中考数学深度复习讲义(教案+中考真题+模拟试题+单元测试)二次函数

（备战中考）江苏省2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）二次函数◆知识讲解①一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．②当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．③二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（x－h）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（－，）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．④二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=－，最值为，（k>0时为最小值，k<0时为最大值）．由此可知y=ax2的顶点在坐标原点上，且y轴为对称轴即x=0．⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“＋”，下“－”）平移k（k>0）个单位得到函数y=ax2±k，将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“＋”）平移h（h>0）个单位得到y=a（x±h）2．在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（右减左加）．⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．⑦抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a，b，c的作用：a的正负决定了开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴x=－的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=，顶点（－，）为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴x=－的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴x=－的右侧，y随x的增大而增大，此时y有最大值为y=，顶点（－，）为最高点．│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图像两边越靠近x轴；a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－<0，即对称轴在y轴左侧，垂直于x轴负半轴，当a，b异号时，对称轴x=－>0，即对称轴在y轴右侧，垂直于x轴正半轴；c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．◆例题解析例1（2011湖南湘潭市，25，10分）（本题满分10分）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）.OOCBA⑴求抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c。∵直线交轴于A点，交轴于B点，∴A点坐标为（-1,0）、B点坐标为（0,3）.又∵抛物线经过A、B、C三点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．（2）∵y=-x2+2x+3=，∴该抛物线的对称轴为x=1．设Q点坐标为（1，m），则，又.当AB=AQ时，，解得：，∴Q点坐标为（1，）或（1，）；当AB=BQ时，，解得：，∴Q点坐标为（1，0）或（1，6）；当AQ=BQ时，，解得：，∴Q点坐标为（1，1）．∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形．例2（2011湖北荆州，22，9分）（本题满分9分）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴是，B（4,2），一次函数的图象平分它的面积，关于x的函数的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值.第22题图【答案】解：过B作BE⊥AD于E，连结OB、CE交于点P，∵P为矩形OCBE的对称中心，则过P点的直线平分矩形OCBE的面积.∵P为OB的中点，而B（4，2）∴P点坐标为（2，1）在Rt△ODC与Rt△EAB中，OC＝BE，AB＝CD∴Rt△ODC≌Rt△EAB（HL），∴S△ODC＝S△EBA∴过点（0，-1）与P（2，1）的直线即可平分等腰梯形面积，这条直线为y=kx-1∴2k-1=1，∴k=1又∵的图象与坐标轴只有两个交点，故①当m＝0时，y＝-x+1,其图象与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）②当m≠0时，函数的图象为抛物线，且与y轴总有一个交点（0，2m+1）若抛物线过原点时，2m+1=0，即m=，此时△＝（3m+1）2-4m(2m+1)=＞0∴抛物线与x轴有两个交点且过原点，符合题意.

