山东省临沂市外国语学校2023-2024学年九年级3月学科竞赛数学试题（含答案）

山东省临沂市外国语学校2023-2024学年九年级3月学科竞赛数学试题一.选择题（共10小题，每个3分）1．（3分）在实数1、﹣1、、中，最大的数是（）A．1 B．﹣1 C． D．2．（3分）9的算术平方根是（）A．﹣3 B．±3 C．3 D．3．（3分）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（）A．3×108 B．3×109 C．3×1010 D．3×10114．（3分）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞b B．ab＞0 C．﹣a＞b D．|a|＜|b|5．（3分）下列计算正确的是（）A．m3+m4＝m2+m5 B．m4•m3＝m12 C．m4÷m4＝m D．（m4）2＝m86．（3分）化简÷的结果是（）A．a2 B． C． D．7．（3分）一元二次方程配方后可化为（）A． B． C． D．8．（3分）如图，公园里的方桌旁有4个圆凳，甲、乙、丙、丁4人随机坐到这4个圆凳上，则甲坐在乙对面的概率为（）A． B． C． D．9．（3分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象大致是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，边长为4的正方形OABC放置在平面直角坐标系中，OA在x轴正半轴上，当直线y＝﹣x+b中的系数b从0开始逐渐变大时，直线在正方形上扫过的面积记为S．则S关于b的函数图象是（）A． B． C． D．二.填空题（共6小题，每题3分）11．（3分）计算：﹣＝；＝；＝．12．（3分）要使代数式有意义，则x的取值范围是．13．（3分）一个正多边形的内角和比其外角和的度数大720°，则它的边数是．14．（3分）已知关于x的分式方程无解，则a的值为．15．（3分）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为．16．（3分）利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，点I、点G是矩形ABCD对角线AC上的两点，四边形EBFG和四边形HIJD是两个全等的正方形，观察两图，若矩形ABCD的周长是40，则NQ＝．三.解答题（共6小题）17．（8分）解不等式组，并写出它的所有整数解．18．（12分）化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程：甲同学解：原式＝……乙同学解：原式＝……（1）甲同学解法的依据是；乙同学解法的依据是；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．19．（12分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．（1）求毛笔和宣纸的单价；（2）计划用不多于360元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计200，则学校最多可以购买多少支毛笔？20．（12分）如图，直线OC：y＝3x的图象与反比例函数：的图象交于点C（2，c），四边形OABC是平行四边形，的图象经过线段AB的中点M．（1）求c的值与k的值；（2）求平行四边形OABC的面积；（3）若点P是反比例函数图象上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，使得四边形AMPQ是矩形．若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由．21．（14分）如图，△ABC为等边三角形，D为平面内任意一点（1）如图1，D在BC边上时，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，CE，直接写出BD与CE的数量关系为；直线BD与CE所夹锐角为度．（2）如图2，D为△ABC外一点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，取BC，DE的中点M，N，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变；若变化，请说明理由．（3）如图3，D在BC边上时，将AD绕点A逆时针旋转120°得到AE，G为AB边的中点，连接FG，并证明你的猜想．22．（14分）抛物线y＝x2﹣mx+m+1与y轴交于点A，顶点为D．（1）若抛物线过点B（﹣3，2），求抛物线顶点D和点A坐标；（2）如图，在（1）的条件下，连接AB，求△ABN面积的最大值；（3）已知点P（2m+3，2），Q（1，3+m2），若线段PQ与抛物线恰有一个交点，求m的取值范围．参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，每个3分）1．