2020-2021学年安庆市高一年级上册期末数学试卷(附答案解析)

2020-2021学年安庆市高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1,设函数f(x)=ln(l—|x|)的定义域为M,不等式龙〉。的解集为N,则MnCRN为()

A.(0,1)B.[0,1]C.[0,1)D.(-1,0]

2.集合M={Q,y)|x,yeZ,仇2+ln(4-x)(4+y)22m(y-％+6),则集合M的元素个数为()

A.13B.12C.11D.10

3,若募函数/'(X)=”在(0,+8)上是减函数，则k可能是()

A.1B.2C.-D.—1

4.在AABC中，若sin(4+B+C)=sin(a-B+C),则△4BC的形状一定是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形

5.10.已知函数尸/团是定义在R上的奇函数，且当时，/成立，若

”岛幽b=(lg3)〃郎=2/(2),则a,b,c的大小关系是()

A-c<h<aB-c<hc-a<h<cD-a<c<h

6.已知3>0,101<]，若％=g和X=等是函数f(x)=COS(3X+0)的两个相邻的极值点，则0=

()

A7171

A，6B-V(->D.Y

则代数式空萼二二2盥的值是()

7.已知向量W=(cos。,sine),E=(1，一2)，若W//b»

sin9+cos

R3

A，-2B-4C.5-1

8.在△ABC中，迷风盛=—，就蟠激=—,则公⑯制窗的值为()

:耀5

「嬲

A.——或一B.——或一C.—D.——

雕

9.函数/(%)=Asin(a)x+p)(其中A>0,3>0,|包<今的部分图象

如图所示，则函数/(%)的解析式为()

A.y=sin(2x+-)

/6

B.y=sin(x+.)

C.y=sin(2x+g)

D.y=sin(4x+%)

10.已知函数〃%)=嘤"，给出三个命题：①f(%)的最小值为-4,②/(%)是轴对称图形，

X3%十3

@/(x)<4兀］用.其中真命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

11.已知函数八%)=仁：二；'：窑是奇函数，则9(—2)的值为()

A.0B.—1C.—2D.—3

12.函数f(%)=3X-3一是()

A.奇函数，且在(-00,+8)上是增函数

B.奇函数，且在(一8,+8)上是减函数

C.偶函数,且在(一00,+00)上是增函数

D.偶函数，且在(-8,+8)上是减函数

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数/Xx)在口句上有定义，若对任意打，%2G［a,b］,有/■(弩)3与/(久1)+/(%2)］，则称/(%)

在阿药上具有性质P.设f(x)在［1,2015］上具有性质P.现给出如下命题：

①/(%)在［1,2015］上不可能为一次函数；

②函数/(久2)在［1,夜U西上具有性质P;

③对任意X1，%2,％3,X4£［1,2015］,有/(%+冷:邻+♦)W;［/(%］)+f(冷)+f有3)+f(久4)］；

④若/(%)在％=1008处取得最大值2016,则/(%)=在16,%E［1,2015］.

其中真命题的序号是.

14.已知角a,£E(0(),且tan(a+S)=—3,sin(i=2sin(2a+/?),则仇=.

15.函数/(%)=arcsin(cosx),xG序争的值域为.

16.函数y=log2(l+sinx)+log2(l-sinx),当久e［一，§时的值域为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知集合=铜Q-窃:一冬<嵋油二森［需”士w书史蹴

⑴当㈱=卷时，求凶2.激;

(2)若痛二场那f,求函的取值范围.

一,小，，、，,.,、cos(-+a)sin3(-Tt-a),,,,

18.(1)已知角a终边上一点P(-4a,3a),a工0,求一岛一、.？E一;的值.

cos(------a)sinz(一+a)

1

(2)已知txma=3,求:的值.

2sinacosa+cos2a

19.已知在△ABC中，角B,C的对边分别为Q,b,c,bsinBtanC—bcosB=asinAtanC-acosA.

(1)求证：A=B；

(2)若c=g,cosC=求△ABC的周长.

20.已知"n)=cos7,求值：/(I)./(3)•..../(2n-1).

21.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品

全部退回，则每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.

