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文档简介
第一章质点运动学
1」一质点沿直线运动,运动方程为x(,)=6/2-2『.试求:
(1)第2s内的位移和平均速度;
(2)1s末及2s末的瞬时速度,第2s内的路程;
(3)1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度.
[解答](1)质点在第1s末的位移大小为
x(l)=6Xl2-2Xl3=4(m).
在第2s末的位移大小为
x(2)=6X22-2X23=8(m).
在第2s内的位移大小为
△x=x(2)-x(l)=4(m),
经过的时间为A/=ls,所以平均速度大小为
v=Ax/A/=4(m-s'').
(2)质点的瞬时速度大小为
v(/)=dx/d/=12r-6Z2,
因此项)=12X1-6X12=6(m・5),
v(2)=12X2-6X22=0,
质点在第2s内的路程等于其位移的大小,即As=Ax=4m.
(3)质点的瞬时加速度大小为
a(t)=dv/dt=12-12/,
因此Is末的瞬时加速度为
41)=12-12X1=0,
第2s内的平均加速度为
a=[v(2)-v(l)]/A/=[0-6]/1=-6(m-s2).
[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒.
1.2一质点作匀加速直线运动,在f=10s内走过路程s=30m,而其速度增为n=5倍.试证加速度为
2(〃-1)5
Q=T5+1)/2.
并由上述数据求出量值.
[证明]依题意得vt=nvo,
根据速度公式匕=%+at,得
a=(n-l)v0/r,(1)
根据速度与位移的关系式匕2=Vo+2as,得
4=-1)*/2s,(2)
(1)平方之后除以(2)式证得
2(〃一l)s
(7=
(〃+1)/.
计算得加速度为
2(5-1)30
(5+l)102=o,4(m-s2).
1.3一人乘摩托车跳越一个大矿坑,他以与水平成22.5。的夹角的初速度65m•『从西边起跳,准确地落在坑
的东边.已知东边比西边低70m,忽略空气阻力,且取g=10m§2.问:
(1)矿坑有多宽?他飞越的时间多长?
(2)他、在东边落地时的速度?速度与水平面的夹角?
[解答]:70m方法一:分步法•(1)夹角用6表示,人和车(他)在竖直方
向首先做竖:-----------------\一直上抛运动,初速度的大小为
Vyo图1.3=v()sin(9=24.87(m-s-I).
取向上的方向为正,根据匀变速直线运动的速度公式
V/-vo=at,
这里的功就是a=-g;当他达到最高点时,v,=0,所以上升到最高点的时间为
t\=-Mg=2.49(s).
再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式
v,2-VQ2=2as,
可得上升的最大高度为
h\=v^Hg=30.94(m).
他从最高点开始再做自由落体运动,下落的高度为
。2=+/?=100.94(m).
根据自由落体运动公式5=8力2,得下落的时间为
Vg=4.49(s).
因此他飞越的时间为
t=t\+.=6.98(s).
他飞越的水平速度为
匕o=vocos^=60.05(m-s'1),
所以矿坑的宽度为
x=匕M=419.19(m).
(2)根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为
-1
vv=gt=69.8(m-s),
落地速度为
22121
v=(vv+v^)=92.08(m,s-),
与水平方向的夹角为
(p=arctan(匕A\)=49.30°,
方向斜向下.
方法二:一步法.取向上的方向为正,他在竖直方向的位移为、=匕/送/2/2,移项得时间的一元二次
方程
1
—gt?-%sin仍+y=0
解得
2
t=(%sin6±sin6>-2gy)g
这里y=-70m,根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小,由于时间应该取正值,所以公式取正根,计
算时间为
t=6.98(s).
由此可以求解其他问题.
1.4一个正在沿直线行驶的汽船,关闭发动机后,由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比
例的加速度,即dv/dL-小,。为常数.
(1)试证在关闭发动机后,船在,时刻的速度大小为u%
x=—ln(v0^/+l)
(2)试证在时间,内,船行驶的距离为k.
dv
=—kdt
[证明]⑴分离变量得丫2
积分
可得
(2)公式可化为1+%灯,
由于u=dr/df,所以
dr=———d/=--------d(l+v(]kt)
1+vQktk(l+v°kt)
S而岛di.
积分
x=—ln(vnA:/+l)
因此k证毕.
[讨论]当力是速度的函数时,即/=人口,根据牛顿第二定律得/=掰。.