若抛物线不过原点，且与x轴只有一个交点，也合题意，

此时△′＝（3m+1）2-4m(2m+1)=0解之得：m1=m2=-1

综上所述，m的值为m=0或或-1.例3已知关于x的二次函数y=x2－mx+与y=x2－mx－，这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点；（2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？【解答】（1）对于关于x的二次函数y=x2－mx+．由于b2－4ac=（－m）－4×1×=－m2－2<0，所以此函数的图像与x轴没有交点．对于关于x的二次函数y=x2－mx－．由于b2－4ac=（－m）2－4×1×=3m2+4>0，所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点．故图像经过A，B两点的二次函数为y=x2－mx－．（2）将A（－1，0）代入y=x2－mx－．得1+m－=0．整理，得m2－2m=0．解得m=0或m=2．当m=0时，y=x2－1．令y=0，得x2－1=0．解这个方程，得x1=－1，x2=1．此时，点B的坐标是B（1，0）．当m=2时，y=x2－2x－3．令y=0，得x2－2x－3=0．解这个方程，得x1=1，x2=3．此时，点B的坐标是B（3，0）．（3）当m=0时，二次函数为y=x2－1，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，所以当x<0时，函数值y随x的增大而减小．当m=2时，二次函数为y=x2－2x－3=（x－1）2－4，此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所以当x<1时，函数值y随x的增大而减小．【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决．二次函数一、选择题1.（2011山东滨州，7，3分）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是()A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【答案】B【答案】D2.（2011广东广州市，5，3分）下列函数中,当x>0时y值随x值增大而减小的是（）．A．y=x2 B．y=x－１ C．y=eq\f(3,4)x D．y=eq\f(1,x)【答案】D3.（2011湖北鄂州，15，3分）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34.（2011山东德州6,3分）已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象可能正确的是第第6题图yyx11O（A）yx1-1O（B）yx-1-1O（C）1-1xyO（D）【答案】D5.（2011山东菏泽，8，3分）如图为抛物线的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是A．a＋b=－1B．a－b=－1C．b<2【答案】B6.（2011山东泰安，20，3分）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：X-7-6-5-4-3-2y-27-13-3353则当x=1时，y的值为A.5B.-3C.-13D.-27【答案】D7.（2011山东威海，7，3分）二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（）．A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C．x＞3 D．x＜－1或x＞3【答案】A8.（2011山东烟台，10,4分）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）A．m＝n，k＞hB．m＝n，k＜hC．m＞n，k＝hD．m＜n，k＝h【答案】A9.（2011浙江温州，9，4分）已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值【答案】D10．（2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是()A．a>0B．b＜0C．c＜0D．a＋b＋c>0【答案】D11.（2011台湾台北，6）若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为何？ 【答案】A12.（2011台湾台北，32）如图(十四)，将二次函数的图形画在坐标平面上，判断方程式的两根，下列叙述何者正确？A．两根相异，且均为正根B．两根相异，且只有一个正根C．两根相同，且为正根D．两根相同，且为负根【答案】A13.（2011台湾全区，28）图(十二)为坐标平面上二次函数的图形，且此图形通（－1,1）、（2,－1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确？A．y的最大值小于0B．当x＝0时，y的值大于1C．当x＝1时，y的值大于1D．当x＝3时，y的值小于0【答案】Ｄ14.（2011甘肃兰州，5，4分）抛物线的顶点坐标是A．（1，0） B．（－1，0） C．（－2，1） D．（2，－1）【答案】A15.（2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误的有A．2个 B．3个 C．4个 D．1个xxy-11O1【答案】D16.（2011江苏宿迁,8,3分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（▲）A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根【答案】D17.（2011山东济宁，8，3分）已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：x……01234……y……41014……点A（，）、B（，）在函数的图象上，则当时，与的大小关系正确的是A．B．C．D．【答案】B18.（2011山东聊城，9，3分）下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）【答案】D19.（2011山东潍坊，12，3分）已知一元二次方程的两个实数根、满足和，那么二次函数的图象有可能是（）【答案】C20．（2011四川广安，10，3分）若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（）A．=lB．>lC．≥lD．≤l【答案】C21.（2011上海，4，4分）抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是（）．(A)（2，－3）；(B)（－2，3）；(C)（2，3）；(D)（－2，－3）．【答案】D22.（2011四川乐山5，3分）将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是A．B．C．D．【答案】A23.（2011四川凉山州，12，4分）二次函数的图像如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图像是（）第12题第12题OxyOyxAOyxBOyxDOyxC【答案】B24.（2011安徽芜湖，10,4分）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（）.【答案】D25.（2011江苏无锡，9，3分）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴，且经过点(0，1)的是()A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2−3【答案】C26.（2011江苏无锡，10，3分）如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=eq\f(k,x)的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式eq\f(k,x)+x2+1<0的解集是()A．x>1B．x<−1C．0<x<1D．−1<x<0（第10题）（第10题）xyA【答案】D27.（2011湖北黄冈，15，3分）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D28.（2011广东肇庆，10，3分）二次函数有A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】D29.（2011湖北襄阳，12，3分）已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是A. B. C.且 D.且【答案】B30.（2011湖南永州，13，3分）由二次函数，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线C．其最小值为1D．当时，y随x的增大而增大【答案】C．31.(20011江苏镇江,8,2分)已知二次函数,当自变量x取m时,对应的函数值大于0,当自变量x分别取m-1,m+1时对应的函数值、,则必值,满足()A.