(I)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：件，neN)的

函数解析式；

(口)商店记录了50天该商品的日需求量(单位：件)，整理得表：

日需求量7189101112

频数101015105

①假设该店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润(单位：元)的平均数；

②若该店一天购进10件该商品，记“当天的利润在区间[400,550]”为事件4求P(4)的估计值.

22.已知角a的顶点在坐标原点，始边与％轴的正半轴重合，终边经过点(?n,n),mn0,且cos(0-

7T)=x(n<jg<y),求sin(a—£)(用含m,n,x的形式表示)

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：不等式/一X>0的解集N={x\x>1或x<0},

CRN={x|0<x<1},

/(%)=In(l一|x|)的定义域M={x|-1<x<1},

则MClCRN={x|0<%<1}.

故选：C.

先解一个一元二次不等式得出集合N进而得到N的补集，再根据题目中使函数有意义的x的值求得函

数的定义域M,再求它们的交集即可.

本题属于以不等式和函数的定义域为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型.属于

基础题.

2.答案：D

解析:解:ln2+ln(4—x)(4+y)>2ln(y—x+6),

•••2(4-%)(4+y)>(y—x+6)2,

32—8x+8y—2xy>y2+x2+36—2xy+12y—12x,

x2+y2—4x+4y+4<0,

(%-2)2+(y+2)2<4,

x,y为整数，

・••有以下几组解：

|%-2|=0,|y+2|=0,1,2,

即久=2；y=一1>一2,—3；0,—4；

|x-2|=1,|y+2|=0,1,即x=3,1,y=—2,—1,—3；

|x-2|=2,|y+2|=0,即x=0,4,y=-2还必须满足(4一x)(4+y)>0,y-x+6>0,所

以(2,—4)(3,—3)(4,—2)是不满足的，

即共有以上5+6+2-3=10组解.即m有10个元素.

故选：D.

化简对数不等式，利用xy是整数，求出满足题意的集合M的元素个数即可.

本题考查指、对数不等式的解法，集合与元素的关系，考查分类讨论思想与应用.

3.答案：D

解析：

根据幕函数的单调性性质判断即可.

本题考察了幕函数的性质，考察函数的单调性，是一道基础题.

解：若累函数/（久）=/在（0,+8）上是减函数，

则k=l,2,手寸都是增函数，k=—1时是减函数，

故选：D.

4.答案:B

解析：解：△ABC中，若sinQl+8+C）=sin7=0=sin（4—B+C）,

二4一B+C=O,二⑶二人+0二葭，.・.△ABC的形状一定是直角三角形，

故选：B.

由题意可得0=sin（2-B+C）,A-B+C=0,即8=A+C=^,可得△4BC的形状一定是直角三

角形.

本题主要考查两角和的正弦公式，判断三角形的形状，属于基础题.

5.答案：B

解析：分析：求解本题的入手点在于通过硬':嫁:“:我:-蹴利用导数确定函数域『礴的单调性，进

而通过单调性由自变量的大小得到函数值的大小

解：函数般=.翼潴是定义在实数集R上的奇函数，二到-减=-河礴燎燧v舞-蹴整理为

xFif'd-ff-'«■1«■<颂即看喻品#©

二（球I：•喇「《：聊二例砌I是减函数,因为1g3<4•：：2,所以r<h-,故选2

6.答案：B

解析：解：,；3>0,101<5，若X=g和％=等是函数/'（X）=COS（a）X+0）的两个相邻的极值点，

27r4?r7Tc

——=----9CO=2.

co33

再根据34+3=忆兀+壬3.等+W=左兀+2兀+%.•・3=2,则0=—也

故选：B.

利用余弦函数的图象特征，余弦函数的极值，余弦函数的周期性，求得9的值.

本题主要考查余弦函数的图象特征，余弦函数的极值，余弦函数的周期性，属于中档题.