山于a=d2x/d/2,
而dx/dt=v,
所以a=dv/d/,
分离变量得方程
/(v),
解方程即可求解.
在本题中,人已经包括了质点的质量.如果阻力与速度反向、大小与船速的〃次方成正比,则
dv/dZ=-h".
(1)如果〃=1,则得
积分得
Inv=-kt+C.
当f=0时,v=vo»所以C=lnv(),因此
lnv/vo=-k3
得速度为
v=v()ekt.
而dv=y()e"df,积分得
x=&*+c、
—k.
当f=0时,x=0,所以C'=v()/h因此
—=一kdt
(2)如果〃W1,则得n",积分得
尸
—=-kt+C
1-M.
工C
当,=0时,v=v(),所以1一〃,因此
11,~
F=F+("TW
V%
如果〃=2,就是本题的结果.
如果〃¥2,可得
{口+(〃_1)%”尸(“-1)_1}
*=(”-2用4,
读者不妨自证.
1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动,其角位置(以弧度表示)可用公式表示:6=2+4户.求:
(1)f=2s时,它的法向加速度和切向加速度;
(2)当切向加速度恰为总加速度大小的一半时;。为何值?
(3)在哪一时刻,切向加速度和法向加速度恰有相等的值?
[解答](1)角速度为
co=dO/dt=12?=48(rad-sd),
法向加速度为
22
an=ra=230.4(m-s-);
角加速度为
^=d<w/d/=24/=48(rad-s-2),
切向加速度为
2
at=^9=4.8(m-s-).
(2)总加速度为a=(1+4)巴
当4=a12时,有4a,=a:+a/,即
a“=a小.
由此得―苏=厂夕百,
即(⑵2)2=24/6,
解得P=G/6.
所以
6=2+4/=2(l+G/3)=3154(rad).
(3)当为时,可得邛=32,
即24/=(12/)2,
解得/=(1/6)1/3=0.55(S).
1.6-飞机在铅直面内飞行,某时刻飞机的速度为v=300m-sl方向与水平线夹角为30。而斜向下,止匕后
飞机的加速度为。=200mT,方向与水平前进方向夹角为30。而斜向上,问多长时间后,飞机又回到原
来的高度?在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少?
[解答]建立水平和垂直坐标系,飞机的初速度的大小为
Vftr=V0COS3,
v0>,=vosin0.
加速度的大小为
ax=acosa,
av=t/sina.
运动方程为
12
%=小+铲'/
12
y=_%./+54/
i,
.1x-v0cosdt+—acosa-t
y=-v0sin。♦/+gasina/
令y=0,解得飞机回到原来高度时的时间为
t=0(舍去);asina(s)
将f代入x的方程求得x=9000m.
[注意]选择不同的坐标系,例如x方向沿着。的方向或者沿着%的方向,也能求出相同的结果.
1.7一个半径为H=1.0m的轻圆盘,可以绕一水平轴自由转动.一根轻绳绕在盘子的边缘,其自由端拴一
物体4在重力作用下,物体N从静止开始匀加速地下降,Ar=2.0s内下降的距离〃
=0.4m.求物体开始下降后3s末,圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度.
[解答]圆盘边缘的切向加速度大小等于物体Z下落加速度.
1,
h--aAt~
由于2所以
a,=2/?/Az2=0.2(m-s).
物体下降3s末的速度为
图1.7-1
v=att=0.6(ms),
这也是边缘的线速度,因此法向加速度为
R=0.36(m-s-2).
1.8-升降机以加速度1.22m62上升,当上升速度为2.44m-sT时,有一螺帽自升降机的天花板上松落,天
花板与升降机的底面相距2.74m.计算:
(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间;
(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.
[解答]在螺帽从天花板落到底面时,升降机上升的高度为
,12
%=%£+/
螺帽做竖直上抛运动,位移为
,12
由题意得〃=〃|-力2,所以
0=;(a+g)/
乙9
解得时间为
/=j2"/(a+g)=0705(S).
算得〃2=-0.716m,即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m.
[注意]以升降机为参考系,钉子下落忖相对加速度为a+g,而初速度为零,可列方程
〃=(“+g),/2,
由此可计算钉子落下的时间,进而计算下降距离.