>0,>0B.<0,<0C.<0,>0D.>0,<0答案【B】32.（2011安徽芜湖，10，4分）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（）.【答案】D33.（2010湖北孝感，12，3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C34.（2011湖南湘潭市，8，3分）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是【答案】C35.二、填空题1.（2011浙江省舟山，15，4分）如图，已知二次函数的图象经过点（－1，0），（1，－2），当随的增大而增大时，的取值范围是．（第（第15题）（1,-2）-1【答案】2.（2011山东日照，17，4分）如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是【答案】①③．3.（2011浙江杭州，23，10)设函数(k为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数K，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对任意负实数k，当x<m时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值．【答案】(1)当k＝1时，，当k＝0时，，图略．(2)对任意实数k，函数的图象都经过点（－2，－1）和点（0，1）证明：把x＝－2代入函数，得y＝－1，即函数的图象经过点（－2，－1）；把x＝0代入函数，得y＝1，即函数的图象经过点（0，1）．(3)当k为任意负实数，该函数的图象总是开口向下的抛物线，其对称轴为，当负数k所取的值非常小时，正数靠近0，所以靠近－1，所以只要M的值不大于－1即可．4.(2011浙江湖州，15，4)如图，已知抛物线经过点（0，－3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间你所确定的b的值是．【答案】如（答案不唯一）5.（2011宁波市，16，3分）将抛物线y＝x的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为【答案】y＝x2＋16.（2011浙江义乌，16，4分）如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x2+3x图象的对称轴交于点B.（1）写出点B的坐标▲；（2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点.若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为▲.OOBCD【答案】（1）（eq\f(3,2)，-3）；（2）（2,2）、（eq\f(1,2)，eq\f(5,4)）、（eq\f(11,4)，eq\f(11,16)）、（eq\f(13,5)，eq\f(26,25)）7.（2011浙江省嘉兴，15，5分）如图，已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为．（第（第15题）（1,-2）-1ABC【答案】38.（2011山东济宁，12，3分）将二次函数化为的形式，则．【答案】9.（2011山东潍坊，14，3分）一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过（2,1）点；②当x>0时，y随x的增大而减小.这个函数解析式为_________________________（写出一个即可）【答案】如：等，写出一个即可.10．（2011重庆江津，18，4分）将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.【答案】y=(x-5)2+2或y=x2-10x+2711.（2011江苏淮安，14，3分）抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是.【答案】（1，-4）12.（2011贵州贵阳，14，4分）写出一个开口向下的二次函数的表达式______．【答案】y=-x2+2x+113.（2011广东茂名，15，3分）给出下列命题：命题1．点(1，1)是双曲线与抛物线的一个交点．命题2．点(1，2)是双曲线与抛物线的一个交点．命题3．点(1，3)是双曲线与抛物线的一个交点．……请你观察上面的命题,猜想出命题(是正整数):【答案】点(1，n)是双曲线与抛物线的一个交点．14.（2011山东枣庄，18，4分）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：x…－2－1012…y…04664…从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）①抛物线与轴的一个交点为（3,0）；②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是；④在对称轴左侧，随增大而增大．【答案】①③④15.三、解答题1.（2011广东东莞，15，6分）已知抛物线与x轴有交点．(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．【答案】（1）∵抛物线与x轴没有交点∴⊿＜0，即1－2c＜0解得c＞(2)∵c＞∴直线y=x＋1随x的增大而增大，∵b=1∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限2.（2011重庆江津，25，10分）已知双曲线与抛物线y=zx2+bx+c交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点.(1)求双曲线与抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系中描出点A、点B、点C,并求出△ABC的面积,·A(2,3)·A(2,3)yx11o第25题图-1-1·B(2,3)·C(-2,-3)yx11o第25题图-1-1【答案】(1)把点A(2,3)代入得：k=6·∴反比例函数的解析式为：·把点B(m,2)、C(－3,n)分别代入得：m=3,n=-2·把A(2,3)、B(3,2)、C(-3,-2)分别代入y=ax2+bx+c得：解之得∴抛物线的解析式为：y=-·(2)描点画图S△ABC=(1+6)×5-×1×1-×6×4==5·3.（2011江苏泰州，27，12分）已知：二次函数y=x2＋bx－3的图像经过点P（－2,5）．（1）求b的值，并写出当1＜x≤3时y的取值范围；（2）设点P1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上．①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．【答案】解：（1）把点P代入二次函数解析式得5=（－2）2－2b－3，解得b=－2.当1＜x≤3时y的取值范围为－4＜y≤0.（2）①m=4时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长．②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为m2－2m－3、m2－4、m2＋2m－3，由于，m2－2m－3＋m2－4＞m2＋2m－3，（m－2）2－8＞0，当m不小于5时成立，即y1＋y2＞y3成立．所以当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，4.（2011广东汕头，15，6分）已知抛物线与x轴有交点．(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．【答案】（1）∵抛物线与x轴没有交点∴⊿＜0，即1－2c＜0解得c＞(2)∵c＞∴直线y=x＋1随x的增大而增大，∵b=1∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限5.（2011湖南怀化，22，10分）已知：关于x的方程当a取何值时，二次函数的对称轴是x=-2；求证：a取任何实数时，方程总有实数根.【答案】(1)解：∵二次函数的对称轴是x=-2∴解得a=-1经检验a=-1是原分式方程的解.所以a=-1时，二次函数的对称轴是x=-2；（2）1）当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x=-1；2）当a≠0时，原方程为一元二次方程，，当方程总有实数根，∴整理得，∵a≠0时总成立所以a取任何实数时，方程总有实数根.6.(2011江苏南京，24，7分)（7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．【答案】解：⑴当x=0时，．所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）．⑵①当时，函数的图象与轴只有一个交点；②当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，．