7.答案：C

解析：本题考查的知识点是三角函数的化简求值和平面向量共线的充要条件，

Q•Q_Q

^//^>贝|1-2（：0$6-5m6=0=51116=-2（：058,所以一^^———=5,故选C.

smy+cosy

8.答案：D

解析：试题分析：因为腐整图'=上,所以B为锐角，sinB=$1—鹤斯锻=土又端媪,盛=:，三角

ss:n

形2BC中，4>B与sinA>sinB等价。所以2为锐角，瞬混魂=«，-赢/.题=匕，

：1公圈套41g

cosC=COS\n-M+B)1=—cosM+B)=-cosAcosB+sinAsinB=——X—+—X—=——,

H5HS磁

故选。。

考点：本题主要考查两角和的三角函数，同角公式，诱导公式，三角函数的性质。

点评：易错题，利用s讥B>si加4,推出4是锐角，是防止出错的一个关键点。

9.答案：A

解析：解：由图可知：2=1,弓=弓兀一2=7，二7=兀，3=夺=2,

41264T

代入点场,1)得1=sin(2><t+0),・・.0+[=(+2k7r,kEZ,

.・・y=sin(2x+

故选：A.

由图观察出/和「后代入最高点，利用101Vm可得.

本题考查了由y=Asin(ajx+9)的部分图象确定其表达式，属中档题.

10.答案：D

解析：解：①若f。)的最小值为-4等价为争粤N-4恒成立，且能取等号,

BP4%2—12%+12+3s讥(71%)>0恒成立，

设0（%）=4/—12%+12+3sm（71%）,则g（%）=4（%—1）2+3+3sm（7rx）>3+3sin（7ix）>0,

当％=弓时，5(x)=3+3sm|7r=3-3=0,即0能取到，故①正确，

②X=|是y=3s讥(兀%)和y=/—3%+3共同的对称轴，

.•・％=|是/(%)的对称轴，即/(%)是轴对称图形，故②正确，

(3)Vy=%2—3x+3=(%—|)2+^>^,

・・・

/(%)<|/(%)|<|3s受|=4\sinnx\9

4

只要证明|s讥九x|W兀|x|,即可，

设|s讥t|<\t\,(t>0)

当t>1时不等式恒成立，

当0<t<1时，即证明sint<t,

设h(t)=sint—t,h'(t)=cost-1<0,即h'(t)在0<t<1上是减函数,

则％(t)—sint—t<h(0)=sinO—0=0,

即sint<t成立,

综上，41s讥7rxi<4兀|刈成立，故③正确，

故三个命题都是真命题，

故选：D.

根据条件分别进行判断即可.

本题主要考查命题的真假判断，涉及最小值，对称性以及不等式的证明，涉及的知识点较多，综合

性较强，考查学生的运算和推理能力.

11.答案：C

解析：解：是奇函数,

・•./(-2)=(-2尸一g(—2)=—/(2),

即4-g(—2)=_(-8+2)=6,

即9(—2)=4—6=—2,

故选：C.

根据函数f(x)是奇函数，进行转化求解即可.

本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化求解是解决本题的关键.

12.答案：A

解析：解：•."(%)=3,一3-3

/(-x)=3T-3X=-(3X-3-x)=-/(x),

・•.f(x)=3,一3-x为奇函数,故可排除C,D；

又/''(%)=3xln3-[(3-x)3)X(-1)]

=Zn3(3x+3-x)>0,

.•./(%)=3，—3-x在(_8,+8)上是增函数，4符合题意,可排除B；

故选：A.

利用奇偶函数的概念与函数单调性的性质即可求得答案.

本题考查函数的奇偶性，考查函数单调性的判断与证明，考查排除法的应用，属于中档题.

13.答案：③④

解析：解：不妨设/⑺=x，则对任意x2e[a,b],有/(臂)=|[/(xO+/(x2)],故①不正确;

不妨设/。)=-%，则函数/(，)=-/在[1,何正]上不具有性质p,故②不正确；

•・,对任意%1，%2，%3,X4G[1,2015],

/(弩)<I[/(Xi)+八右)],/(弩)<|[/(x3)+

Xl+X2|X3+X4

<1(/(詈)+“/))<；[/(/)+/(X2)+/(%3)+/(应)]；

即/广+次：+为w1+汽应)+/。3)+/(应)]；故③正确；

在[1,2015]上，/(1008)=*+2：6T)+/(2oi6-%)),

7(x)+/(2016-x)>4032

.•一f[x)</(1008)=2016,

/(2016-x)</(1008)=2016

故(fx)=2016,

故/(x)=2016,x6[1,2015],故④正确;

故答案为：③④.

不妨设/(x)=x,从而证明①不正确；不妨设/(%)=-X,从而证明②不正确；证明③，④正确即

可.

