题的解法当整个物体系统处于平衡状态时，组成该系统的每一物体必处于平衡状态。例2-14如图2-39a所示的组合梁由梁AB和BC用中间铰B连接而成，支承和载荷情况如图所示。已知：。试求支座A、C的约束反力。图图2-39解为说明问题，取组合梁中每一部分梁AB和BC为分离体，作出它们的受力图，如图2-39b、c所示，图上FAx、FAy、MA是固定端A的反力，FC是活动铰链支座C的反力，FBx、FBy是梁AB作用于BC的反力，、则是梁BC反作用于AB的力，FBx、FBy与、应符合牛顿第三定律。可见，梁AB和BC均受平面任意力系的作用，对两部分总可以列出2×3=6个独立的平衡方程。而图2-39b、c上的未知力有：FAx、FAy、MA、FC、FBx（=）、FBy（=），共计6个。因此，本题是静定的问题。为了确定一个合适的解题方案，不妨再作出整个组合梁的受力图（图2-39d），以便作全面的考虑。这时，FBx、FBy、、属于内力，不必画出。检查b、c、d三图上未知力的数目，它们分别为5、3、4个。我们可以从未知力数目较少的图c着手，求出FC后，再由图d求出其余的三个未知量FAx、FAy、MA。考察梁BC的平衡（图c）,列出平衡方程：解得：(1)通过另两个平衡方程可以求出FBx、FBy，因题意无此要求，故不列出。（2）考察组合梁整体的平衡（图d），列出平衡方程：(2)(3)(4)将（1）代入（2）、（3）、（4）式分别解得：考察梁AB、BC和组合梁整体的平衡（图b、c、d），总共可列出9个平衡方程，但其中只有6个是独立的。实际上，对整体列出的平衡方程可由对整体中每一物体列出平衡方程的线性组合而成。所以，计算独立平衡方程总数时，只对每个物体的平衡方程数计算后相加，而不应将整体的平衡方程数目包括在内。但是，在列写解题所需的平衡方程时，要根据具体情况，既可以选单个物体，也可以选整体作为考察对象，列出适用的平衡方程。例2-15三铰拱厂房屋架如图2-40a所示，每一半拱架重G=45kN，风压力的合力，各力的作用线位置如图，长度单位为m。试求铰链A、B、C的约束反力。解本题是求解由两个半拱组成的物体系统的平衡问题。最多能列出独立平衡方程数目2×3=6个。经分析题中的未知量也是6个（图2-40c、d），故此题是静定问题。若分别取整体，左、右半拱研究发现它们都是一次静不定问题，但是取整体研究时，如图2-40b所示，共有四个未知力FAx、FAy、FBx、FBy，其中FAx、FBx共线，这样，分别以A、B为矩心建立力矩平衡方程，可解出约束反力FBy、FAy。（1）考察整体的平衡，作其受力图，如图2-40b所示。分别选取A、B为矩心，水平、垂直方向为坐标x,y方向，建立二矩式平衡方程求解。①尚有两个未知力FAx和FBx不能从方程①中解出。为了求解FAx和FBx，必须进而考察与这些未知力有关的其它物体的平衡，为了方便起见可以考察右半拱的平衡。图2-40（2）考察右半拱CB的平衡，作其受力图，如图2-39d所示。选坐标轴x、y，矩心为C，建立平衡方程并求解：图2-40将代入①式得:负值表示实际方向与图示假定方向相反。至此A、B、C三个铰链处的约束反力已全部求出。左半拱的平衡条件可用来进行校核。由左半拱的受力图，如图2-39a所示，这时应注意FCx与F′Cx、FCy与F′Cy互为作用力与反作用力。列出相应的三个平衡方程，将上面所得的解代入。如果这些解是正确的，应能满足这些方程。例如：这方程是满足的。例2-16图2-41a所示为曲轴冲床筒图,由轮I、连杆AB和冲头B组成。O、A、B三处均可看作光滑铰链。OA=R，AB=l。如忽略摩擦和物体的自重,当OA转到图示水平位置,冲压阻力为F时,求：①作用在轮I上的力偶矩M的大小;②轴承O处的约束反力;③连杆AB所受的力;④冲头给导轨的压力。