复杂电力系统潮流的计算机算法

第四章

复杂电力系统潮流

的计算机算法

2013年6月

为什么要研究机算如［可应用计算机算

潮流？潮流？

手算方法只能计算简单网络的潮流，对于实际的

复杂电力系统，必须借助计算机才能快速、准确地获

取潮流分布。

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法2

为什么要研究机算如何应用计算机算

潮流？潮流？

机算潮流的主要步骤:

建立数学模型一设计算法一编写程序一上机调试

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法3

I目录

4.1电力网络方程

4.2非线性节点注入功率.电压方程（数学模型）

4.3非线性方程的牛顿算法原理

4.4牛顿・拉夫逊法潮流计算（算法）

本章小结

作业

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法

4.1电力网络方程

•电力网络方程

将网络的有关参数（包括结构参数和运行参

数）及其相互关系归纳起来所组成的、可反映电

力网络运行状态的一组数学方程。电力网络方程

包括：节点电压方程、回路电流方程、割集电压

方程等。

潮流计算本质上是电路计算，一切求解电路问题的

方法原则上均可用于求解电力系统潮流分布。但潮流计

算有其特点：网络等值电路的建立；已知条件的给出；

运算变量是功率而不是电流。

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法5

4.1电力网络方程。

•节点电压方程

•节点导纳矩阵的形成和修改

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法6

节点电压方程

j产/，+%(，—上)+为(4—□)

'2=>20。2+必2(02—)+>23(02—03)

h=>3003+必3(4一“)+》23(上一。2)=。

设图中各量均为标

么值，以下不再区分单(必0+>12+丁13)°1—必202—必303

相/三相电路。-+(>20+%2+丁23)02-3

,°=一以3。1一y2302+(>30+>13+>23)03

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法7

节点电压方程

U\

1%。+必2+必3一切2一切3

l2f2,20+%2+,23一为3

0713一为3丁30+>13+为3

1匕2■

^22^23

l2X21

0匕1匕2匕34

记为：IB=YBUB

IB—节点注入电流相量列向量

%—节点电压相量列向量

。一节点导纳矩阵

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法8

节点电压方程

•〃节点网络

〃—网络的独立节点数

.

/=匕口+工"+…+九一/1+/，+为+D，J…工"=

J=1

潮流方程(i=l,2,...,n)

