2025版高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第9讲函数模型及其应用

第九讲函数模型及其应用知识梳理知识点函数模型及其应用1．几类常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：归纳拓展1．函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0，x>0)在区间(0，eq\r(a)]内单调递减，在区间[eq\r(a)，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数增长、指数爆炸．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)(2)幂函数增长比直线增长更快．(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．(√)(4)不存在x0，使ax0<xeq\o\al(a,0)<logax0.(×)[解析](1)当x＝－1时，2－1<(－1)2.(2)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(3)对于在(0，＋∞)上的三个增函数来言，指数函数增长最快，其次是幂函数和对数函数．(4)当a∈(0,1)时存在x0，使ax0<xeq\o\al(a,0)<logax0.题组二走进教材2．(必修1P140T6改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(D)A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P156T14改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是(D)A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x[解析]根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.4．(必修1P161T8改编)2022年北京冬奥会上谷爱凌的表现让国人自豪，她夺得冠军的其中一个项是女子U形场地技巧赛．比赛是在一个形状类似于U形的槽子里进行．运动员一般需要在U形槽内做5到6个动作，得分根据动作的腾空高度、转体角、动作的流畅性及美观性来判定．U形槽的结构由宽阔平坦的底部和两侧的凹面斜坡(四分之一的圆管)组成．宽阔的底部是为了使运动员重新获得平衡并为下一个动作做准备．根据下图数据可得U形槽两侧圆管的半径所在平面与地面的夹角及底部的宽度(米)分别为(C)A．18°，6.7 B．18°，10.05C．72°，6.7 D．72°，10.05[解析]根据U形槽的结构特征即可求解．由题意，因为U形槽两侧圆管的半径所在平面与斜坡面垂直，而斜坡面与地面夹角为18°，所以U形槽两侧圆管的半径所在平面与地面的夹角为90°－18°＝72°，底部的宽度为20.1－6.7×2＝6.7(米)，故选C.题组三走向高考5．(多选题)(2023·新课标Ⅰ，10,5分)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(ACD)A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100P0 D．p1≤100p2[解析]对于C，由题意知20×lgeq\f(p3,p0)＝40，即lgeq\f(p3,p0)＝2，所以p3＝100p0，故C正确；对于A，由题意知Lp1≥Lp2，所以20×lgeq\f(p1,p0)≥20×lgeq\f(p2,p0)，所以p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2＝20×lgeq\f(p2,p0)∈[50,60]，所以eq\f(5,2)≤lgeq\f(p2,p0)≤3，所以p2∈[10eq\f(5,2)P0,103P0]，即p2≤103p0＝10p3，故B错误；对于D，Lp1＝20×lgeq\f(p1,p0)∈[60,90]，所以3≤lgeq\f(p1,p0)≤eq\f(9,2)，所以p1∈[103p0,10eq\f(9,2)p0]，因为100p2∈[10eq\f(9,2)p0,105P0]，所以p1≤100p2，故D正确，故选ACD.6．(2022·北京高考卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是(D)A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态[解析]对于A选项，当T＝220，P＝1026，即lgP＝lg1026>lg103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当T＝270，P＝128，即lgP＝lg128∈(lg102，lg103)，即lgP∈(2,3)时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选