1.9有一架飞机从A处向东飞到B处,然后又向西飞回到A处.已知气流相对于地面的速度为u,AB之间
的距离为/,飞机相对于空气的速率v保持不变.
21
t0=——
(1)如果〃=0(空气静止),试证来回飞行的时间为v;
t=________
(2)如果气流的速度向东,证明来回飞行的总时间为'l-w2/v2;
‘2-「%,
(3)如果气流的速度向北,证明来回飞行的总时间为2Vl-w2/v2.
[证明](1)飞机飞行来回的速率为v,路程为2/,所以飞行时间为/o=2〃v.
(2)飞机向东飞行顺风的速率为v+〃,向西飞行逆风的速率为所以飞行时间为
II2vl
21/v_r0
1-M2/V21-W2/V2.
(3)飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度.为了使飞机沿着
ZB之间的直线飞行,------就要使其相对地的速度偏向北方,可作矢量三角形,其中沿
A—>vB
V=^v2-u-,所以飞行时间为
45方向的速度大小为v+ZJ泳
%…-B
t_21__2/_2//丫/((
可〃-/yjv2-U2Vl-M2/V2Ji"”.证毕.
1.10如图所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速度为V,.下落雨的速度方向与铅直
方向的夹角为偏向于汽车前进方向,速度为也.今在车后放一长方形物体,问车速环为多大时此物体
刚好不会被雨水淋湿?
[解答]雨对地的速度凡等于雨对车的速度%加车对地的速度G,由此
可作矢量三角形.根据题意得tana=①.
方法一:利1用直角三角形.根据直角三角形得
V1=v2sin^+v^sina,
图1/0限
其中V3Vx/cosa,而刃,=y2cos仇
也
因此V]=V2sin^+也cosOsina/cosa,
v}=v(sin^+—cos^)
2h.证毕.
方法二:利用正弦定理.根据正弦定理可得
K二玲
sin(。+a)sin(900-a),
所以
sin(8+a)
v=匕---------
icosa
sin0cosa+cos0sina
=V2----------------------------------
cosa
=v2(sin0+cos。tana)
W=v2(sin^+—cos^)
即h
方法三:利用位移关系.将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量,在/时间内,雨滴的位移为
Z=(vi-也sin。),,
h=V2COS07.
两式消去时间/即得所求.证毕.
第3章狭义相对论
3.1地球虽有自转,但仍可看成一较好的惯
性参考系,设在地球赤道和地球某一极(例
如南极)上分别放置两个性质完全相同的钟,
且这两只钟从地球诞生的那一天便存在.如
果地球从形成到现在是50亿年,请问那两只
钟指示的时间差是多少?
[解答]地球的半径约为
A=6400千米=6.4xl06(m),
自转一圈的时间是
T=24x60x60(s)=8.64x10%),
赤道上钟的线速度为
v=2nR/T=4.652xl012(m-s-1).
将地球看成•个良好的参考系,在南极
上看赤道上的钟做匀速直线运动,在赤道上
看南极的钟做反向的匀速直线运动.
南极和赤道上的钟分别用/和8表示,
南极参考系取为S,赤道参考系取为S'.A
钟指示S系中的本征时;同时指示了B钟的
运动时间,因此又指示S,系的运动时.同理,
B钟指示S'系中的本征时,同时指示了A钟
的反向运动时间,因此又指示S系的运动时.
方法一:以S系为准.在S系中,/钟
指示B钟的运动时间,即运动时
Ar=50xl08x365x24x60x60=1.5768xl016(s).
B钟在S,中的位置不变的,指示着本征时
A/1.A钟的运动时M和B钟的本征时△八之
间的关系为
可求得8钟的本征时为
△/'=A/Jl-(v/c)2«[1--(-)2
2c
因此时间差为
1v
A/-A/
2c=1.898x1()5⑸.
在南极上看,赤道上的钟变慢了.
方法二:以S'系为准.在S,系中,B钟
指示N钟的反向运动时间,即运动时
Af=50xl08x365x24x60x60=1.5768xl0l6(s).
A钟在S中的位置不变的,指示着本征时
ArB钟的运动时和A钟的本征时Z之
间的关系为
△t
J1-(WC)2
可求得/钟的本征时为
A/=AzJl-(v/c)2a[l--(-)2]A/'
2c
因此时间差为
1v0
2c=1.898X105(S).
在赤道上看,南极上的钟变慢了.
