湖南省岳阳市龙门镇龙门中学高三数学理模拟试卷含解析

湖南省岳阳市龙门镇龙门中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在上的函数,对任意,都有成立,若函数的图象关于点对称,则=（A）0

（B）2014

（C）3

（D）—2014参考答案：A2.千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，哈三中积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：

年份（届）2014201520162017学科竞赛获省级一等奖及以上学生人数x51495557被清华、北大等世界名校录取的学生人数y10396108107

根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（

）A．111

B．115

C．117

D．123参考答案：C3.N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y0）满足|y0|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（）A．﹣2 B．﹣ C．+ D．+参考答案：A【考点】J3：轨迹方程．【分析】由题意，过M作⊙O切线交⊙O于T，可得∠OMT≥30°．由此可得|OM|≤2．得到动点M运动的区域满足（|y0|≥1）．画出图形，利用扇形面积减去三角形面积求得动点M运动的区域面积．【解答】解：如图，过M作⊙O切线交⊙O于T，根据圆的切线性质，有∠OMT≥∠OMN=30°．反过来，如果∠OMT≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．∴若圆C上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMT≥30°．∵|OT|=1，∴|OM|≤2．即（|y0|≥1）．把y0=1代入，求得A（），B（），∴，∴动点M运动的区域面积为2×（）=．故选：A．4.若变量满足约束条件，则的取值范围是A．[3，+∞)

B．[－8,3]

C．(－∞,9]

D．[－8,9]参考答案：D5.设集合A={x|x2﹣16＞0}，B={x|﹣2＜x≤6}，则A∩B等于（）A．（﹣2，4） B．（4，6] C．（﹣4，6） D．（﹣4，﹣2）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣16＞0}={x|x＜﹣4或x＞4}，B={x|﹣2＜x≤6}，则A∩B={x|4＜x≤6}=（4，6]．故选：B．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，代入棱锥和棱柱的体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，棱锥和棱柱的底面面积均为：S==，高均为h=3，故组合体的体积V=Sh+Sh=4，故选：A7.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y= B．y=x+ C．y=2x+ D．y=x+ex参考答案：D【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．8.已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i，则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点（﹣1，5）在第二象限．故选：B．9.已知正四棱锥P-ABCD的所有顶点都在球O的球面上，，则球O的表面积为（

）A.2π B.4π C.8π D.16π参考答案：C【分析】连结AC，BD，交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD，OP，从而球O的半径r，由此能求出球O的表面积．【详解】解：∵正四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，∴连结AC，BD，交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，OA＝OB＝OC＝OD，OP，∴O是球心，球O的半径r，∴球O表面积为S＝4πr2＝8π．故选：C．【点睛】本题考查正四棱锥的外接球的表面积的求法，考查正四棱锥的结构特征、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.条件甲：a＞b＞0，条件乙：，则甲是乙成立的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．【解答】解：条件乙：，即为?若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立不一定有条件甲：a＞b＞0成立所以甲是乙成立的充分非必要条件故选A．【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先化简两个条件，再利用充要条件的定义进行判断．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解为

。参考答案：或本题考查分式不等式的求解，难度中等.因为，解得.12.已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=．参考答案：【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），由AM的斜率可求出a的值．【解答】解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），则AM的斜率为2，由已知得﹣×2=﹣1，故a=．故答案为：．13.设函数f（x）=，若函数g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2+x2x3+x1x3=．参考答案：3﹣a4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设f（x）=t，根据f（x）的函数图象得出方程f（x）=t的根的个数，从而得出f（x）=1，故而可求出f（x）=1的三个解，得出答案．【解答】解：不妨设a＞1（或0＜a＜1），作出f（x）的函数图象如图所示：设f（x）=t，由图象可知：当t=1时，方程f（x）=t有3解，当t≠1时，方程f（x）=t有2解，∵函数g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点，∴关于t的方程t2+bt+c=0有且只有一解t=1，∴f（x）=1，∴x1，x2，x3是f（x）=1的三个解，不妨设x1＜x2＜x3，则x2=1，令loga|x﹣1|﹣1=1得x=1±a2，∴x1=1﹣a2，x3=1+a2．∴x1x2+x2x3+x1x3=1+a2+1﹣a2+1﹣a4=3﹣a4．故答案为：3﹣a4．14.已知实数x，y满足，则的最小值为_______．参考答案：【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【详解】由，得：或，不等式组表示的平面区域如图所示；，表示平面区域内取一点到原点的距离的平方，即原点到的距离为，原点到的距离为：，所以，的最小值为＝故答案为：【点睛】本题考查线性规划的简单性质，考查目标函数的几何意义，数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，属于基础题．15.已知函数的图像关于垂直于轴的直线对称，则的取值集合是

.参考答案：16.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为

．参考答案：，所以，得离心率。

17.x,y自变量满足当时，则的最大值的变化范围为____参考答案：（1）当x+y=S与y+2x=4有交点时，最大值在两直线交点处取得，最小范围是此时S=3时代入Z=7

(2)当x+y=S与y+2x=4没有交点时最大值在B处取得代入综上范围是三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，已知向量，设.（1）求的最小正周期；（2）在锐角三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求△ABC面积的最大值.参考答案：（1），故的最小正周期；（2）又三角形为锐角三角形，故，，∴，∴.

19.（12分）已知函数f（x）=﹣+lnx﹣2（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求a的值．（2）若对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a成立，试求a的取值范围．参考答案：考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题： 导数的综合应用．分析： （1）求函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线垂直的关系即可求出a的值．（2）根据不等式恒成立，将不等式转化为求函数f（x）的最值，即可求出的取值范围．解答： 解（1）∵f（x）=﹣+lnx﹣2，∴f′（x）=，∴f′（1）=2a+1，又∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直∴2a+1=﹣1

∴a=﹣1．（2）f（x）=﹣+lnx﹣2的定义域为（0，+∞），∵对任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a恒成立∴f（x）min＞2a，f′（x）==，当a≥0时，f′（x）≥0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时x→0时，f（x）→﹣∞不合题意，当a＜0时f（x）在（0，﹣2a）单调递减，在（﹣2a，+∞）单调递增∴f（x）min=f（﹣2a）=ln（﹣2a）﹣1＞2a，令g（x）=lnx+x﹣1则g（x）在（0，+∞）上单调递增且g（1）=0∴﹣2a＞1，综上a＜﹣．点评： 本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数求出函数的最值，综合考查导数的应用．20.(本小题满分14分)设函数(Ⅰ)当时，求函数的最大值；(Ⅱ)令（），其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；(Ⅲ)当，时，方程有唯一实数解，求的值．参考答案：(Ⅰ)依题意，的定义域为，当时，，……2分由，得，解得;由，得，解得或.，在单调递增，在单调递减；所以的极大值为，此即为最大值……4分(Ⅱ)，则有在上有解，

∴≥，

………6分

所以当时，取得最小值……………8分(Ⅲ)因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，……9分设，则，，所以由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，.

……………11分若有唯一实数解，则必有所以当时，方程有唯一实数解.

………14分21.（本小题12分）已知数列的首项，前项和满足,（）．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．参考答案：解（Ⅰ）由得即-------------2分所以数列为等差数列，公差

，

----------------4分

故．----