2025版高考数学一轮总复习知识梳理第1章集合常用逻辑用语不等式第2讲常用逻辑用语

第二讲常用逻辑用语知识梳理知识点一充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp知识点二全称量词与存在量词1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．全称量词命题与存在量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．3．全称量词命题和存在量词命题的否定量词命题量词命题的否定结论∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题归纳拓展1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．4．对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定．5．命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(×)(2)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题．(×)(3)若命题p：∀x∈R，eq\f(1,x－2)<0，则綈p：∃x∈R，eq\f(1,x－2)≥0.(×)(4)“α＝β”是“tanα＝tanβ”的充分不必要条件．(×)(5)在△ABC中，A>B是sinA>sinB的充要条件．(√)[解析](4)当α＝β＝eq\f(π,2)时，tanα、tanβ都无意义．因此不能推出tanα＝tanβ，当tanα＝tanβ时，α＝β＋kπ，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．(5)在△ABC中，由A>B，则a>b，由正弦定理sinA>sinB，反之也成立．题组二走进教材2．(多选题)(必修1P28练习T1改编)下列命题是全称量词命题且为真命题的是(AC)A．∀x∈Z，－x2－1<0B．∃m∈Z，nm＝mC．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D．存在实数x，使得eq\f(1,x2－2x＋3)＝eq\f(3,4)[解析]∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A选项是全称量词命题且为真命题；当m＝0时，nm＝m恒成立，故B选项是存在量词命题且为真命题；任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是全称量词命题且为真命题；因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以eq\f(1,x2－2x＋3)≤eq\f(1,2)<eq\f(3,4)，故D选项是存在量词命题且为假命题．3．(必修1P22习题T2改编)“a>b”是“ac2>bc2”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>bac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．4．(必修1P23T5改编)使－2<x<2成立的一个充分条件是(B)A．x<2 B．0<x<2C．－2≤x≤2 D．x>0题组三走向高考5．(2023·天津，2,5分)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件[解析]由a2＝b2得|a|＝|b|；由a2＋b2＝2ab，得(a－b)2＝0，∴a＝b.a＝b⇒|a|＝|b|，而由|a|＝|b|不能推出a＝b.∴“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件，故选B.6．(2023·全国甲理，7,5分)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，则(B)A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[解析]充分性：当sin2α＋sin2β＝1时，sin2α＝1－sin2β，即sin2α＝cos2β，∴sinα＝±cosβ，即sinα＋cosβ＝0或sinα－cosβ＝0，所以充分性不成立；必要性：当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＝cos2β，∴sin2α＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以必要性成立．∴甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选B.7．(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