[注意]解此题时,先要确定参考系,还
要确定运动时和本征时,才能正确引用公式.
有人直接应用公式计算时间差
A
A/-△/'=i=-A/'
Ji-3/。)?
1V1v
«[l+-(-)20]A/'-A/'=-(-)02A/'
2c2c,
由于地球速度远小于光速,所以计算结果差
不多,但是关系没有搞清.从公式可知:此
人以S系为准来对比两钟的时间,A/'是8钟
的本征时,△/是/钟的运动时,而题中的本
征时是未知的.
也有人用下面公式计算时间差,也是同
样的问题.
A/-A/=/f-A/
yjl-(v/c)2
“[1+衿》一加=美)2加
3.2一个“光钟”由两个相距为人的平面镜
N和8构成,对于这个光钟为静止的参考系
来说,一个“滴答”的时间是光从镜面Z到
镜面B再回到原处的时间,其值为
_2L°
r一
C.若将这个光钟横放在一个以速度
/行驶的火车上,使两镜面都与衣垂直,两
镜面中心的连线与选平行,在铁轨参考系中
观察,火车上钟的一个“滴答”r与力的关
系怎样?
[解答]不论两个“光钟”放在什么地方,
TO都是在相对静止的参考系中所计的时间,
称为本征时.在铁轨参考系中观察,火车上
钟的一个“滴答”的时间r是运动时,所以
它们的关系为
一Jl—(;/c.
3.3在惯性系S中同一地点发生的两事件A
和8,8晚于N4s;在另一惯性系S'中观察,
8晚于N5s发生,求S,系中4和8两事件的
空间距离?
[解答]在S系中的两事件/和8在同•
地点发生,时间差△/=4s是本征时,而S'
系中观察力和B两事件肯定不在同一地点,
A/'=5s是运动时,根据时间膨胀公式
△t
\t'=
J-(Wc)2
4
5=
Jl-(v/c)2,
即
可以求两系统的相对速度为
v=3c/5.
在S'系中A和B两事件的空间距离为
A/=vAf=3c=9xl08(m).
3.4一根直杆在S系中观察,其静止长度为/,
与x轴的夹角为仇S'系沿S系的x轴正向以
速度u运动,问S'系中观察到杆子与x,轴的
夹角若何?
[解答]直杆在S系中的长度是本征长度,
两个方向上的长度分别为
/v=/cos。和ly=/sin仇
在S,系中观察直杆在y方向上的长度不变,
即/;,=4;在x方向上的长度是运动长度,
根据尺缩效应得
因此
,小4tan。
tanu=—=,一i
4J1-(V/C)2,
可得夹角为
0'=arctan{[1-(v/c)2]12tan。}
3.5S系中观察到两事件同时发生在x轴上,
其间距为Im,S,系中观察到这两个事件间距
离是2m,求在S,系中这两个事件的时间间
隔.
[解答]根据洛仑兹变换,得两个事件的
空间和时间间隔公式
,、Ax-vAt
Ax-.=-
Ji-3/。)?,
At-Axv!c2
&'=
J1-(V/C)2
(1)
由题意得:A/=0,Ax=Im,Ax'=2m.因
此
Ax
Ax'=
J-(V/C)2,
-Axv/c2
"=
Jl-(v/c)2,(2)
由(2)之上式得它们的相对速度为
v=Ax、)2(3)
将(2)之下式除以(2)之上式得
加'_y
Ax'c2
所以
;)2
=--7(Ar')2-(Ar)2
C=-0.577x10-8(s).
[注意]在'系中观察到两事件不是同时
发生的,所以间隔Ax,=2m可以大于间隔Ax
=lm.如果在S系中观察到两事件也是同时
发生的,那么Ax'就表示运动长度,就不可
能大于本征长度Ax,这时可以用长度收缩公
式Ar'=Arjl-(Wc)2,计算它们的相对速
度.
3.6一短跑运动员,在地球上以10s的时间
跑完了100m的距离,在对地飞行速度为0.8c
的飞船上观察,结果如何?
[解答]以地球为S系,则Af=10s,Ax=
100m.根据洛仑兹坐标和时间变换公式
-(v/c)2和c)~
飞船上观察运动员的运动距离为
Ar-vA/
Ax'=
J-3/。)?
100-0.8CX1Q
J1-0.8-^-4xl09(m).