解此题是由轮I、连杆AB、冲头B组成的物体系统，图2-41a所示，,,由于不计自重，故杆AB为二力杆，故冲头B就受到一平面汇交力系，即冲头的阻力F、导轨的反力FN和连杆AB的反力FB作用如图2-41b所示，冲头B为静定物体，因此，先取冲头B研究，通过连杆AB的联系，再取轮I研究就可以求出全部未知量。(1)考察冲头B的平衡，作其受力图如图2-41b所示，选坐标轴x、y，建立平衡方程求解。图2-41图2-41由②式得：代入①式得：冲头给导轨的压力为FN的反作用力，连杆AB所受的力为FB的反作用力。(2)考察轮I的平衡，其受力图如图2-41c所示。其中FOx、FOy是固定铰链支座O的反力，FA是连杆AB作用于轮I的反力，由连杆AB的平衡条件和牛顿第三定律容易知道，而。选坐标轴x、y及矩心O建立平衡方程并求解。负号说明O处约束反力FOx、FOy的方向与图中假设方向相反。课程名称工程力学教学单元名称2．6考虑摩擦时的平衡问题单元能力培养目标理解滑动摩擦的概念；了解摩擦角与自锁的概念以及有摩擦时平衡问题的解法。知识点技能点滑动摩擦、静摩擦力、最大静摩擦力、滑动摩擦定律、动摩擦力、摩擦角、自锁的概念；有摩擦时平衡问题的解法。单元教学设计以工程实例、动画、图片帮助学生对知识点技能点的理解来完成培养目标。单元教学方式理论教学+多媒体作业教材P69习题4-3、4-8【教学内容】2．6考虑摩擦时的平衡问题一、滑动摩擦两个相互接触的物体，沿着它们的接触面相对滑动，或者有相对滑动的趋势时，在接触面上彼此作用着阻碍相对滑动的力，这种力称为滑动摩擦力。1．静摩擦力:静摩擦力作用于两物体在接触点的公切面内，方向与两接触面相对滑动的趋势相反。0≤F<Fmax2．最大静摩擦力最大静摩擦力的大小与两接触面间的法向压力FN成正比。这就是静滑动摩擦定律，又称库仑定律。即 Fmax=fs·FN式中fs是无量纲的比例常数，称为静摩擦因数。3．动摩擦力当两接触面产生相对滑动时，两者之间相互作用着动摩擦力F′，动摩擦力的方向与两接触面相对滑动的方向相反。大量实验证明，动摩擦力的大小F′也与接触面之间的法向压力FN成正比。即： F’=f·FN这就是动摩擦定律。式中的比例常数f称为动摩擦因数。由上述分析可知，静摩擦力的大小将随主动力的不同而改变，其值由平衡方程来确定；当物体处于将动而未动的临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值。其范围如下式： 0≤F≤Fmax=fs·FN动摩擦力的大小基本不变，其值由F’=f·FN来确定。 二、摩擦角与自锁现象1．摩擦角：全反力与接触面法线间的最大夹角，用表示，如上图b所示。tan===fs上式表明，摩擦角的正切等于静摩擦因数。这说明摩擦角与静摩擦系数都是表示材料摩擦性质的物理量，只与物体接触面的材料、表面状况等因素有关。2．自锁自锁条件： α≤ 即：作用于物体上的主动力的合力FQ，不论其大小如何，只要其作用线与接触面法线间的夹角α小于或等于摩擦角m，物体便处于静止状态。这种现象称为自锁。这种与主动力的大小无关，而只和摩擦角有关的平衡条件称为自锁条件。3．摩擦角的应用（1）静摩擦因数的测定 αmax=测出αmax即可由下式计算出静摩擦因数fS fS=tan=tanαmax（2）斜面（螺纹）的自锁条件从静摩擦因数的测定可知，物块不沿斜面下滑（自锁）的条件是，斜面倾角α α≤即，螺纹的升角α必须小于等于摩擦角。（3）在堆放松散的物质如砂、土、煤、粮食时，能够堆起的最大坡角αm称为休止角，它就是松散物质间的摩擦角。三、考虑滑动摩擦时的平衡问题例2--17（P55）解：由题意可知，力FP过大或过小将使物体沿斜面上滑或下滑。