工程力学：杆件内力的简便计算

杆件内力的简便计算---某截面的内力总是与截面一侧的外力相平衡5.1轴向拉压的内力—轴力背离截面的外力为正5.2扭转的内力—扭矩拇指背离截面的外力偶矩为正用右手螺旋法则

与规定正向内力方向相反的外力取正

固定截面，能产生正向变形的外力取正平面对称弯曲（一般简称平面弯曲）受力特点：

横向外力（载荷和约束力）及力偶可简化到梁的纵向对称面内。变形特点：

梁的轴线在纵向对称面内弯成一条平面曲线。5.3.2梁的内力——切力和弯矩切力和弯矩的符号规定：FsFsMMOO某截面的剪力等于截面一侧横向外力的代数和。某截面的弯矩等于截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和。5.3.2梁的内力——切力和弯矩

与规定正向内力方向相反的外力取正左上、右下外力P为正左顺右逆外力(偶)矩为正PO切力、弯矩的简便计算：FsFsMMPO为所讨论截面的形心O左上、右下错动的外力P为正使所讨论梁段的变形：上凹弯曲的外力（偶）矩为正（梁纵向下拉、上压）（梁段向上弯）假想固定截面考虑截面一侧平衡mmP左上、右下外力P为正左顺右逆的外力(偶)矩为正解：例：求1、2、3、4、5各截面的内力。CBAqm=qa2aaa53214（1）求反力（2）求内力Fs1M1YAqa＋—YA2aqa2qa

＋——YAYBq

O为截面的形心左上右下错动外力为正上凹弯曲外力(偶)矩为正＋解：例：求1、2、3、4、5各截面的内力。CBAqm=qa2aaa53214（1）求反力（2）求内力Fs1M1YAqa＋—YA2aqa2qa

＋——Fs2M2qa—YA＋YBYAYBYA2a＋qa2—qa

—＋＋解：例：求1、2、3、4、5各截面的内力。CBAqm=qa2aaa53214（1）求反力（2）求内力Fs1M1YAqa＋—YA2aqa2qa

＋——Fs2M2qa—YA＋YBYAYBFs1qaM1qa

＋YB0——YA2a＋qa2—qa

—Fs1＋＋解：例：求1、2、3、4、5各截面的内力。CBAqm=qa2aaa53214（1）求反力（2）求内力Fs1M1YAqa＋—YA2aqa2qa

＋——Fs2M2qa—YA＋YBYAYBqaM1qa

＋YB0——M2qa

—Fs2qaYA2a＋qa2—qa

—5.3.3切力图和弯矩图表示切力与弯矩沿梁轴变化的曲线称为切力图、弯矩图。切力图、弯矩图习惯上称为切力方程与弯矩方程。沿梁轴线建立x轴，用

x表示横截面的位置，则各横截面上的切力、弯矩可以表示为坐标的函数：梁横截面上的切力、弯矩随着截面的位置而变化。l在简支梁AB的C点处作用一集中力P，作该梁的Fs、M

图。例5.5abPCABxx1)求约束力2)列切力、弯矩方程3)作Fs、M

图观察：集中力作用点、无载荷作用的梁段切力图、弯矩图的形态AC段：CB段：x(0<x<a)(a

≤x≤l)(a<x<l)(0≤x≤a)解：RARBFsxMx建立坐标轴xx1)求约束力由对称性知：2)列切力、弯矩方程3)作Fs、M图观察：均布载荷作用的梁段切力图、弯矩图的形态，切力为零截面弯矩图的形态。(0<x<l)(0≤x≤l)xFsxMx解：简支梁受均布载荷q的作用，作该梁的Fs、M

图。BqAl例5.6RARB建立坐标轴xxx1)求支约束力2)列切力、弯矩方程AC段：CB段：3)作Fs、

M图观察：集中力偶作用点切力图、弯矩图的形态。x(0<x≤

a)(0≤x<a)(a

≤

x<l)(a

<x≤l)例5.7简支梁AB的C点处作用一集中力偶m，作该梁的Fs、M

图。CabmABlRBRA解：FsxMx建立坐标轴x在集中力P作用点、集中力偶m作用点、分布载荷q

的起止点分段。画切力图、弯矩图的基本方法（1）求约束力，明确其大小和方向。（验证）（2）分段列切力方程、弯矩方程。

（3）描点作图。(二次函数需要多描几个点，尤其要确定极值点)注意：1、原图、切力图、弯矩图三图对应。2、内力图要标清边界值和极值。切力方程不包括集中力的作用点，弯矩方程不包括集中力偶的作用点。即：每段任一截面上的切力、弯矩表达式。分段点x课堂练习2m1mP=4kNABCx1)求约束力2)分段列切力、弯矩方程3)作Fs、M