本题考查了学生对新定义的接受与应用的能力.

14.答案：：

解析：解：•••sin/3=2sin(2a+£),.•.sin[(a+/?)—a]=2sin[(a+£)+a],

•••sin(a+Qcosa—cos(a+0)sina=2sin(a+B)cosa+2cos(a+B)sina,

化简可得sin(a+0)cosa=-3cos(a+0)sina,即tan(a+£)=-3tana,

且tan(a+/?)=—3,化简可得tcma=1.

再由角a,6e(0,-可得a=?,

故答案为，

15.答案：[冶方

解析：解―覃河••・cosxG[-今争，

71n

•••/(%)=arcsin(cos%)6

'34

故答案为：[-(丁

推导出cosxe[-日,苧，由此能求出/'(久)=arcsin(cosx)的值域.

本题考查反三角函数的值域的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反三角函数的性质的合理

运用.

16.答案：[—1,0]

smx

解析:解:由题意，y=log2(l+sinx)+log2(l—sinx)=log^~^^

…[-岳]，

.•.当x=0时，ymax=log2l=0,当久=3时，ym讥=-1,

•••ye[-1,0]

故答案为：[-1,0]

由题意由对数的运算性质对函数解析式进行化简，再根据给出的定义域和正弦函数的图象求出函数

的最值，最后值域要用区间表示.

本题考查了利用对数的运算性质化简对数函数的解析式，进而利用正弦函数的图象和函数的定义域

求出其值域，最后结果要用集合或区间表示.

17.答案：(1)2通'=[7!阊⑵耀演匾或如:-4

解析：试题分析：，&=朝-：1区；"赞

(1)由嬲=与得，瘴=[4期],

则，悬一通'=[7阊

(2)由工喙翻点得,

解得嬲制窗或幽I"：-4

考点：集合的交并补运算及包含关系

点评：集合的并集即两集合中所有元素构成的集合，补集即全集中除去该集合中的元素剩余的元素

构成的集合。集合运算常借助于数轴求解

18.答案：解：⑴•••角a终边上一点P（—4a,3a）,a¥0,

y3y3a

・•・tana=-——,sina=-

X4r|5a|'

-sinasin3a

••・原式==tan2asiria=I>>。）

-sinacos2a嚏（"°）

(2)tana=3,

.盾才_sin2a+cos2a_tan2a+l_9+1_10

2sinacosa+cosza2tana+l6+17

解析：（1）利用任意角的三角函数定义，根据P坐标求出tcma与sina的值，原式利用诱导公式化简,

约分后将各自的值代入计算即可求出值；

（2）原式分子“1”利用同角三函数间基本关系化简，分子分母除以cos2a,利用同角三角函数间基本

关系弦化切后，将tana的值代入计算即可求出值.

此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握基本关系是解

本题的关键.

19.答案：解：(1)证明：bsinBtanC—bcosB=asinAtanC—acosA,

bsinBsinC7二asinAsinC.

-bcosB-CLCOSA,

cosCcosC

•••bsinBsinC—bcosBcosC=asinAsinC—acosAcosCf

••・acos(A+C)=bcos(B+C),

又•・•/+8+C=7T,

・••—acosB=—bcosA,

・•・—sinAcosB=—sinBcosA,

sin(Z—B)=0,

•-A-B=k7i(kEZ),

又•・,4BG(0,7r),

A=B.

(2)•••由(1)可知/=可得a=b,

3

又c=V3>cosC=

4

.3_a2+a2-(V3)2_2a2-3

——---------------，

42aa2a2

a2=b2=6,可得a=b=V6,

•••△ABC的周长a+/?+c=2V6+V3.

解析：(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求sin(4-B)=0,可得4-B=kn(kGZ),

结合范围4Be(0,7T),即可得证4=B.

(2)由(1)可得a=b,进而根据余弦定理可求a=b=&,即可求解△ABC的周长.

本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，

属于基础题.

20.答案：解：/(I)=COS^=y,f(3)=—

f⑸=一争，/(7)=y=/(l)-

•••f⑴•f⑶■"(2n-1)=(-1尸・守

解析：此题考查了求函数解析式求函数值，考查学生的计算能力，比较基础.

/(n)=co