2025版高考数学一轮总复习知识梳理第5章平面向量与复数第3讲平面向量的数量积

第三讲平面向量的数量积知识梳理知识点一向量的夹角两个非零向量a与b，过O点作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，范围是[0，π].a与b的夹角为eq\f(π,2)时，则a与b垂直，记作a⊥b.知识点二平面向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.2．几何意义：设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量，即eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.知识点三平面向量数量积的性质及其坐标表示1．设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22).(4)夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).(5)已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0；a∥b⇔a·b＝±|a||b|(或|a·b|＝|a|·|b|)．(6)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)).2．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．归纳拓展1．两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0而0·a＝0.2．数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．3．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.4．两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0，且a与b不共线．当a、b为非零向量时a、b同向⇔a·b＝|a||b|；a、b反向⇔a·b＝－|a||b|.5．投影向量的表示：(1)a在b上的投影向量为eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).(2)a在b上的投影向量的模为eq\f(|a·b|,|b|).双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在等边三角形ABC中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为60°.(×)(2)a·b>0，则a与b的夹角为锐角；a·b<0，则a与b的夹角为钝角．(×)(3)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(×)(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(×)(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)题组二走进教材2．(必修2P36T2改编)向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(A)A．6 B．5C．1 D．－6[解析]由题意知2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故选A.3．(必修2P20T3改编)已知|a|＝5，|b|＝eq\r(2)，a·b＝5，则a与b的夹角θ等于(A)A．45° B．135°C．－45° D．30°[解析]由题意知cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(5,5×\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又θ∈[0°，180°]，所以θ＝45°.4．(必修2P36T3改编)已知向量|a|＝2，|b|＝1，|a＋b|＝eq\r(3)，则|a－b|＝(C)A.eq\r(5) B．eq\r(6)C．eq\r(7) D．2eq\r(2)[解析]利用平面向量的模的运算求解．因为向量|a|＝2，|b|＝1，|a＋b|＝eq\r(3)，所以a2＋b2＋2a·b＝3，解得a·b＝－1，所以|a－b|＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝eq\r(7)，故选C.5．(必修2P24T2改编)在圆O中，长度为eq\r(2)的弦AB不经过圆心，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值为1.[解析]设向量eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))的夹角为θ，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AO,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|·cosθ＝|eq\o(AO,\s\up6(→))|cosθ·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝1.题组三走向高考6．(2023·全国乙文，6,5分)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝(B)A.eq\r(5) B．3C．2eq\r(5) D．5[解析]解法一：由题意知，eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BC,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\o(BC,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝22－eq\f(1,4)×22＝3.故选B.解法二：以D为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则E(1,2)，C(2,0)，D(0,0)，∴eq\o(EC,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(ED,\s\up6(→))＝(－1，－2)，∴eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))＝1×(－1)＋(－2)×(－2)＝3.故选B.7．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，|a－2b|＝3，则a·b＝(C)A．－2 B．－1C．1 D．2[解析]由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，所以a·b＝1，故选C.8．(2021·全国乙，14,5分)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝eq\f(3,5).[解析]根据(a－λb)⊥b得(a－λb)·b＝0，再转化为坐标运算，得到关于λ的方程求解即可．解法