因此力FP值在一定范围内才能维持物体平衡。 1．下滑临界状态，FP=FPmin，对物体（见b图）ΣFix=0，FPmincosα+F1max-Gsinα=0ΣFiy=0，-FPminsinα-Gcosα+FN1=0补充方程：F1max=fs·FN1=tanm·FN1以上三个方程中计有FQmin、Ｎ1、F1max三个末知量。三式联立，解得： FPmin=G·tan(α-m) 2．上滑临界状态，FP=FPmax，对物体（见c图） ΣFix=0，FPmaxcosα-F2max-Gsinα=0ΣFiy=0，FN2-FPmaxsinα-Gcosα=0F2max=fS·FN2=tanm·FN2以上三式联立，解得：FPmax=G·tan(α+m)综合上述两个结果可知，只有当力FP满足以下条件时，物体才能处于平衡，即 G·tan(α-m)≤FP≤G·tan(α+m)例2—18（P56）解：对鼓轮ΣM0(Fi)=0 ， FT·r-Fmax·R=0解得： Fmax=FT=G对杠杆O1AB（F’N=-FN，F’max=-Fmax）ΣM0(Fi)=0，FPmin·a+F’max·c-F’N·b=0求解以上方程，并将F’max=Fmax=fSFN代入，得FPmin=例2—19（P57）变速箱中双联滑移齿轮。已知齿轮孔与轴之间的摩擦因数为fs，双联齿轮与轴的接触长度为b，问拨叉作用在齿轮上的力FP到轴线的距离a多大时齿轮才不会被卡住。齿轮重量忽略不计。解：由于FP力作用，齿轮发生倾斜，齿轮上只有A、B两点与轴接触。接触处产生正压力FNA、FNB和相应的摩擦力，这些力的大小与a值和FP力有关。设齿轮处于将滑末滑的临界状态，其受力图如图2—34b所示。齿轮不被卡住的条件是：A、B两处的最大摩擦力之和小于FP，即：FAmax+FBmax<FP列平衡方程：ΣY=0FNA-FNB=0补充方程：FAm=fs·FNAFBmax=fs·FNB由（2）、（3）、（4）式得：FNA=FNBFAmax=FBmax又由ΣMc(Fi)=0FP·a-FNA·b=0得 FNA=将(5)、（6）、（8）式代入不被卡住的条件（1）式有 FP>(FAm+FBm)=fS(FNA+FNB)=fS即：FP>于是得：a<这就是所求的a值。由此式可见：加大齿轮宽度b或减小拨叉到轴线的距离a值，均有利于使齿轮在轴上顺利滑动（不发生自锁）。总结解题步骤：1．确定研究对象；2．分析物体的受力情况，根据题意考虑摩擦力，画出受力图；（摩擦力的方向与物体运动趋势方向相反，若有两种运动趋势时，要画出两个不同的受力图，因为摩擦力的方向不同。）3．列平面力系的平衡方程，在有摩擦力的地方，应增加摩擦方程；4．求解未知量，并进行讨论，包括判定摩擦问题的平衡范围。课程名称工程力学教学单元名称3．1力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩3．2空间力系的简化和平衡单元能力培养目标了解力在空间直角坐标轴上的投影、力对轴之矩的求法；理解空间力系平衡问题的平面解法。知识点技能点力在空间直角坐标轴上的投影、力对轴之矩、空间力系平衡问题的平面解法。单元教学设计以动画、实例、例题帮助学生对知识点技能点的理解来完成培养目标。单元教学方式理论教学+多媒体作业教材P52习题3-1、3-2、3-3【教学内容】空间力系与重心空间力系：各个力的作用线都不在同一平面内。图3-1图3-1图3-2图3-2（2－3）（2－3）图3-3图3-33.1力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩图3-4图3-41．直接投影法如图3-4所示，投影的“+、-”号规定：当力的起点投影至终点投影的连线方向与坐标轴正向一致时取正号；反之，取负号。