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法9

节点导纳矩阵。的元素

•自导纳说：右的对角元，与i节点直接相连的各支路

导纳之和。

•互导纳"（，旁）：右的非对角元，直接连接于，、j节点

之间的各支路导纳之和的相反数。

例如：

乂1=%。+%2+%3

^23=一丁23

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法10

导纳矩阵元素的物理意义

A^A+YU+…+工（:”［；*工必2儿士MM+…工

J—————i2——2一一一_,

2

匕产节点i施加单位电压，其余节点接地，节点i的注入电流

/*____________一/----------------、

ym+Y息+・・・+九一+】+••必”〕

____J——

2

3六（U=o,j"）

Ui

工二司豆施加单位电压，其余节点接地，萤虚2的注入电流

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法11

导纳矩阵元素的物理意义

(，=£?3=0,02=1),20+，23+)12

^32=A

('=久=002=1)——>23

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法12

电力网络节点导纳矩阵力的特点。

•〃阶方阵，〃为网络的独立节点数。

•复数矩阵。

•一般为对称方阵（玲=4）。

•稀疏矩阵：当节点，和节点;之间不直接相连时，互导

纳为0。

•对角元所含的元素个数2该元素所在行（列）的其它

元素的个数，即互导纳元素都用于形成自导纳；当有

接地支路时，成立。

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法13

节点导纳矩阵的形成和修改

•右的形成：给定网络，如何建立节点导纳矩阵

•方法：根据自导纳和互导纳的基本定义直接生成

自导纳说与节点i直接相连的各支路导纳之和

直接连接于，、，节点之间各支路导纳之和

互导纳,

的相反数

建议变压器支路采用以导纳表示的n型等值电路。

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法14

节点导纳矩阵的形成和修改

•右的修改：当网络结构或参数发生变化，如何修改原

右以形成新的y'b

(1)从原网络节点「引出一条接地支路

(2)从原网络节点i引出一条支路，并增加节点，

(3)在原网络节点八j之间增加一条支路

(4)在原网络节点八j之间切除一条支路

(5)原网络节点八j之间的导纳由中变为四状

(6)原网络i、j之间变压器的变比由女变为丑

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法15

从原网络节点/引出一条接地支路。

•节点导纳矩阵阶数不变。

•只有节点i的自导纳发生变化,

增量可jo

%

+%

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法16

从原网络节点，•引出一条支路，并增加节点;Q

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法17

在原网络节点八j之间增加一条支路。

•节点导纳矩阵阶数不变。

•节点i的自导纳增量ALi可于

•节点/的自导纳增量A与可严

•i、，互导纳增量人“二A与尸・与。

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法18

在原网络节点八j之间切除一条支路。

相当于增加一条

导纳・力的支路

•节点导纳矩阵阶数不变。

•节点i的自导纳增量AKi=%。

■节点/的自导纳增量A^。为。

•i、j互导纳增量A,=A4产%.。

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法19

原网络节点3j之间的导纳由力变为外Q

相当于先切除一条导纳为先的支路，再增加一条导纳为的支路。

----------------------------------------------------------------------------------------------tl-------------

■节点导纳矩阵阶数不变。

•节点i的自导纳增量=..力

•节焉的自导纳增量必产〈斤%。

•、，j互导纳增量A%.=\Yji=心'旷力）。

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法20

原网络八，之间变压器的变比由左变为《

1)

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法21

节点导纳矩阵算例

•例：图示为一简单电力网络，试建立节点导纳矩阵。

图中串联支路为阻抗参数，接惕路为导纳参数。

理想变压器j0.25j0.25

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法22

节点导纳矩阵算例。

•解：以节点2自导纳为例。

1・2间变压器支路的等值电路:

Y

22=%0+>23+>24+行

k

i

二)

(70.25+J0.257+---------------

/TYnn10.04+jO.25

72T

k,UUk11

+T7

0.08+J0.31.052xj0015

=70.5+(0.624025-J3.900156)

+(0.829876-/3.112033)-E鬻67

=1.453901-766.980821

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法23

4.2非线性节点注入功率-电压方程。

•节点注入功率■电压方程（潮流方程）的形成

•潮流方程中的变量

­节点的分类

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法24

节点注入功率-电压方程的形成

Z„=YRUR

JDL)JD

线性方程

=YBUB

[u)B

非线性方程：

节点注入功率-电压方程

（潮流方程）

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法25

节点注入功率-电压方程的形成

〜发电机功率〜Vy

I?------0VG2JIB=YBUB

U、——―一-L兀

"A.二%，.

~/负荷功率wJl_-^21^22_J^2_

3〃__3L2厂/、*

sA

、32.一"「跖兀"

“八九八u.=>“一.

忆山2

「基-

SI=SG51JLS2=SG2^L2)_

1%0为0

节点注入X1

功率

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法26

节点注入功率-电压方程的形成G

(****、

Yl[rjI*=片+阕="乂M+兀。2

,/4IVJ

/〜、*%ur.,****、

也?

S2=P2^jQ2=U2Y2XUi+Y22U2

Iv7

推广到〃节点网络:

(******、〃(**、

-2=十3—口=%网，

(z=l,2,…〃)

♦电流方程

♦平衡节点

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法27

潮流方程中的变量

,******、〃,**、

M=M=匕+jQ=u匕+…〃=〃5匕”