运动员运动的时间为
,、A/-VAY/C2
△t'=
Vl-(v/c)2
10-0.8xlQ0/c
0.6«16.67(s).
在飞船上看,地球以0.8c的速度后退,
后退时间约为16.67s;运动员的速度远小于
地球后退的速度,所以运动员跑步的距离约
为地球后退的距离,EP4x10m.
3.7已知S'系以0.以的速度沿S系x轴正向
运动,在S系中测得两事件的时空坐标为乃=
20m,=40m,t\=4s,t2=8s.求S'系中
测得的这两件事的时间和空间间隔.
[解答]根据洛仑兹变换可得S'系的时间
间隔为
、_.—1一(-2一演)/:
8-4-0.8(40-20)/c
0.6=«6.67(s).
空间间隔为
X2-Xx-v(t2-/1)
Jl-(n/c)2
_40-20-0.8cx(8-4)
0.6«=-1.6xio*9(10*12m).
3.8S系中有一直杆沿x轴方向装置且以
0.98c的速度沿x轴正方向运动,S系中的观
察者测得杆长10m,另有一观察以0.8c的速
度沿S系x轴负向运动,问该观察者测得的
杆长若何?
[解答]在S系中的观测的杆长△/=10m
是运动长度,相对杆静止的参考系为S,其
长度是本征长度,根据尺缩效应
△/=△/正(%/c『,可得杆的本征长度
为
Jl-(%/C)2
10
A/1-0.982=50.25(m).
另一参考系设为S'系,相对S系的速度
为也0=-0.8。.在S'系观察S'系的速度为
h_VIO_V2O
122
l-v10v2()/c
_0.98c-(-0.8c)
1一°・98(-0.8)=o,99796c.
在S'系观察S'系中的杆的长度是另一运动
长度
A/''=A/'Jl-(v.,/c)2-,、
v\12/=3.363(m).
[注意]在涉及多个参考系和多个速度的
时候,用双下标能够比较容易地区别不同的
速度,例如用片0表示S相对S系的速度,
用V12表示S系相对S''系的速度,因此,尺
缩的公式也要做相应的改变,计算就不会混
淆.
3.9一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和
0.8c速度相向运动,在地面上观察,5s后两
者将相撞,问在飞船上观察,二者将经历多
长时间间隔后相撞?
[解答]两者相撞的时间间隔A/=5s是运
动着的对象一飞船和慧星一发生碰撞的时间
间隔,因此是运动时.在飞船上观察的碰撞
时间间隔A,是以速度v=0.6c运动的系统的
本征时,根据时间膨胀公式
\t
J-3/c)2
可得时间间隔为
加'=△〃l-(v/c)2=4(s).
3.10在太
阳参考系
中观察,
一束星光
垂直射向
地面,速
率为C,而
地球以速率〃垂直于光线运动.求在地面上
测量,这束星光的大小与方向如何.
[解答]方法一:用速度变换.取太阳系
为S系,地球为S,系.在S系中看地球以v=
〃运动,看星光的速度为
Ux=0,Uy=C,
星光在S'系中的速度分量为
A2
X-uxv/c
22
WrVl—V/c
uv----------z—
1-uxv/
=CA/1-W2/C2=\!c2-u2
星光在S'系中的速度为
u=+〃;=c
即光速是不变的.
星光在S'系中与y'轴的夹角,即垂直地
面的夹角为
八、"11
0=arctan—=arctan广—-
&2-〃2.
方法二:用基本原理.根据光速不变原
理,在地球的S'系中,光速也为c,当地球
以速度V=〃沿X轴运动时,根据速度变换公
式可得星光的速度沿X,轴的分量为=-U,
所以星光速度沿y'轴的分量为
2222
uy=y]c-wv/=\Jc-u
从而可求出星光速度垂直地面的夹角为
八'II,u
0=arctanT=arctan/
Uy&2一"
[注意]解题时.,要确定不同的参考系,
通常将已知两个物体速度的系统作为S系,
另外一个相对静止的系统作为S'系,而所讨
论的对象在不同的参考系中的速度是不同
的.
此题与书中的例题5.4类似,这里的太
阳相当于5.4题中的地球,这里的地求相当
于5.4题的乙飞船,这里的星光相当于5.4
题中的甲飞船.
3.11-粒子动能等于其非相对论动能二倍
时,其速度为多少?其动量是按非相对论算
得的二倍时,其速度是多少?