综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．10．（2011四川绵阳24，12）已知抛物线:y=x²-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点,如图，设它的顶点为B(1)求m的值；(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是△ABC是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.【答案】（1）抛物线与x轴只有一个交点，说明△=0，∴m=2（2）∵抛物线的解析式是y=x²-2x+1,∴A（0，1），B（1，0）∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB,∴∠BAC=∠OAB=45°A，C是对称点，∴AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形。（3）平移后解析式为y=x²-2x-3,可知E(-1,0),F(0,-3)∴EF的解析式为：y=-3x-3,平面内互相垂直的两条直线的k值相乘=-1，所以过E点或F点的直线为y=EQ\f(1,3)x+b把E点和F点分别代入可得b=EQ\f(1,3)或-3，∴y=EQ\f(1,3)x+EQ\f(1,3)或y=EQ\f(1,3)x-3列方程得EQ\B\lc\{(\a\al(y=EQ\f(1,3)x+EQ\f(1,3),y=x²-2x-3,))解方程x1=-1,x2=EQ\f(10,3),x1是E点坐标舍去，把x2=EQ\f(10,3)代入得y=EQ\f(13,9),∴P1（EQ\f(10,3)，EQ\f(13,9)）同理EQ\B\lc\{(\a\al(y=EQ\f(1,3)x-3,y=x²-2x-3,))易得x1=0舍去，x2=EQ\f(7,3)代入y=-EQ\f(20,9),∴P2(EQ\f(7,3),-EQ\f(20,9))11.（2011贵州贵阳，21，10分）如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．（1）求m的值；（3分）（2）求点B的坐标；（3分）（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．（4分）（第21题图）【答案】解：（1）将（3，0）代入二次函数解析式，得-32+2×3+m=0．解得，m=3．（2）二次函数解析式为y=-x2+2x+3，令y=0，得-x2+2x+3=0．解得x=3或x=-1．∴点B的坐标为（-1，0）．（3）∵S△ABD=S△ABC，点D在第一象限，∴点C、D关于二次函数对称轴对称．∵由二次函数解析式可得其对称轴为x=1，点C的坐标为（0，3），∴点D的坐标为（2，3）．12.（2011广东省，15，6分）已知抛物线与x轴有交点．(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．【答案】（1）∵抛物线与x轴没有交点∴⊿＜0，即1－2c＜0解得c＞(2)∵c＞∴直线y=x＋1随x的增大而增大，∵b=1∴直线y=x＋1经过第一、二、三象限13.（2011广东肇庆，25，10分）已知抛物线（0）与轴交于、两点．（1）求证：抛物线的对称轴在轴的左侧；（2）若（是坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线与轴交于点，若是直角三角形，求的面积．【答案】（1）证明：∵0∴∴抛物线的对称轴在轴的左侧（2）解：设抛物线与轴交点坐标为A（，0），B（，0），则，，∴与异号又∴由（1）知：抛物线的对称轴在轴的左侧∴，∴,代入得：即，从而，解得：∴抛物线的解析式是（3）[解法一]：当时，∴抛物线与轴交点坐标为（0，）∵是直角三角形，且只能有AC⊥BC，又OC⊥AB，∴∠CAB＝90°—∠ABC，∠BCO＝90°—∠ABC，∴∠CAB＝∠BCO∴Rt△AOC∽Rt△COB，∴，即∴即解得：此时＝，∴点的坐标为（0，—1）∴OC＝1又∵0，∴即AB＝∴的面积＝ABOC＝1＝[解法二]：略解:当时，∴点（0，）∵是直角三角形∴∴∴∴解得：∴14.（2011江苏盐城，23，10分）已知二次函数y=-EQ\F(1,2)x2-x+EQ\F(3,2).（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．【答案】（1）画图(如图)；（2）当y＜0时，x的取值范围是x＜-3或x＞1；（3）平移后图象所对应的函数关系式为y=-eq\f(1,2)（x-2）2+2（或写成y=-eq\f(1,2)x2+2x）.15.(20011江苏镇江,24,7分)如图,在△ABO中,已知点A(,3),B(-1,-1),O(0,0),正比例y=-x的图象是直线l,直线AC∥x轴交直线l于点C.(1)C点坐标为_____;(2)以点O为旋转中心,将△ABO顺时针旋转角a(0°<a<180°),使得点B落在直线l上的对应点为,点A的对应点为,得到△.①∠a=_____;②画出△;(3)写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标.【答案】解：（1）C点坐标为（-3，3）；（2）①∠α=90°②略（3）(9,-),(,-9).16.（2011广东中山，15,6分）已知抛物线与x轴有两个不同的交点．(1)求c的取值范围；(2)抛物线与x轴两交点的距离为2，求c的值．【解】（1）∵抛物线与x轴有两个不同的交点∴⊿＞0，即1－2c＞0解得c＜(2)设抛物线与x轴的两交点的横坐标为，∵两交点间的距离为2，∴，由题意，得解得∴c=即c的值为0．17.（2011贵州安顺，27，12分）如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．第2第27题图【答案】（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-2上，∴×(-1)2+b×(-1)–2=0，解得b=∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.y=x2-x-2=(x2-3x-4)=(x-)2-,∴顶点D的坐标为(,-).（2）当x=0时y=-2,∴C（0，-2），OC=2。当y=0时，x2-x-2=0，∴x1=-1,x2=4,∴B(4,0)∴OA=1,OB=4,AB=5.∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC=2，连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小。解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.∵ED∥y轴,∴∠OCM=∠EDM,∠COM=∠DEM∴△COM∽△DEM.∴∴，∴m=．解法二：设直线CD的解析式为y=kx+n,则，解得n=2,.∴.∴当y=0时，，.∴.18.（2010湖北孝感，25，2分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（5分）（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（4分）（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值.（5分）【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.在Rt△ABF中，BF=.∴FC=4.在Rt△ECF中，42+（8-x）2=x2，解得x=5.∴CE=8-x=3.∵B（m，0）,∴E(m+10,3),F（m+6,0）.（2）分三种情形讨论：若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.若OF=AF，则m+6=10，解得m=4.若AO=OF，在Rt△AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64，∴（m+6）2=m2+64，解得m=.综合得m=6或4或.（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).依题意，得，解得∴M（m+6，﹣1）.设对称轴交AD于G.∴G（m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9.∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，∴∠OAB=∠MAG.又∵∠ABO=∠MGA=90°，∴△AOB∽△AMG.∴，即.∴m=12.19.21.（2011湖北宜昌，24，11分）已如抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m+n相交于两点，这两点的坐标分别是(0，)和(m-b，m2–mb+n，其中a，b,c,m，n为实数，且a，m不为0.(1)求c的值；(2)设抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点是(，0)和(，0)，求的值；(3)当时，设抛物线y=ax2+bx+c与轴距离最大的点为P（，），求这时的最小值.【答案】解:(1)∵（0，）在y＝ax2＋bx＋c上，∴