i5LiiJ=7iii1zZZinniIijj

'）j=l'J

•网络的结构参数：Yjj

•每个节点6个（4个）运行变量：

Gi~PLi'Qi-QGI~Qu、5、4

­变量分类

扰动变量（不可控变量）d负荷功率：PL、QL

控制变量〃发电机功率：PG、QG

状态变量X节点电压：U、6

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法28

潮流方程中的变量0

­变量应该满足的约束条件

无约束

负荷功率?八QL

^Gimin—^Gi^^Gimax

发电机功率PG、Q发电机运行限额

GQarnin-Qa—^Gimax

Uimin'G^^imax电压质量要求

节点电压U、6

\Sr6j\<\^r^j\max稳定性要求

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法29

节点的分类（根据已知变量）

类型给定变量待求变量说明

给定PQ的发电厂母线，负荷

p（PG、PL）

PQU、d节点、无其它电源的变电所母线。

Q（QG、QI）大多数节点为PQ节点。

有无功储备的发电厂母线、

P（PG、PQ

有可调无功电源的变电站母线、

PVU＞合

QG有无功补偿设备的负荷节点。PV

QL节点较少，也可能没有。

通常选取容量足够大的发电

厂（如调频电厂）母线作为平衡

平衡节点U、d

PG、QG节点，用于平衡系统的功率，并

（节点）

V3PL、QL提供全网电压的相位参考点。公

须至少设置一个平衡节点。

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法30

设置平衡节点的必要性O

­系统的功率损耗在潮流计算完成之前是未知的，即功茎

损耗是状态变量的函数（为什么？）。必须设置至少一

个节点来平衡全网的功率。

••

彳AP+jAQ=（P「P2）+j（Q「2）；2

招P+jQi

6+"+jAQ=f®R2

•功率方程中节点电压相位是以相对相位（相位差）的形

式出现的，要计算节点电压的绝对相位，必须有一个相

位参考节点。

L）手算潮流中的节点类型?

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法31

4.3非线性方程的Newton算法原理0

•一元非线性方程的求解

•多元非线性方程组的求解

牛顿・拉夫逊(Newton・Raphson,N-R)法，又称牛顿法，

因IsaacNewton于1736年在MethodofFluxions中公开发表而得

名；而事实上，早在1690年JosephRaphson就在Analysis

机中提出过该方法，其中与牛顿法相关的章节在1671

年就已经完成。——Wikipedia(维基百科)

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法32

一元非线性方程»=0的求解

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法33

一元非线性方程f（x）=O的Newton算法

•设初解真解为一="（。）+"（。）,则有:

/（O”+N））=0

泰勒展开

(0)(0)(0）

f(x+Ax⑼)=f(x)+/(不⑼)Ax+..」=o

忽略高阶项

修正方程（线性）

Ax(0)

1

修正量

新解x(1)=x(0)+Ax(0)

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法34

「元非线性方程＞)=0的Newton算法

•Newton法求解f(x)=0的步骤:

❶设定初解九⑼”))

❷计算修正量心⑹=一7鬲

❸修正初解：无(氏+D=x"')+AX(Q

▲y=/(%)

O收敛判断：|以出<£?

若不满足则转第2步。

A

•Newton法的几何意义:

B

(0)

x⑵•v/V

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法35

用Newton法求解x2-sinx-l=0(x>0)

•解：4^f(x)=x2-sinx-l,则f,arZx-cosx

修正量：/(♦"))_%2_sinx_]

ff(x(k)}2x-cosx

设初解x(o)=l

第1次迭代：Ar(0)=」—sinlT=0.5765

2xl-cosl

x(1)=x(0)+Ax(0)=1.5765

第2次迭代:N;」576L5-lf1536

2x1.5765-cos1.5765

x⑵=x(1)+Ax(1)=1.4228

第3次迭代

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法36

用Newton法求解x2-sinx-l=0(x>0)

迭代过程

No.X/(x)一⑺Ax

11-0.84151.45970.5765

21.57650.48533.1586-0.1536

31.42280.03542.6982-0.0131

41.40970.00032.6591-0.0001

51.40960.00002.6588-0.0000

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法37

多元非线性方程组的Newton算法

力（王，々，…，乙）=为记为/（x）-J

•设初解：靖）,以），…，靖

•真解：岁+可叫⑶+小孔…”册+封。）

•考察力：

力（芯。）+Ax?芯。）+…，嫖）+口。））=%

二;泰勒展开，忽略高阶项

/i（铲，E°）…%!°））+~~L枇°）+~~ioA4°）+…+雪i0竭°）=%

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法38

多元非线性方程组的Newton算法

山。田…巧+熟谭噜小。）…副。

力"（铲刘）…烧）=知…当

小1。

•••---------1

&2°dX

dx1°n°

明।然1明|

商I。

&〃。

dx2°

dxn0

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法39

多元非线性方程组的Newton算法

超)