[解答](1)粒子的非相对论动能为
Ek-m()v2/2,
相对论动能为
E'k=me1-根or2,
其中m为运动质量
Vl-(v/c)2
根据题意得
一mc2=2
J1-(V/C)2Q
设x=(v/b)2,方程可简化为
或1=(1+x)Jl-X,
平方得
1=(13)(17),
化简得
x(?-x-l)=O.
由于x不等于0,所以
x2-x-1=0.
解得
1±75
x----------
2
取正根得速率为
1+V5
v=c.
V2=0.786c.
(2)粒子的非相对论动量为
p=mnv,
相对论动量为
加0丫
p'=mv
Jl-(Wc)2
根据题意得方程
=2moy
J-(We)?
很容易解得速率为
V-——C
2=0.866c.
3.12.某快速运动的粒子,其动能为
4.8X10-16J,该粒子静止时的总能量为
L6X10-17J,若该粒子的固有寿命为2.6X104S,
求其能通过的距离.
[解答]在相对论能量关系中
E=E0+Ek,
静止能量&)已知,且瓦=沏)。2,总能量为
EI?=me2=.俏。0-=,E。
Jl-(V/C)2,1一「/°)2,
所以
_____j______EQ+Ek
Jl-(v/c)2E°,
由此得粒子的运动时为
Z'4+/
Z=/==Z—5——L
Vl-(v/c)2E。
还可得
Jl-(n/c)2E。
1+Ek,
解得速率为
v=
粒子能够通过的距离为
M=vA/=c川(经知_1
=3x1炉x26x叫(1+30)2一1=24i67.4(m)
3.13试证相对论能量和速度满足如此
关系捻rO.
[证明]根据上题的过程已得
U=C
将£=戊+&代入公式立可得证.
3.13静止质子和中子的质量分别为mp=
2727
1.67285xl0kg,>Mn=1.67495xl0-kg,质子
和中子结合变成笊核,其静止质量为叫=
3.34365xl027kg,求结合过程中所释放出的
能量.
[解答]在结合过程中,质量亏损为
x
Am=mp+mn-m0=3.94988W'°(kg),
mc=3xl08(m-s-').可得释放出的能量为
AE=Awe2=3.554893X10-I3(J).
如果取c=2.997925xl()8(m-s"),可得释
放出的能量为
AE=3.549977x10-I3(J).
第二章质点力学的基本定律
2.1如图所示,把一个质量为m的木块放在
与水平成。角的固定
斜面上,两者间的静
摩擦因素〃,较小,因
此若不加支持,木块
将加速下滑.图2.1
(1)试证tan6M〃s;
(2)须施加多大的水平力户,可使木
块恰不下滑?这时木块对斜面的正压力多
大?
(3)如不断增大户的大小,则摩擦力
和正压力将有怎样的变化?
(1)[证明]木块在斜面上时受到重力
6=加叁和斜面的支持力灯以及静摩擦力
f,其中
ffs=
MSN,
而N=Geos®.
要使木块加速下
滑,重力沿着斜面
的分量不得小于最大静摩擦力根据牛顿
第二定律得
GsinO-〃sGcosO=ma=0,
因此证毕.
(2)[解答]
要使物体恰好不
下滑,则有
Gsin。-HM
-FcosO=0,(1)
N-Geos。-
Fsin6>=0.(2)
(2)x〃,+(1)得
Gsin。-//.Ceos。-Fcos^-psFsm0=0,
解得
„sin0-ucos®
F=---------------------tng
cos0+/JSsin3⑶
上式代入(2)得
cos6+〃sSine.⑷
(3)[解答]当木块平衡时,一般情况下,
有
Gsin。-f-Feos。=0,N-Geos®-FsinO=0.
解得
f=Gsin。-FcosO,N=Geos®+Fsin0.
可知:1当户的大小不断增加时,摩擦力将
不断减小;当尸=Gtan。时,摩擦力为零;
当尸再增加时摩擦力将反向;至于木块是否
向上做加速运动,则要进一步讨论.
2正压力将不断增加.
[讨论]当tan”1仅时,如果木块恰好不
上滑,则摩擦力恰好等于最大静摩擦力,方
向沿着斜面向下,用上面的方法列方程,可
得
厂sin9+〃cos3
F=----------------ms,
cos9-nssin0
将(3)式中的改为"就是这个结果.可
见:当tanO=l/%时,F趋于无穷大,只有当
tan6v时,才能增加F的大小使木块向上
加速滑动.
