2024年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年广东省广州市黄埔区中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各数为无理数的是(

)A.3 B.3.14 C.22 2.如图，表示互为相反数的两个点是(

)A.点A与点B B.点A与点D C.点C与点B D.点C与点D3.12位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前6名进入决赛，如果小粉知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，小粉需要知道这12位同学的成绩的

(

)A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差4.下列运算正确的是(

)A.a+b=a+b5.分式方程2x−3=A.x=1 B.x=−1 6.在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AD=5，AC

A.13 B.16 C.18 D.217.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，EA.35

B.36

C.8.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，点D的坐标为(4,3)

A.5 B.6 C.203 D.9.如图，在塔前的平地上选择一点A，由A点看塔顶的仰角是α，在A点和塔之间选择一点B，由B点看塔顶的仰角是β.若测量者的眼睛距离地面的高度为1.5m，AB=9m，α=45°，β=50°，则塔的高度大约为A.55.5

B.54

C.46.5

D.4510.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0，c>1)，经过点(2,0)A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.代数式x+42在实数范围内有意义时，x应满足的条件是12.因式分解：4x3−x13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ADC=60

14.关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x15.如图，▱ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到▱AB′C′D′(点B与点B′是对应点，点C与点C′是对应点，点D与点D′

16.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得△HEF，若延长

三、计算题：本大题共1小题，共4分。17.解方程：x2+6四、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题4分)

如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ADC和∠19.(本小题6分)

已知T=aa2−1−1a+1．

(1)化简20.(本小题6分)

“2023广州黄埔马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”(21.0975公里)进行调查．

(1)调查总人数2050100200500参加“半程马拉松”人数7173158150参加“半程马拉松”频率0.350.340.310.290.30已知共有20000人参与“2023广州黄埔马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为______人；

(2)本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，高中生1名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取221.(本小题8分)

某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．

(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；

(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于22.(本小题10分)

如图，二次函数y=−14(x+a)(x−3a)(a>0)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点E．

(1)尺规作图：作抛物线的对称轴，交x轴于点D，并标记抛物线的顶点C，连接A23.(本小题10分)

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D．

(1)求证：AO平分∠BAC24.(本小题12分)

如图，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4，AE=2，AB=3AD，AG=3AE.矩形AGFE绕着点A旋转，连接BG，CF，AC，AF．25.(本小题12分)

已知二次函数y=ax2+2ax+c图象与x轴交于点A和点B(−3,0)，与y轴交于点C(0,3)．

(1)求点A的坐标；

(2)若点D是直线BC上方的抛物线上的一点，过点D作DE/​/y轴交射线AC于点答案和解析1.【答案】C

【解析】解：3是整数，3.14，237是分数，它们都不是无理数；

22是无限不循环小数，它是无理数；

故选：C．

2.【答案】B

【解析】解：3和−3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．

故选：B．

根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．

本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是03.【答案】B

【解析】解：由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，要判断是否进入前6名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．故应知道中位数的多少．