宜)

称为修正量

生।L

\k称为雅可比(Jacobian)矩阵

朋n

...曳

<01k<ck)c।

ox[cx2oxn

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法40

,多元非线性方程组的Newton算法

•Newton法求解多元非线性方程组的步骤：

❶设初解向量X（。）=卬。）,叫叫…，/叫T

❷计算不平衡量

*（。）=[”（X（。））,42（¥。））,…，U（X（o））]T

❸计算Jacobian矩阵/。）

❹由修正方程4/*（。）=/。）/%（。）求解修正量4%（。）

❺更新解向量：X（D=%（。）+/*（。）

0判断收敛：maxiJx/0）1<£?或者maxi4/严1<£?

若不满足则转第2步。

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法41

多元非线性方程组的算例

x：+2X=5

例：用Newton法求解2

[jV]-+X2=0

解：令]力(玉,々)32+2%

\f2(x1,x2)=X]-xf+x2

不平衡量学二

2

Jacobian矩阵J=-2元2+1」卜㈤

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法42

多元非线性方程组的算例

•设初解："°)=1"=2

•第1次迭代:

M=

修正方程组：Af=JAx即：叫」22Axj

—［1

_3

一F0.25一

修正量:［谒。)卜［-0.25_

靖）+可（。[』1.25

新解:x?+Ax“=[1.75

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法43

多元非线性方程组的算例

第2次迭代:

5=

2%21_12.52

1―2%+1_(125,1.75)-1-2.5

「-0.0625]「2.52AX]

修正方程组：[0.0625]=

—2.5A%2

1_F-0.0038

修正量:一[-0.0265

可⑴1.2462

新解:

斌）1.7235

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法44

多元非线性方程组的算例。

迭代过程

No.xAfAx

0.25

-0.25

1.25-0.06252.52-0.0038

2

1.750.06251-2.5-0.025

1.2462-0.000014312.492920.0001693

30.0007031J

1.72351-2.4470-0.0002181

1.2464-0.00000001r2.492820.0000000

4

1.72330.0000000j[1-2.4465-0.0000000

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法45

4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算

DSATools潮流算法

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法46

4.3牛顿-拉夫逊法潮流计算O

•实数潮流方程（极坐标形式）

•修正方程组

•Jacobian矩阵的计算

•N・R法计算潮流的基本步骤

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法47

实数潮流方程（极坐标形式）

o已知变量和求解变量（〃节点系统）

•第一求解对象是各节点电压，即未知的状态变量;

•共2（血・1）+（〃・血）=〃+机-2个变量。

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法，潮流方程48

实数潮流方程（极坐标形式）

n(**

闫1)

令看二d+/吗，(，.=Q。％0=U]，)

k----J------——-/|极坐标形式

"U%=a-a

n

&=喔0广阳)"I

-,5ij

J]e=cosBq+jsin51.

£二S$(G厂冏"(cos%+jsin%)

j=i

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法49

.实数潮流方程（极坐标形式）

■ll〃

6,=U，$（G「冏比・（cos%+/Sin%）

7-1.

JL实、虚部分开

▼

4=aZ4（dcos%+与sin%）

<j=i

2=aZ4（G"Sin%-与cos%）

------------17=1■__

已知的节点注------------------.，用上标S表示已知的节点注入功率

入功率途数广］、-----------------------

力百WfUjGcos%+为sin喘一尸（U，6）

；、上_________________________，

।

\dWU这3（G,sin%—%cos—1°（U,6）

IK尸1」

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法50

实数潮流方程(极坐标形式)

(U例

,Q：=Q(u,6)