已知力F的三个投影，求F力的大小与方向。为此把（3-1）式的每一个等式分别平方相加，并注意到得（3-2）称为力F的方向余弦。2．二次投影法如图3-5所示，（3-3）图3-5其中，γ为力F与z轴所夹的锐角，φ为力F与z轴所确定的平面与x轴所夹的锐角。当力的起点投影至终点投影的连线方向与坐标轴正向一致时取正号；反之，取负号图3-5注意：力在轴上的投影是代数量，而力在平面上的投影为矢量。例3-1已知圆柱斜齿轮所受的啮合力，齿轮压力角α=20°，螺旋角如图3-6所示。试计算齿轮所受的圆周力Ft、轴向力Fa、径向力Fr大小。图3-6图3-6解取空间直角坐标系，使x、y、z方向分别沿齿轮的轴向、圆周的切线方向和径向，如图3-6a所示。先把啮合力Fn向z轴和Oxy坐标平面投影，得Fn在oxy平面上的分力Fxy，其大小为然后再把Fxy投影到x、y轴得3.1.2力对轴的矩1．力对轴之矩的概念如图3-8所示，力对轴之矩是力使物体绕轴转动效应的度量，它是代数量，其大小等于力在垂直于该轴的平面上的分力对于此平面与该轴交点之矩。（3-4）图3-8其正负号可用右手规则来确定：图3-8图图3-7如图3-7所示，在推门时，若力的作用线与门的转轴平行或相交（在同一平面内），，则无论力有多大都不能把门推开。力对轴的矩等于零的两种情况是：（1）力与轴平行（Fxy=0）;（2）力与轴相交（d=0）。也就是说力与轴在同一平面内时，力对轴之矩为零。力对轴之矩的单位为Nm。2．合力矩定理与平面力系合力矩定理类似，空间力系的合力矩定理为：空间力系的合力对某轴之矩，等于力系中各分力对同一轴之矩的代数和。即应用合力矩定理计算力对轴之矩，具体方法是：先将力F沿所取坐标轴x、y、z分解，得到Fx、Fy、Fz三个分力，然后计算每一分力对某轴（如z轴）之矩，最后求其代数和，即得出力F对该轴之矩，即由于Fz与z轴平行，于是可得（3-6）例题3-2曲拐轴受力如图3-9a所示，已知F=600N。求：（1）力F在x、y、z轴上的投影；（2）力F对x、y、z轴之矩。解（1）计算投影根据已知条件，应用二次投影法，如图3-9b。先将力F向Axy平面和Az轴投影，得到Fxy和Fz；再将Fxy向x、y轴投影，便得到Fx和Fy。于是有图3图3-9(2)计算力对轴之矩先将力F在作用点处沿x，y，z方向分解，得到3个分量Fx，Fy，Fz，如图3-9b，它们的大小分别等于投影Fx，Fy，Fz的大小。根据合力矩定理，可求得力F对原指定的x，y，z三轴之矩如下：3.2空间力系的简化与平衡3.2.1空间力系的简化简化方法同平面力系，得到：1．主矢的大小和方向余弦（3-7）（3-8）2．主矩MO的大小和方向余弦（3-9）（3-10）3.2.2空间力系的平衡1．空间力系平衡的充分与必要条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。即：（3-11）2．空间力系平衡方程将（3-7）式和（3-9）式代入平衡条件（3-11）式得到解析式表示为： (3-12)上式表示：力系中各力在任意空间坐标系每一个坐标轴上投影的代数和分别等于零；同时各力对每一个坐标轴之矩的代数和也分别等于零。空间力系共有六个独立的平衡方程，因此可以解出六个未知量。3.2.3空间任意力系平衡问题的平面解法对于空间力系的平衡问题，可以直接运用平衡方程（3-12）来解，也可以将空间力系分别投影到三个坐标平面上，转化为三个平面任意力系，分别建立它们的平衡方程来解。这种将空间问题分散转化为三个平面问题的讨论方法，称为空间力系的平面解法。机械工程中，尤其是对轮轴类零件进行受力分析时常用此方法。图3-10例3-4有一起重绞车的鼓轮轴如图3-10所示。