＝a×02＋b×0＋c，∴

c＝.(1分)

(2)又可得

n＝。∵

点（m－b，m2－mb＋n）在y＝ax2＋bx＋c上，∴

m2－mb＝a（m－b）2＋b（m－b），∴（a－1）（m－b）2＝0，

（2分）若（m－b）＝0，则（m－b，

m2－mb＋n）与（0，）重合，与题意不合．∴

a＝1．（3分，只要求出a＝1，即评3分）∴抛物线y＝ax2＋bx＋c，就是y＝x2＋bx．△＝b2－4ac＝b2－4×（）＞0，（没写出不扣分）∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标就是关于x的二次方程0＝ax2＋bx＋c的两个实数根，∴由根与系数的关系，得x1x2＝．（4分）

(3)抛物线y＝x2＋bx的对称轴为x＝，最小值为．（没写出不扣分）设抛物线y＝x2＋bx在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H，在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h．当<－1，即b＞2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，yo），∴｜H｜＝yo＝＋b＞，

(5分)，在x轴下方与x轴距离最大的点是（－1，yo），∴｜h｜＝｜yo｜＝｜－b｜＝b－＞，

(6分)，∴｜H｜＞｜h｜．∴这时｜yo｜的最小值大于(7分)②

当－1≤≤0，即0≤b≤2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（1，yo），∴｜H｜＝yo＝＋b≥，当b＝0时等号成立.在x轴下方与x轴距离最大点的是

（，

），∴｜h｜＝｜｜＝≥，当b＝0时等号成立.∴这时｜yo｜的最小值等于.(8分)

③

当0＜≤1，即－2≤b＜0时,在x轴上方与x轴距离最大的点是（－1，yo），∴｜H｜＝yo＝1＋（－1）b－＝－b＞，在x轴下方与x轴距离最大的点是

（，），∴｜h｜＝｜yo｜＝｜｜＝＞12.

∴

这

时

｜yo｜的

最

小

值

大

于.(9分)④

当1＜，即b＜－2时，在x轴上方与x轴距离最大的点是（－1，yo），

∴｜H｜＝－b＞，在x轴下方与x轴距离最大的点是(1，yo)，∴｜h｜＝｜＋b｜＝－（b＋）＞，∴｜H｜＞｜h｜,∴这时｜yo｜的最小值大于

(10分)

综上所述，当b＝0，x0＝0时，这时｜yo｜取最小值，为｜yo｜＝.