（3分）在实数1、﹣1、、中，最大的数是（）A．1 B．﹣1 C． D．【解答】解：∵，∴，∴最大的数是，故选：D．2．（3分）9的算术平方根是（）A．﹣3 B．±3 C．3 D．【解答】解：9的算术平方根是3．故选：C．3．（3分）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（）A．3×108 B．3×109 C．3×1010 D．3×1011【解答】解：3000亿＝3000×108＝3×1011，故选：D．4．（3分）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞b B．ab＞0 C．﹣a＞b D．|a|＜|b|【解答】解：由有理数a、b在数轴上的位置可得，b＞0，∴a＜b，ab＜0，因此A，B、D不符合题意，故选：C．5．（3分）下列计算正确的是（）A．m3+m4＝m2+m5 B．m4•m3＝m12 C．m4÷m4＝m D．（m4）2＝m8【解答】解：A、m3+m4＝m3+m3，故A不符合题意；B、m4•m4＝m7，故B不符合题意；C、m4÷m2＝1，故C不符合题意；D、（m4）7＝m8，故D符合题意；故选：D．6．（3分）化简÷的结果是（）A．a2 B． C． D．【解答】解：原式＝•＝，故选：D．7．（3分）一元二次方程配方后可化为（）A． B． C． D．【解答】解：，移项得：，配方得：，即：，故选：C．8．（3分）如图，公园里的方桌旁有4个圆凳，甲、乙、丙、丁4人随机坐到这4个圆凳上，则甲坐在乙对面的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，设甲坐在圆凳④上、②、③，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲坐在乙对面的结果有2种，∴甲坐在乙对面的概率为＝，故选：C．9．（3分）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：当a＞0时，直线经过第一、三，双曲线经过第一，故C错误；当a＜0时，直线经过第一、二，双曲线经过第二，故A；故选：B．10．（3分）如图，边长为4的正方形OABC放置在平面直角坐标系中，OA在x轴正半轴上，当直线y＝﹣x+b中的系数b从0开始逐渐变大时，直线在正方形上扫过的面积记为S．则S关于b的函数图象是（）A． B． C． D．【解答】解：①当0≤b≤4，S＝2；它的函数图象为抛物线的一部分，开口向上；②当6≤b＜8，S＝16﹣2＝﹣（b﹣8）2+16，它的函数图象为抛物线的一部分，开口向下；③当b≥7，S＝16；它的函数图象为射线；所以B选项正确．故选：B．二.填空题（共6小题，每题3分）11．（3分）计算：﹣＝；＝2；＝6．【解答】解：﹣＝2﹣＝；÷＝＝2；（2+）（2﹣．故答案为：，2，6．12．（3分）要使代数式有意义，则x的取值范围是x≥1且x≠2．【解答】解：由题意得，2x﹣2≥2且x﹣2≠0，解得x≥7且x≠2．故答案为：x≥1且x≠2．13．（3分）一个正多边形的内角和比其外角和的度数大720°，则它的边数是8．【解答】解：设这个多边形是n边形．则180°•（n﹣2）＝720°+360°，解得n＝8，故答案为：8．14．（3分）已知关于x的分式方程无解，则a的值为5或．【解答】解：，去分母得：x﹣6﹣（a﹣x）（2x+3）＝（4x+3）（x﹣5），（11﹣7a）x＝（3a﹣10），当11﹣2a＝7，即a＝时，分式方程也无解；当11﹣2a≠5，即a≠时，但是x＝＝﹣，当x＝＝5时，当x＝＝﹣．∴a＝3或a＝时分式方程无解．故答案为：5或．15．（3分）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为63．【解答】解：第①个图形有3颗棋子，即3＝6，第②个图形一共有9颗棋子，即9＝7+6，第③个图形一共有18颗棋子，即18＝3+4+9…，∴第⑥个图形中棋子的颗数为：3+6+9+12+15+18＝3×（6+2+3+2+5+6）＝63（颗），故答案为：63．16．（3分）利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，点I、点G是矩形ABCD对角线AC上的两点，四边形EBFG和四边形HIJD是两个全等的正方形，观察两图，若矩形ABCD的周长是40，则NQ＝4.4．【解答】解：∵矩形ABCD的周长是40，面积是88，∴2（AB+BC）＝40，AB•BC＝88，∴AB+BC＝20，由图2得：MN＝AB+BC＝20，∴MN•NQ＝88，解得：NQ＝4.4．故答案为：4.4．三.解答题（共6小题）17．（8分）解不等式组，并写出它的所有整数解．【解答】解：，解不等式①，得x≥﹣8；解不等式②，得x＜，∴这个不等式组的解集是﹣7≤x＜，∴这个不等式组的整数解是﹣1、0、1．18．