一元二次方程根的分布讲课

关于一元二次方程根的分布讲课

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数零点的定义：等价关系一、复习第2页,共34页，2024年2月25日，星期天结论xy0ab..零点存在定理(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线：(2)f(a)·f(b)<0函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点；第3页,共34页，2024年2月25日，星期天知识系统第4页,共34页，2024年2月25日，星期天例1：x2+（m-3)x+m=0求m的范围（1）两个正根一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均为正根（负根）yx1x2ox第5页,共34页，2024年2月25日，星期天例：x2+（m-3)x+m=0求m的范围

（2）有两个负根第6页,共34页，2024年2月25日，星期天2.一元二次方程ax2+bx+c=0一根为正,另一根为负x1x2yoxx1x2yox或af（0）

第7页,共34页，2024年2月25日，星期天问题的引入：1、若关于x的方程的两个根都大于1，则实数的取值范围是

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2、关于x的方程的两个根均大于-2小于4，求实数的取值范围.第8页,共34页，2024年2月25日，星期天问题的解决：例1、若关于x的方程的两个根都大于1，则实数的取值范围是

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分析（1）方程有根，与有关.仅仅靠韦达定理是不够的.(2)方程有什么样的根，可以结合对应的二次函数图象,数形结合解决.此时与有有关，及有关.判别式端点的函数值对称轴

如图，函数的图象决定着：（1）最小值的正负，与判别式有关;（2）对称轴；（3）函数值的正负.第9页,共34页，2024年2月25日，星期天问题的解决：例1、若关于x的方程的两个根都大于1，则实数的取值范围是

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解：令，则

第10页,共34页，2024年2月25日，星期天问题的解决：

例2、关于x的方程的两个根均大于-2小于4，求实数m

的取值范围.

解：令，则

所以,实数m的取值范围是.第11页,共34页，2024年2月25日，星期天问题的解决：其实,有那么复杂吗?

例2、关于x的方程的两个根均大于-2小于4，求实数m

的取值范围.

另解:原方程的两个根分别为而，

所以，由此可得.

所以,实数m的取值范围是.第12页,共34页，2024年2月25日，星期天问题的启示：学会具体问题具体分析.

对于这道题而言,后一种办法比较简单,但是要会前一种通法.

例如,关于x的方程在区间上有两个不同的解,求实数的取值范围.

用后一种方法解答比较困难.

两种方法都要会,我们提倡具体问题具体分析,哪一种解法简单就用哪一种.

第13页,共34页，2024年2月25日，星期天问题的根源：方程根的分布问题，与对应的二次函数图象有关.（1）

函数的性质决定函数的图象,函数的图象反映函数的性质.（2）方程有根，与判别式有关.对应的二次函数图象与轴有交点.（3）方程有什么样的根，与端点的函数值有关，与二次函数图象的对称轴有关.仅仅靠韦达定理是不够的.

注:抛物线就象一根电线,函数值（包括最小值）就象铆钉一样,决定着它的走向.

第14页,共34页，2024年2月25日，星期天结论：我们从上面的例子总结一下解决这类问 题的步骤：1.根据题意大致画出对应的二次函数的图象。2.列出不等式组(一般重点考虑下面四个方面)①判别式△②对称轴③端点④开口方向3.解不等式组，得出结论。思路说明第15页,共34页，2024年2月25日，星期天第16页,共34页，2024年2月25日，星期天考虑：a>0的一元二次方程，当二次项系数小于0时，先化为正。强调：把一元二次方程化为标准形式：

ax2+bx+c=0(a>0)第17页,共34页，2024年2月25日，星期天一、若关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个根都小于m，求a,b,c满足的条件。1类型一：第18页,共34页，2024年2月25日，星期天二、若关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的一个根大于m,另一个根小m,求a,b,c满足的条件。类型二：第19页,共34页，2024年2月25日，星期天例3、若关于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于1，另一根大于1，试求实数k

的取值范围。1第20页,共34页，2024年2月25日，星期天例1、若关于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于1，另一根大于1，试求实数k

的取值范围。1第21页,共34页，2024年2月25日，星期天三、若关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的一个根在(m,n)，另一根在(p,q)，求a,b,c满足的条件。1类型三：第22页,共34页，2024年2月25日，星期天例4、若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3，试求实数a

的取值范围。1第23页,共34页，2024年2月25日，星期天四、若关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)有且仅有一个根在(m,n)，求a,b,c满足的条件。类型四：第24页,共34页，2024年2月25日，星期天五、若关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个根都在(m，n)内,求a,b,c满足的条件。1类型五：第25页,共34页，2024年2月25日，星期天例4、已知关于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上有两个根，求m的取值范围。1第26页,共34页，2024年2月25日，星期天一元二次方程根的分布（一）与0比较（1）有两正根（2）有两负根（3）一正一负（二）与k比较（1）有两个大于k的根（2）有两个小于k的根（3）一个大于k，一个小于k（4）有一个根在区间(k1,k2)内（5）区间(k1,k2)内有两个根第27页,共34页，2024年2月25日，星期天一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布两个正根两个负根一正根一负根一根为零一正一负，且负的绝对值大

C＝0

考虑：①判别式∆、②两根之和、③两根之积第28页,共34页，2024年2月25日，星期天一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布两个根都小于k两个根都大于k一个根小于k,一个根大于k

yxkoyxkoyxkof(k)<0考虑：①判别式∆、②开口方向、③对称轴、④端点值的正负第29页,共34页，2024年2月25日，星期天一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布两个根都在（k1,k2)内两个根有且仅有一个在(k1,k2)内x1<k1<

k2<x2

yxk2ok1yxk2ok1yxk2ok1考