(11分)2011中考模拟分类汇编：二次函数的图象和性质选择题A组1、(中江县2011年初中毕业生诊断考试)小李从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面四条信息：（1）b2－4ac＞0；（2）c＞1；（3）ab＞0；（4）a－b＋c＜0.你认为其中错误的有() A.2个B.3个C.4个D.1个答案：A2、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是()A．y＝2(x+2)2－2B．y＝2(x－2)2+2C．y＝2(x－2)2－2D．y＝2(x+2)2+2答案：A3、（2011淮北市第二次月考五校联考）下列函数中，不是二次函数的是（）A、y=B、y=2（x-1）2+4C、y=D、y=（x-2）2-x2答案D4、（2011淮北市第二次月考五校联考）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）一个解x的取值范围（）x53.26y=ax2+bx+c－0.06－0.020.030.09A、3<x<3.23B、3.23<x<3.24C、3.24<x<3.25D、3.25<x<3.26答案C5、（2011淮北市第二次月考五校联考）把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的解析式是y=x2-3x+5，则有（）ABABC-3-2-10123456x4321-1-2-3-4-5yC、b=3，c=3D、b=－9，c=21答案A6、（2011淮北市第二次月考五校联考）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时，就会停产，现有一生产季节性产品的企业，其中一年中获得的利润y与月份n之间的函数关系式为y=－n2+14n-24，则该企业一年中停产的月份是（）A、1月，2月，3月B、2月，3月，4月C、1月，2月，12月D、1月，11月，12月答案C7、（2011淮北市第二次月考五校联考）函数图象y=ax2+（a－3）x+1与x轴只有一个交点则a的值为（）A、0，1B、0，9C、1，9D、0，1，9答案D8.卷对于每个非零自然数n，抛物线与x轴交于An、Bn两点，以表示这两点间的距离，则的值是（）A． B．C．D．答案：D9．（2011年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题）抛物线的顶点坐标是（）A．(1，0)；B．(–1，0)；C．(–2，1)；D．(2，–1)．答案：A10．（2010－2011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4,4）,抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为()yxO（第10题）A．－3yxO（第10题）答案：D11、(2011山西阳泉盂县月考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点（－1，2），且与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，其中－2＜x1＜－1,0＜x2＜1有下列结论：①abc＞0,②4a－2b+c＜0,③2a－b＜0,④b2+8a＞4ac其中正确的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个答案：D–133第1题112.（2011年江苏盐都中考模拟）如图，已知抛物线y=ax2–133第1题1A.3B.-3C.-1D.0答案D13、（2011年北京四中中考模拟20）把抛物线向右平移2个单位得到的抛物线是()A、B、C、D、答案D14、（北京四中模拟）已知抛物线，则该抛物线的顶点坐标为（）A、（1，1） B、（4，11） C、（4，－5） D、（－4，11）答案：B15、（北京四中模拟）二次函数的图象如图所示，则（）A、 B、 C、 D、答案：A16、（2011杭州模拟）已知二次函数经过点M（-1,2）和点N（1，-2），交x轴于A，B两点，交y轴于C则……(▲)①；②该二次函数图像与y轴交与负半轴③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上④若以上说法正确的有：A．①②③④B．②③④C．①②④D．①②③答案：C17（2011杭州模拟26）已知二次函数y=的图像如图所示，令M=︱4a-2b+c︱+︱a+b+c︱-︱2a+b︱+︱2a-b︱，则以下结论正确的是……………()A.M＜0B.M＞0C.M=0D.M的符号不能确定答案：A18.（2011年北京四中中考全真模拟15）二次函数y=-2(x-1)2+3的图象如何移动就得到y=-2x2的图象（）A.向左移动1个单位，向上移动3个单位。B.向右移动1个单位，向上移动3个单位。C.向左移动1个单位，向下移动3个单位。D.向右移动1个单位，向下移动3个单位。答案：C19.（2011.河北廊坊安次区一模）抛物线的图象与x轴一个交点的横坐标是P，那么该抛物线的顶点坐标是A．（0，－2） B． C． D．答案:DyxO20.(2011湖北省天门市一模)已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（）yxOA.1B.2C.3答案:D21．（2011年浙江仙居）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒答案：B22.（2011年江苏盐城）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(3，－2)，那么该抛物线有()A.eq\a()最小值3B.eq\a()最大值3C.eq\a()最小值－2D.eq\a()最大值－2答案D23、（2011年浙江杭州五模）已知二次函数的图像如图，则下列5个代数式：,其值大于0的个数为（）A、3B、2C、5D、4答案：ByO1x第1题图24、（2011年浙江杭州六模）抛物线y=－x2＋2x－2经过平移得到y=－x2,平移方法是（）A.向右平移1个单位，再向下平移1个单位B.向右平移1个单位，再向上平移1个单位C.向左平移1个单位，再向下平移1个单位D.向左平移1个单位，再向上平移1个单位答案：D25.(卷)已知二次函数y=的图像如图所示，令M=︱4a-2b+c︱+︱a+b+c︱-︱2a+b︱+︱2a-b︱，则以下结论正确的是………………()0-11A.M＜0B.M＞0-11答案：AB组Oyx2（第1题图）1．（2011天一实验学校二模）已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（）Oyx2（第1题图）A． B．或C． D．或答案：B2．（2011年杭州三月月考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①②当时，函数有最大值。③当时，函数y的值都等于0.④其中正确结论的个数是（）(A)1(B)2(C)3(D)4答案：Cxxxxx3．（2011年三门峡实验中学3月模拟）抛物线图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为()xxxxx答案：D4.（2011杭州上城区一模）。下列函数的图象，经过原点的是（）A.B.C. D.答案：A5．（2011杭州市模拟）已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：…0123……5212…点A（，）、B（，）在函数的图象上，则当，时，与的大小关系正确的是（）A．≥ B．C． D．≤答案：B第6题2011年杭州市西湖区模拟）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）第6题答案：D7．（浙江杭州金山学校2011模拟）（引九年级模拟试题卷）函数在同一直角坐标系内的图象大致是（▲）答案：C8．（2011灌南县新集中学一模）下列函数的图象中，有最高点的函数是【】A．B． C．D．答案：D9．（2011广东南塘二模）.二次函数y＝(m－1)x＋4x－5m的图象的对称轴方程是A、x＝1B、x＝－1C答案：A10.（2011深圳市中考模拟五）.已知如图，抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，化简的结果为①c②b③b－a④a－b＋2c，其中正确的有（）A．一个B．两个C．三个D．四个答案：C11.（安徽芜湖2011模拟）抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b、c的值为（）A.b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=2答案:B12．（河南新乡2011模拟）在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（）yyx2oAyxoByx2oCyxoD答案：Ｃ13．（2011年黄冈市浠水县）如图，二次函数（≠0）的图象经过点12（1，2）且与轴交点的横坐标分别为1，2，其中一1＜1＜0，1＜2＜2，12下列结论：eq\o\ac(○,1)＜eq\o\ac(○,2)＜eq\o\ac(○,3)＞4eq\o\ac(○,4)-1其中结论正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D14．（江西省九校2010—2011第一次联考）下列函数中，其图象与x轴有两个交点的是【】A．y＝8(x2009)22010B．y＝8(x2009)22010C．y＝8(x2009)22010D．y＝8(x2009)22010答案：Dxyo15．（北京四中2011中考模拟14）二次函数y=axxyoA.a>0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c<oC.a<o,b>0,c<0D.a<0,b>0,c>o答案：D16．（2011北京四中模拟）己知二次函数，且则一定有（）.A：B：C：D：答案：A17．（2011年北京四中34模）已知抛物线，若点P（，5）与点关于该抛物线的对称轴对称，则点的坐标是（）A．（0，5）B．（2，5）C．（3，5）D．（4，5）答案：D18．（2011年北京四中34模）已知二次函数的图象如右图所示，下列结论：① ② ③④的实数)，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个 D．4个答案：B19．（2011年杭州市上城区一模）下列函数的图象，经过原点的是（）A.B.C. D.答案：A第7题20.