2.2如图所示,设质量机=10kg的小球挂在
倾角a=30。的光滑斜面上,求:
⑴当
斜面以加速厂
度a=g/3沿a
图中所示的一‘
方向运动时,--------------
绳中的张力图22
及小球对斜面的正压力各是多大?
(2)当斜面的加速度至少为多大时小球
对斜面的正压力为零?(g=9.8m,s")
[解答]
(1)小球受
到重力G,斜
面的支持力N
和绳子的张
力T.建立坐
标系,列方程得
Ncosa+Tsina-mg=O,
7cosa-Nsina=ma.
解得N=m(gcosa-asina)=68.54(N),
T=»7(gsin«+acosa)=77.29(N).
(2)令N=0,得加速度为
2
a=gctga=16.97(m-s').
2.3物体4和8的质量分别为机,=8kg,WB=
16kg,它们之间用绳子联结,在倾角a=37。
的斜面上向下滑动,如图所示.工和8与斜
面的滑动摩擦因素分别为"乂=0.2,"始=04
求:
(1)物体/和8的加速度;
(2)绳子的
张力;
(3)如果将
Z和8互换位置,
则(1)和(2)
的结果如何?图2.3
[解答]根据角度关系可得sina=3/5=
0.6,cosa=4/5=0.8,tana=3/4=0.75.
(1)如果物体4和8之间没有绳子,
由于tanOM〃$,可知:/和8都要沿斜面做加
速运动,而8的加速度比较小.当4和8之
间有绳子时,它们将以相同的加速度运动.
设绳子的
张力为7,根据
牛顿第二定律
分别对/和8
列运动方程:
Wjgsina-
〃必〃以gcosa-T=①必
T+租sgsina-偿即egcosa=inBa.
两式相加得
[(mA+wB)sina-(/ikAmA+/^kBmB)cosa]g
=(也|+机8)4,
所以加速度为
-Hm+/2m
a=gr[sina----k—A~JA-----—kB~-Bcosa\
=3.26(m-s-2).
(2)将加速度a的公式代入任一方程都
可解得张力为
T'kB-〃
mA+mB=3.86(N).
由此可见:当两物体的摩擦因素相等时,张
力才为零,这是因为它们的加速度相等.
(3)将/和8互换位置后,由于4的
加速度比较大,所以绳子不会张紧,其张力
为零.
A的运动方程为
切xgsina-/.tkAmAgcosa=mAaA,
2
解得aA=g(sina-〃Mcosa)=4.12(m-s-).
2
同理得OB=g(sina-fikBcosa)=2.7(4m-s-).
2.4一个重量为尸的质点,在光滑的固定斜
面(倾角为a)上以初速度/运动,%的方
向与斜面底边的
水平约AB平行,
如图所示,求这质
点的运动轨道.
[解答]质点在
斜上运动的加速
度为。=gsina,方向与初速度方向垂直.其
运动方程为
尸[Jgsinaf
x-vot,22
将t=小。,代入后一方程得质点的轨道方程
为
gsina
y=x2
这是抛物线方程.
2.5桌上有一质量A/=1kg的平板,板上放一
质量m=2kg的另一物体,设物体与板、板
与桌面之间的滑动摩擦因素均为〃*=0.25,
静摩擦因素为幺=0.30.求:
(1)今以水平力尸拉板,使两者一起
以〃=lm§2的加速度运动,试计算物体与
板、与桌面间的相互作用力;
(2)要将板从物体下面抽出,至少需要
多大的力?
[解答](1)物体与板之间有正压力和摩
擦力的作用.
板对物体的支持大小等于物体的重力
Nm=mg=19.6(N),
这也是板受物体的压力的大小,但压力方向
相反.N
物体受板摩擦力f
做加速运动,摩擦力的十一”
大小为叫言
fm=ma=2(N),i.]i
这也是板受到的摩擦力
力的大小,摩擦力方向也相反.
板受桌子的支持力大小等于其重力
NM=(m+M)g-29.4(N),
这也是桌子受板的压力的大小,但方向相反.
板在桌子上滑动,所受摩擦力的大小为
々=〃*NM=7.35(N).
这也是桌子受到的摩擦力的大小,方向也相
反.