已知，大齿轮半径，在最高处E点受Fn的作用，Fn与齿轮分度圆切线之夹角为α=20°，鼓轮半径r=10cm，A、B两端为向心轴承。试用平面解法求轮齿的作用力Fn以及A、B两轴承所受的反力。图3-10解（1）取鼓轮轴为研究对象，并画出它在三个坐标平面上受力的投影图，如图3-11所示。一个空间力系的问题就转化为三个平面力系问题。本题xz平面为平面任意力系，yz与xy平面则为平面平行力系。图3-11（2）按平面力系的解题方法，逐个分析三个受力投影图，发现本题应从xz平面先解。图3-11xz平面：yz平面：xy平面：负号表明，图中所标力的方向与实际方向相反。计算结果与例5-3题的结果相同，所以在工程实际中常见的轮轴受力计算，应用平面解法较为方便，此方法是我们本章的重点。图3-12例3-5图3-12a为一电机通过联轴器带动带轮的传动装置。已知驱动力偶矩M=20Nm，带轮直径D=16cm，a=20cm，轮轴自重不计，带的拉力。试求A、B图3-12解取轮轴为研究对象，画受力图如图3-12b所示，分别将此受力图向三个坐标平面投影，分别得到三个平面受力图，如图3-13所示。图图3-13（1）在xz平面建立平衡方程：（2）在yz平面建立平衡方程：（3）在xy平面建立平衡方程：负号说明FAx、FBx的实际指向与图3-13中假设指向相反。课程名称工程力学教学单元名称3．3重心单元能力培养目标了解物体重心、形心的概念及其确定方法。知识点技能点物体重心、形心的概念；物体重心、形心的确定方法。单元教学设计以生活和工程实例、例题帮助学生对知识点、技能点的了解来完成培养目标。单元教学方式理论教学+多媒体作业教材P55习题3-13、3-114【教学内容】3.4重心3.4.1重心的概念及坐标公式1．重心的概念图3-14重心图3-142．重心坐标公式设空间有一物体，如图3-14所示，根据合力矩定理，对y轴则有也就是所以同理有：若将代入以上物体重心坐标公式，消去g，可得质心坐标公式（3-14）如果物体是均质的，其密度为ρ，总体积为V，微小部分体积为Vi，则，代入式3-14三式得到物体形心的计算公式(3-15)从中可以看出，匀质物体的重心位置与物体的重量无关，所以，匀质物体的重心又称为形心。形心就是物体的几何形状中心，例如圆球的形心就是球心。注意：重心、质心是物理概念，而形心是几何概念。只有在均匀重力场中，匀质物体的形心、质心和重心才合而为一。3．平面物体重心的坐标公式图3-15如果物体是均质等厚平板，平板的对称平面为Oxy平面，重心便在此平面上，则ZC=0，如图3-15，平板的体积等于面积A与板厚δ的乘积，代入（3-15图3-15（3-16）若板的厚度很薄，则平板可视为平面物体（平面图形）。(3-16)式就是平面均质物体重心（形心）坐标的计算公式，也称为平面图形形心坐标公式。在式（3-16）中，显然，称为面积A对y轴的静（面）矩或截面一次矩，记作Sy即：。同样，，称为面积A对x轴的静（面）矩或截面一次矩，记作Sx即：。因此，平面图形形心坐标公式可变为（3-17）当平面物体（图形）对某轴的静矩（Sx或Sy）为零时，由于A≠0，xC或yC必为零，所以该轴必通过平面物体（图形）的形心。反之，若某轴通过平面物体（图形）的形心，则平面物体（图形）对该轴的静矩一定为零。3.4.2确定物体重心的方法1．对称法凡是具有对称面、对称轴、对称中心的简单形状的均质物体其重心一定在它的对称面、对称轴或对称中心上。若物体有两个对称面，则重心必在两面的交线上；若物体有两根对称轴，则重心必在两轴的交点上。例如，图3-16所示。图图3-162．分割法（1）无限分割法（积分法）（3-18）（2）有限分割法（组合法）工程实际中的零部件往往是由几个简单的基本形体组合而成为组合形体，每个基本形体的形心位置可以根据对称