二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为第7题答案：D第9题21.如图，在直角梯形中，∥，，，，动点同时从点出发，点沿、、运动到点停止，点沿运动到点停止，两点运动时的速度都是/，而当点到达点时，点正好到达点．设点运动的时间为，的面积为．则能正确表示整个运动中关于的函数关系的大致图象是第9题A．B．C．D．答案：B22．（2011年海宁市盐官片一模）已知二次函数，则函数值y的最小值是（▲）A.3 B.2 C.1 D.－1答案：D23．（赵州二中九年七班模拟）点E为正方形ABCD的BC边的中点，动点F在对角线AC上运动，连接BF、EF．设AF＝x，△BEF的周长为y，那么能表示y与x的函数关系的图象大致是（）OOxOOOxxxyyyyABCDABCDFE答案：Bxy024．（赵州二中九年七班模拟）二次函数xy0A.B.C.D.0答案：D填空题A组1、（2011重庆市纂江县赶水镇）在正方形的网格中，抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=kx+m的图象如图所示，请你观察图象并回答：当－1<x<2时，y1____y2（填“>”或“<”或“=”号）．答案：＜2、（重庆一中初2011级10—11学年度下期3月月考）小颖同学想用“描点法”画二次函数的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：…012……112－125…由于粗心，小颖算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x=______．答案：23、（2011年北京四中四模）抛物线的顶点坐标是_____.答案：（0，－3）4、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)抛物线的顶点坐标是________.答案：(3，－6)5、（2011北京四中模拟6）把抛物线向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是.答案：46、（2011淮北市第二次月考五校联考）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上两点，当x取-1与3时，y值相同，抛物线的对称轴是__________.答案X＝17．（淮安市启明外国语学校2010－2011学年度第二学期初三数学期中试卷）如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax2－2ax+EQ\F(3,2)（a＜0）的图象上，点A、B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为．第第7题图答案：（2，EQ\F(3,2)）8、（2011年北京四中模拟28）抛物线的顶点坐标是．答案：（0，-1）9、(2011浙江杭州模拟14)老师给出一个y关于x的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时y>0.已知这四位同学叙述都正确。请写出满足上述所有性质的一个函数______________.答案：答案不唯一.例如：10、(2011浙江杭州模拟15)甲、乙两位同学对问题“求函数的最小值”提出各自的想法。甲说：“可以用配方法，把它配成，所以函数的最小值为-2”。乙说：“我也用配方法，但我配成，最小值为2”。你认为__________（填写“甲对”、“乙对”、“甲、乙都对”或“甲乙都不对”）的。你还可以用________法等方法来解决．答案：乙图象（答案不唯一）11、（2011年黄冈中考调研六）抛物线y＝7x2＋28x＋30的顶点坐标为。答案12、已知关于x的函数y＝（m－1）x2＋2x＋m图像与坐标轴有且只有2个交点，则m＝答案：13.(河北省中考模拟试卷)抛物线y=（x+1）2-2的顶点坐标是．答案：(-1,-2)B组1．（2011年三门峡实验中学3月模拟）抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的解析式为____________．答案：或第2题2．（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为.第2题答案：或3．（2011年杭州三月月考）将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是▲。答案：OxAyHCy=x24．（2011天一实验学校二模）．如图，在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30o,在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H.在抛物线y=x2(x>0)上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△OxAyHCy=x2源答案：(3，EQ\r(,3)),(EQ\F(1,3)EQ\r(,3)，EQ\F(1,3)),(2EQ\r(,3)，2),(EQ\F(2,3)EQ\r(,3)，EQ\F(2,3))5．（2011）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，-3）AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为__________________。经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为__________________。（08年益阳第20题）答案：y=x2-2x-3,y=-2x-36．（2011年27模）我们知道，根据二次函数的平移规律，可以由简单的函数通过平移后得到较复杂的函数，事实上，对于其他函数也是如此。如一次函数，反比例函数等。请问可以由通过_________________________平移得到。答案：向右平移1个单位，再向上平移3个单位第7题7.（2011年浙江省杭州市模2）如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是.第7题答案：(，)(，)(3，)(2，2)8.（安徽芜湖2011模拟）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是.答案:x＜-1或x>39.（河南新乡2011模拟）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为＿＿＿＿＿＿＿．答案：200910.（浙江杭州进化2011一模）老师给出一个y关于x的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；丁：当x<2时y>0.已知这四位同学叙述都正确。请写出满足上述所有性质的一个函数______________.第11题图答案：答案不唯一.例如：第11题图11．（2011北京四中模拟）如图示：己知抛物线，关于轴对称，抛物线，关于轴对称。如果抛物线的解析式是，那么抛物线的解析式是12．（江西省九校2010—2011第一次联考）将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是．答案：y＝2x2-113．（北京四中2011中考模拟12）一个函数具有下列性质：=1\*GB3①它的图象不经过第三象限；=2\*GB3②图象经过点（－1，1）；=3\*GB3③当时函数值随自变量x增大而增大.试写出一个满足上述三条性质的函数的解析式。答案：等（写一个即可）14．（北京四中2011中考模拟13）把抛物线向上平移2个单位，那么所得抛物线与x轴的两个交点之间的距离是.答案：；15．（北京四中2011中考模拟14）抛物线y=(k+1)x-9开口向下,且经过原点,则k=_____.答案：-3;解答题A组1、（衢山初中2011年中考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为．（1）请在图中画出向下平移3个单位的像；（2）若一个二次函数的图象经过（1）中的三个顶点，求此二次函数的关系式．xxOyACB答案：20、（1）xOyAxOyACBAAA（2）由题意得的坐标分别是（0，-1），（3，-1），（2，0）设过点的二次函数的关系式为，则有解得∴二次函数的关系式为2、(中江县2011年初中毕业生诊断考试) 如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点，D是抛物线的顶点，O为坐标原点.A、B两点的横坐标分别是方程的两根，且cos∠DAB＝.（1）求抛物线的函数解析式；（2）作AC⊥AD，AC交抛物线于点C，求点C的坐标及直线AC的函数解析式；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△APC的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标和△APC的最大面积；如果不存在，请说明理由.答案：（10分）解：（1）解方程得，.∴A（－2，0），B（6，0）.过D作DE⊥x轴于E，∵D是顶点，∴点E是AB的中点，∴E（2，0）.在Rt△DAE中，∵cos∠DAB＝，∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE＝4，∴D（2，4）（由A、B、D三点坐标解出二次函数解析式，不论用顶点式、两根式还是一般式均可）∴抛物线的解析式为（或写成）.（2）∵AC⊥AD，由（1）∠DAE＝45°得：∠BAC＝45°，△ACG是等腰直角三角形.∴设C（a，b）（显然a＞0，b＜0），则b＝―a―2，即C（a，―a―2）∵点C在抛物线上，∴―a―2＝―（a―2）2＋4a2―8a―20＝0解之得：a1＝10，a2＝－2（舍去）∴C（10，－12）设直线AC的方程为，代入A、C的坐标，得解之得：∴直线AC的解析式为y＝―x―2.（3）存在点P（4，3），使S△APC最大＝54.理由如下： 作CG⊥x轴于G，PF∥y轴交x轴于Q，交AC于F.设点P的横坐标是h， 则G（10，0），P（h，），F（h，－h－2） ∴PF＝ △PCF的高等于QG. S△APC＝S△APF＋S△PCF＝PF·AQ＋PF·QG＝PF（AQ＋QG）＝PF·AG＝＝ ∴当h＝4时，S△APC最大＝54.点P的坐标为（4，3）.3、（2011年北京四中四模）已知二次函数的图象经过点（－1，－5），（0，－4）和（1，1）.求这个二次函数的解析式.答案：设所求函数的解析式为把（―1，―5），（0，－4），（1，1）分别代入，得