(U,6)=-P(U,6)=0

有功不平衡量△2(U,6)=Q.Q(U,6)=0

\n

M(U,6)=厅-u2Uj&cos%+B.sin%)=0

j=i

n

」(U,3)=°f乎的咽-%cos%)=。

无功不平衡量

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法51

〃节点系统的实数潮流方程0

斤—GZ4(Gi/cos出+%sin凡)=0

J=I

几

Q：~U》Uj(Gjsin4j_B}jcos凡卜0

J=I

PQ节点

P；_U*Uj(GCOS%+%sin%)=o共2（m・1）个方程

(iw・l个)27

j=i

n

U

02JGjsin心)—B2jcos》0

,ncosem.+6m.sinRmJ=0

利+1机+14^J\(721+1)J(m+1)/(加+1)，(zn+1);/

PLT点j=l共〃・zw个方程

个)；田』

Pm+2-Um+Z>Uj\G(〃z"+2)/•cosS,\tn+2)j.+B,\tn+2jjsin6,ym+29)VjI)=0

j=l

共计：2（旭・1）+（〃的）=〃+帆・2个方程♦变量

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法52

修正方程组

潮流方程：

n

”(U,6)=P；_4£Uj(G.cos%+约Sin%)=’—q(U,6)=0

jT

AQ,(U,6)=£-UWUjGsin耳.—Btjcos%)=Q；—Q,(U,6)=0

j=i

修正方程组：Af=JAx

apapap

-~dS—u

AP1=而auASau△6

-

_AQJOQOQAUOQ"uAU/U

auau

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法53

修正方程组。

空阴5阴阴力1明明

■11

由du1池dU1威+2

21此+1

1

1

阻也u勾画u,•••1…也

A2,的叫1弧dU-1

21域+1此+2q

1阴dPPQ节点

阴阴n12

△P2绍叫“~U)…1…△色

_1

池叫1明向此+2

1

M3。2.1返逡△力

…4

A22121

绍叫池dU21西向犯+2

1

1

1•

1

1

dPdP网］艮

死+1叱+1U・・・1

A月向△黑1

12M+JI明,；

由dU1范dU2

QPQP1、PV节点

△PQ叫+2Msuurw+2"〃；+2jj1

…△鼠+2

211W+2|

明dUi范dU21

1

1

1*

1

(n+m-2)X1(«+m-2)X(n+m-2)(n+m-2)X1

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法54

Jacobian矩阵的计算

oJacobian矩阵的元素分四类:

dP=-^U

H=一~M

lJlJ

S3.dUj」

dQ.

J4L=-^U

lJlJdu.J

ddjJ

z每一元素仅为一个指定节点⑴的注入功率Pj或0对

另一个指定节点的电压4或学的偏导数。

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法55

Jacobian矩阵的计算

N-乩2乂2•••"l(m+2)

,12力12•••/i(m+2)

42N?2•••“2(m+l)%(加+2)

，21力21，22心22•••’2(〃什1)，2（加+2）

”(m+l)2N(加+1)2…H

("2+1)("2+2)

^^(771+2)1N(m+2)l”(m+2)2N(〃什2)2…HH

(〃2+2)(〃2+2)

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法56

Jacobian矩阵的计算

•三角函数导数

dcos%dcos©-bjdcos©-3)dcos©-3)

=sin4

88j—（明—纯）

同理：

dsin3ndcosdsinS-.

---------=-cos---------=-sinV=cos5..

0bIJ

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法57

Jacobian矩阵的计算

।____________________

QPQP

O非对角块元素Hij二就N二方j4，("，J)

C/C//Cz\^/j

几

《(u,6)=Ui£u/Gjjcos为+为Sin为)

y=i

q和式中只有某一个学或-是变量

dP

H..=—=U.U.(G..sin8..-B,cos3)

IJiJ、IJIJIJu

N.U.=duU.J=UI.UJ.('GI,Jcos5.lJ.+B.lJ.sin5.u.)z

2013/6/7复杂电力系统潮流的计算机算法58

Jacobian矩阵的计算

•例如：“12，M2

n

4(u,8)=U》Uj(G17.COS凡+B、jsin凡)

./=!

=uSu,(Gcos5..+Bnsin^..)+t/(Gcosa+Bsin^)+

XI1\nXJLJLJLJLJlXI./9乙