故选：B．

由题意，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．

本题主要考查统计的有关知识，属于基础题．4.【答案】D

【解析】解：A．a与b不能合并，所以A选项不符合题意；

B.2a×3b=6ab，所以B选项不符合题意；

C.5与3不能合并，所以C选项不符合题意；

D.20−5=5.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论是解题的关键．

将分式方程转化为整式方程，求出x的值，检验即可得出答案．

【解答】

解：2x−3=1x，

方程两边都乘x(x−3)得：2x=x−3，

6.【答案】A

【解析】解：∵▱ABCD的两条对角线交于点0，AC=10，BD=6，AD=5，

∴BO=DO=3，AO=CO=57.【答案】A

【解析】解：∵∠C=90°，AB=10，AC=8，

∴BC=AB2−AC2=102−82=6，

∵ED⊥AB于点D，AD=4，

∴∠ADE=∠C=90°，

∵∠A=∠A8.【答案】C

【解析】解：(1)作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，

∵点D的坐标为(4,3)，

∴FO=4，DF=3，

∴DO=5，

∴AD=5，

∴A点坐标为：(4,8)，

∴xy=4×8=32，

∴k=32；

(2)9.【答案】A

【解析】解：如图：由题意得ED=BF=AG=1.5m，

∵α=45°，CE⊥EG，

∴∠ECG=α=45°，

∴CE=GE，

设CE=GE=x m，10.【答案】B

【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=12，

∴点(2,0)关于直线x=12的对称点的坐标为(−1,0)，

∵c>1，

∴抛物线开口向下，

∴a<0，

∵−b2a=12，

∴b=−a>0，

∴abc<0，故①正确；

∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，

∴顶点在x轴的上方，

∵a<0，

∴抛物线与直线y=a有两个交点，

∴关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根；故②错误；

∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=111.【答案】x≥【解析】解：由题可知，

x+4≥0，

解得x≥−4．

12.【答案】x(【解析】【分析】

本题考查了提公因式法和公式法，掌握a2−b2=(a+b)(a−b)是解题的关键．

先提取公因式x13.【答案】6

【解析】解：∵∠B=30°，∠ADC=60°，

∴∠BAD=∠ADC−∠B=30°，

∴AD=B14.【答案】k≤43【解析】解：由题意知：Δ=b2−4ac=4−4×3(k−1)=16−12k≥0且k−1≠0，

解得：k≤43且k≠1．

则k的取值范围是15.【答案】105°【解析】解：由旋转可知，

AB=AB′，∠BAB′=30°，

∴∠ABB′=∠AB′B=12×(18016.【答案】5【解析】解：如图1，点F与点D重合，此时点M在BC边上，

∵正方形ABCD的边长为2，

∴DA=AB=2，

由折叠得DH=FH=FA=DA=2，

∴DH的最大值为2；

如图2，连接DE，

∵E为AB的中点，

∴HE=AE=BE=12AB=1，

∵∠A=90°，

∴DE=DA2+AE2=22+1217.【答案】解：x2+(x∴x+1∴x1=

【解析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

方程利用因式分解法求出解即可．18.【答案】证明：∵BD平分∠ADC和∠ABC，

∴∠ADC=∠CDB，∠ABD=【解析】利用AAS可得△ABD19.【答案】解：(1)T=aa2−1−1a+1

=a(a+【解析】(1)化成同分母的分式，然后根据加法法则计算即可；

(2)根据反比例函数系数k=xy得到(a−20.【答案】6000

【解析】解：(1)由表格可知，随调查总人数的增加，参加“半程马拉松”频率接近0.30，

∴本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为20000×0.30=6000(人)．

故答案为：6000．

(2)将2名初中生分别记为A，B，1名高中生记为C，1名大学生记为D，

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好录取2名初中生志愿者的结果有：AB，BA，共2种，

∴恰好录取2名初中生志愿者的概率为212=16．

(21.【答案】解：(1)设购进甲种圆规的单价是x元，乙种圆规的单价是y元，

根据题意得：10x+30y=34030x+50y=700，

解得：x=10y=8．

答：购进甲种圆规的单价是10元，乙种圆规的单价是8元；

(2)设这个文具店购进【解析】(1)设购进甲种圆规的单价是x元，乙种圆规的单价是y元，根据“购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设这个文具店购进m个甲种圆规，则购进(100−m)个乙种圆规，利用总利润=每个甲种圆规的销售利润×购进甲种圆规的数量+每个乙种圆规的销售利润×购进甲种圆规的数量，结合总利润不低于480元，可列出关于22.【答案】解：(1)按要求作AB的中垂线即为抛物线的对称轴，再按要求作图如下：

(2)对于y=−14(x+a)(x−3a)，当x=0时，y=34a2=OE，

令y=−14(x+a)(x−3a)=0，

解得：x=−a或3a，

则OA=3a，【解析】(1)按要求作AB的中垂线即为抛物线的对称轴，即可求解；

(2)求出点A、E的坐标，由AO=23.【答案】解：(1)证明：延长AO交BC于H，连接BO，

∵AB=AC，OB=OC，

∴A，O在线段BC的垂直平分线上，

∴AO⊥BC，

又∵AB=AC，

∴AO平分∠BAC．

(2)延长CD交⊙O于E，连接BE，则CE是⊙O的直径，

∵∠EBC=90°，BC⊥BE，

∴∠E=∠BAC，sin∠E【解析】(1)先延长AO交BC于H，连接BO，AB=AC，OB=OC，因此A，O在线段BC的垂直平分线上，则AO⊥BC，又因为AB=AC，所以AO平分∠BAC．

(2)延长CD交⊙O于E，连接BE，则CE是⊙O的直径，∠EBC=90°，BC⊥BE，可知∠E=24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，CD=AB=3AD=43，AD=4，

∴∠ABC=∠BAD=90°，

∴AC=8，

∴∠BAC=30°，ABAC=438=32，

∵AG=3AE=23，AE=FG=2，

∴AF=22+12=4，

∴AGAF=ABAC=32，∠EAF=∠FAG=30°，

∵∠FAG=∠FAC+∠CAG=30°，

∠BAC=∠BAG+∠CAG=30°，

∴∠FAC=∠BAG，

∴△ABG∽△【解析】(1)根据题意，计算出AGAF=ABAC=32，∠EAF=∠FAG=30°，然后求得∠FAC=∠BAG，即可证明△ABG∽△ACF；

(2)①当C，A，E三点共线时，AC+AE=CE，CE的长度最大，由(1)知BC=4，AC=8，AE=2，EF=23，△ABG∽△ACF，可得CF=EF2+CE2=12+100=425.【答案】解：(1)由题意得：c=39a−6a+c=0，

解得：a=−1c=3