，解这个方程组，得所求的函数的解析式为4、（2011北京四中模拟7）已知二次函数，它的图象与x轴只有一个交点，交点为A，与y轴交于点B，且AB=2.

(1)求二次函数解析式；

(2)当b<0时，过A的直线y=x＋m与二次函数的图象交于点C，在线段BC上依次取D、E两点，若，试确定ÐDAE的度数，并简述求解过程。答案解法一：(1)∵的图象与x轴只有一个交点∴一元二次方程＝0有两个相等的实数根由AB=2，得A与B不重合，又a>0∴c>0∴ac=1∴二次函数与x轴，y轴交点坐标为在RtDABO中，把(1)代入(2)，解得把\二次函数解析式为

(2)当b<0时，由二次函数的解析式直线与二次函数图象交点C的坐标为过C点作CF︿x轴，垂足为F，可推得AB=AC，ÐBAC=90°(如图所示)

在CF上截取CM=BD，连结EM、AM，则

可证DABD≌DACM从而可证DDAE≌DMAE∴∠1=∠2，∠DAE=∠EAM∴∠DAM=∠BAC=90°∴∠DAE=45°5、（2011北京四中模拟8）如图，在直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上。抛物线经过点B、C。（1）求抛物线的解析式；（2）点D、E分别是AB、BC上的动点，且点D从点A开始，以1cm/s的速度沿AB向点B移动，同时点E从点B开始，以1cm/s的速度沿BC向点C移动。运动t秒（t≤2）后，能否在抛物线上找到一点P，使得四边形BEDP为平行四边形。如果能，请求出t值和点P的坐标；如果不能，请说明理由。答案;能,,P6、（2011淮北市第二次月考五校联考）已知，二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（－1，0）和点B（3，0）两点，且与y轴交于点C，（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积。答案解：(1)y＝(x+1)(x-3)=x2-2x-3………………2分(2)AB=3-(-1)=4………………4分S△ABC=×4×3=6………………8分7、（2011淮北市第二次月考五校联考）丁丁推铅球的出手高度为1.6m，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动路线是抛物线y=－0.1（x－k）2+2.5，求铅球的落点与丁丁的距离。答案y=0.1x2+0.2kx-0.1k2+2.5………………2分-0.1k2+2.5=1.6k＝±3k＝3………………4分0.1（x－3）2+2.5=0x1=－2(舍去)x2=8所以,铅球的落点与丁丁的距离为8cm.………………8分8．（淮安市启明外国语学校2010－2011学年度第二学期初三数学期中试卷）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过、两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；12331DyC12331DyCBAP2ExO第8题图答案：（1）抛物线解析式为：．顶点的坐标为．（2）设直线解析式为：（），把两点坐标代入，得解得．∴直线解析式为．，s=EQ\F(1,2)PE·OE∴．∴当时，取得最大值，最大值为．(E)12331DyC(E)12331DyCBAP2xOFMH∴四边形是矩形．作点关于直线的对称点，连接．过作轴于，交轴于点．