(2)设物体在最大静摩擦力作用下和板
一起做加速度为。'的运动,物体的运动方程
为
f="gg=ma、,
可得a'=Nsg・/,a;
板的运动方程为
F-f-Mm:
+M)g=Ma',f
即F=/+Ma'++M)g
=3.+/*)伽+M)g,
算得F=16.17(N).
因此要将板从物体下面抽出,至少需要
16.17N的力.
2.6如图所示:已知尸=4N,=0.3kg,m2
=0.2kg,两物体与水平面的的摩擦因素匀为
0.2.求质量为m2的物体的加速度及绳子对
它的拉力.(绳子和滑轮质量均不计)
[解答]利用几何关系得两物体的加速度
N间的关系为。2=2卬,而力的关系为7]=
2T2.
对两物体列运动方程得
•"m喏=加2。2,
F-T\-f,im\g=m\a\.
可以解得加2的加速度为
F-//(777j+2W)g
Cl~)—=2
加I/2+22
=.78(m-s-2),
绳对它的拉力
T=--------=-----(F-〃机|g/2)
叫/2+2祖2'
2.7两根弹簧
的倔强系数分(a)
别为《和ki
ki.求证:
(1)它
们串联起来
时,总倔强系图2.7
111
——=----1----
数%与鬲和月.满足关系关系式左左心;
(2)它们并联起来时,总倔强系数k=k[
+左2,
[解答]当力尸将弹簧共拉长X时,有尸=
kx,其中★为总倔强系数.
两个弹簧分别拉长X,和X2,产生的弹力
分别为
42X2-
F\-k\X\,F2=
(1)由于弹簧串联,所以
F=F\=F2>X=X\+%2>
,区+21=1+1
2.
因此kk}右,即〃h左
(2)由于弹簧并联,所以
F=F]+F2,x=X\=X2f
因此kx=k\X\+42工2,即左=鬲+毋
图2.6
2.8如图所示,质量为m的摆悬于架上,架
固定于小车上,在下述各种情况中,求摆线
的方向(即摆线与竖直线的夹角0)及线中
的张力T.
(1)小车沿水平线作匀速运动;
沿斜面往上推(设"=6);
(5)以同样大小的加速度4(岳=6),
将小车从斜面上推下来.
[解答](1)小车
沿水平方向做匀速直
线运动时,摆在水平
方向没有受到力的作
用,摆线偏角为零,
线中张力为T=mg.
(2)小车在水平(2)
方向做加速运动时,重力和拉力的合力就是
合外力.由于
tan,=ma/mg,
所以9=arctan(%);
绳子张力等于摆所受的拉力
T=+(-g)2=myja2+g2
(3)小车沿斜
面自由滑下时,摆仍
然受到重力和拉力,
合力沿斜面向下,所
以
9=(P;
T=mgcos<p.
(4)根据题意
作力的矢量图,将
竖直虚线延长,与
水平辅助线相交,
(4)
可得一直角三角形,。角的对边是/MbcOS%
邻边是zwg+mbsin。,由此可得:
八mbcostp
tan(9=------------
mg+mbsm(p,
因此角度为
_hcos(p
0-arctan---------
g+bsin夕.
而张力为
T=J(〃⑼2+(叫4-2(〃伙/咽■)co沏/2+夕)
=niylh2+g2+2bgsincp
(5)与上一问
相比,加速度的方
向反向,只要将上
--结果中的6改为
-b就行了.
2.9如图所示:质量
为m=10kg的小
球,拴在长度/=5m的
轻绳子的一端,构成一
个摆.摆动时,与竖直
线的最大夹角为
60°.求:
图2.9
(1)小球通过竖直
位置时的速度为多少?此时绳的张力多大?
(2)在9v60。的任一位置时,求小球
速度v与。的关系式.这时小球的加速度为
多大?绳中的张力多大?
(3)在。=60。时,小球的加速度多大?
绳的张力有多大?
[解答](1)小球
在运动中受到重力和
绳子的拉力,山于小球
沿圆弧运动,所以合力
方向沿着圆弧的切线
方向,即尸=-mgsinG,
负号表示角度,增加的方向为正方向.
小球的运动方程为
F^ma=m^4
其中s表示弧长.由于s=R8=/a所以速度
为
ds,d0
v-——=I——
d/d/,
因此
厂dvdvdemdv
r=m—=m------=一v
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