（12分）化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程：甲同学解：原式＝……乙同学解：原式＝……（1）甲同学解法的依据是②；乙同学解法的依据是③；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．【解答】解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，故答案为：②；③；（2）若选择甲同学的解法：若选择甲同学的解法：＝[＝＝2x；若选择乙同学的解法：＝＝＝x﹣7+x+1＝2x．19．（12分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．（1）求毛笔和宣纸的单价；（2）计划用不多于360元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计200，则学校最多可以购买多少支毛笔？【解答】解：（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，依题意得：，解得：，答：毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元；（2）设可以购买m支毛笔，则购买宣纸的数量为（200﹣m）张，根据题意可得：6m+0.6（200﹣m）≤360，解得：m≤50，答：学校最多可以购买50支毛笔．20．（12分）如图，直线OC：y＝3x的图象与反比例函数：的图象交于点C（2，c），四边形OABC是平行四边形，的图象经过线段AB的中点M．（1）求c的值与k的值；（2）求平行四边形OABC的面积；（3）若点P是反比例函数图象上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，使得四边形AMPQ是矩形．若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由．【解答】解：（1）当x＝2时，y＝3x＝8＝c，即点C（2，6），将点C的坐标代入反比例函数表达式得：k＝5×6＝12，即c＝6，k＝12；（2）由（1）知，反比例函数的表达式为：y＝，设点A（m，8），6），则点M的坐标为：（m+1，7），将点M的坐标代入反比例函数表达式得：3（m+1）＝12，解得：m＝4，即点M（4，3），6），则四边形OABC的面积＝OA×yB＝3×6＝18；（3）存在，理由：设点P（s，t），过点M作GH∥x轴，交故点A和y轴的平行线于点G，则△AGM、△MPH为直角三角形，∵AMPQ是矩形，则∠AMP＝90°，∵∠GMA+∠HMP＝90°，∠GMA+∠GAM＝90°，∴∠GAM＝∠HMP，∴tan∠GAM＝tan∠HMP，即∵GM＝8﹣3＝1，AG＝6，PH＝3﹣t，则②，联立①②并解得：，即点P的坐标为：（4，2）（舍去）或（9，）．21．（14分）如图，△ABC为等边三角形，D为平面内任意一点（1）如图1，D在BC边上时，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，CE，直接写出BD与CE的数量关系为BD＝CE；直线BD与CE所夹锐角为60度．（2）如图2，D为△ABC外一点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，取BC，DE的中点M，N，试问：的值是否随图形的旋转而变化？若不变；若变化，请说明理由．（3）如图3，D在BC边上时，将AD绕点A逆时针旋转120°得到AE，G为AB边的中点，连接FG，并证明你的猜想．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝60°＝∠BAC，∵将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝60°，BD＝CE，∴∠BCE＝120°，∴直线BD与CE所夹锐角为60°，故答案为：BD＝CE，60；（2）的值不发生变化如图2中，连接AM，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，DN＝NE，∴AM⊥BC，AN⊥DE，∴，＝sin60°，∴，∠BAD＝∠MAN，∴△BAD∽△MAN，∴＝sin60°＝；（3）FG∥AE，FG＝，理由如下：如图8，延长EA至H，连接CH，∵将AD绕点A逆时针旋转120°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝120°，∴∠DAH＝60°，又∵AH＝AD，∴△ADH是等边三角形，∴∠AHD＝∠ADH＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠AHD＝∠ABC，∴点A，点D，点H四点共圆，∴∠ABH＝∠ADH＝60°，∴∠ABH＝∠BAC，∴AF∥BH，∴＝1，∴EF＝BF，又∵G为AB边的中点，∴GF∥AE，FG＝．22．（14分）抛物线y＝x2﹣mx+m+1与y轴交于点A，顶点为D．（1）若抛物线过点B（﹣3，2），