图AB段：BC段：(0<x<2m)(2m

≤x≤3m)(2m<x<3m

)(0≤x≤2m)解：2kN4kN4kNmRA=2kNRB=6kNxFsxMx5.4载荷集度、切力和弯矩间的微分关系PmqABxdxq(x)规定:1、梁轴线左端为坐标原点，

x轴向右。2、

q向上为正。Fs(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)M(x)dxOFsxMx3、q(x)x5.4.1微分关系一阶导数的几何意义是曲线切线的斜率；1、切力图在某截面处切线的斜率等于梁上对应截面处的载荷集度。2、弯矩图在某截面处切线的斜率等于梁上对应截面处的切力。3、弯矩图开口方向（凹向）与q指向一致。即：二阶导数的几何意义反映的是曲线的开口方向。在集中力作用点，切力图有突变，突变量等于集中力的大小；弯矩值不变。遇↑P,Fs图↑；遇↓P,Fs图↓。（力偶）（弯矩图）（力偶矩）（切力）遇m

，M

图↓.遇m，M

图↑；

图示说明:Fs、M图的突变规律Fsm=10kNmq=1kN/mP1=2kN7kN5kN3m4m4m4mABCDE7kN3kN1kN3kN2kN6kNm6kNm16kNm20.5kNm20kNmxMxP2=2kN从梁的左端向右端分析，1、q=0段，Fs

图水平；M

图斜直线。2、q↓=常数<0，Fs

图为下斜直线；图示说明Fs、M图的规律M

图抛物线，开口向下。Fs=0的截面，M

有极值。P2=2kNFsm=10kNmq=1kN/mP1=2kN7kN5kN3m4m4m4mABCDE7kN3kN1kN3kN2kN6kNm6kNm16kNm20.5kNm20kNmxMx微分关系:MFs

，Fs<0，M\。Fs>0，M/；在集中力作用点，剪力图有突变，突变量等于集中力的大小；弯矩值不变。遇↑P,Fs图↑；遇↓P,Fs图↓。（力偶）（弯矩图）（力偶矩）（剪力）遇m

，M

图↓.遇m，M

图↑；

突变规律Fsm=10kNmq=1kN/mP1=2kN7kN5kN3m4m4m4mABCDE7kN3kN1kN3kN2kN6kNm6kNm16kNm20.5kNm20kNmxMxP2=2kN从梁的左端→右端分析，1、q=0段，Fs

图水平；M

图斜直线。2、q↓=常数<0，Fs

图为下斜直线；M

图抛物线，开口向下。P2=2kNFsm=10kNmq=1kN/mP1=2kN7kN5kN3m4m4m4mABCDE7kN3kN1kN3kN2kN6kNm6kNm16kNm20.5kNm20kNmxMx微分关系:MFs

，Fs<0，M\。Fs>0，M/；Fs=0的截面，M

有极值。步骤及注意事项二、用微分关系直接画Fs、M图（1）求约束力。（校核）（2）讨论切力图、弯矩图的大致形状。（3）求控制截面（每段端点、极值点）的切力、弯矩。

逐段描点、连线。一定要明确约束力的大小和方向！标清边界值和极值！AC段：

Fs

图下斜直线；M图抛物线，开口向下。（2）讨论剪力图、弯矩图的大致形状。用简便方法作图示简支梁的Fs、M图。FsxMx例BqAlm=ql2lC（1）求反力。CB段：Fs

图水平；M图斜直线。（3）求控制截面（每段端点、极值点）的剪力、弯矩。逐段描点、连线。画Fs

图画M图解：用简便方法作图示简支梁的Fs、M图。FsxMx例BqAlm=ql2lC解：FsxMxm=3.6kNmq=10kN/mP=3kN0.6m1.2mABCD0.6m1.8kNm5kN0.5mRA=10kNRB=5kN3kN7kN2.4kNm1.25kNm1.2kNm例m=10kNmP2=2kNq=1kN/mP1=2kN3m4m4m4mABCDExMFQx7kN3kN1kN3kN2kN6kNm6kNm16kNm20.5kNm20kNm7kN5kN例

用简便方法画内力图.1m课堂练习BqAa2aCBAaaCqa2DP=qaaBqAaaCqa2DP=qaa1、2、3、用简便方法作图示梁的Fs、M图。用简便方法作Fs、M图在原图上标明约束力的大小和方向在内力图上标明边界值、极值标明几何尺寸标明极值点的位置便于校核内力图！作业END课堂练习a