专题06一元二次方程根的判别式（3个知识点3种题型1种中考考法）（原卷版）

专题06一元二次方程根的判别式（3个知识点3种题型1种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.一元二次方程根的判别式知识点2.一元二次方程根的判别式的应用知识点3.一元二次方程的根与系数的关系【方法二】实例探索法题型1.不解方程，判别方程根的情况题型2.一元二次方程根的判别式的应用题型3.根与系数关系的应用【方法三】仿真实战法考法1.根的判别式【方法四】成果评定法【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【例1】（2021·上海市康城学校八年级期末）在下列方程中，有两个不相等实数根的是（）．A． B．C． D．知识点2.一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.【例2】（2020·上海松江·八年级期末）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是___________．【变式】（2020·上海市育才初级中学）关于的方程有两个相等的实数根，则_______．知识点3.一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【例3】（2021秋•普陀区校级月考）阅读下列材料：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）我们知道当△＝b2﹣4ac≥0时，这个方程的两个实数根可以表示为x1＝，x2＝；此时两根之和为：x1+x2＝，两根之积为：x1•x2＝．这就是一元二次方程的根与系数关系定理：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，那么x1+x2＝﹣，x1•x2＝，利用一元二次方程的根与系数关系定理我们不解方程直接求出方程的两根之和与两根之积．例如，已知x1，x2分别为一元二次方程2x2﹣x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝＝＝﹣．回答下列问题：（一）已知x1，x2分别是一元二次方程﹣x2＝x﹣4的两根，则x1+x2＝，x1•x2＝，x12+x22＝，+＝．（二）已知关于x的方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）若x1，x2满足（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝1，则k＝；（2）当+﹣2的值为整数时，求整数k的值．【变式】（2021秋•杨浦区校级期中）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0，是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（2x2﹣x1）+20＝0成立？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由．【方法二】实例探索法题型1.不解方程，判别方程根的情况1．不解方程，判断方程根的情况：（1）4y（4y﹣6）+9=0．（2）2y2+5y+6=0．（3）2x2=3x+1．2.已知关于的方程．不解方程，判断该方程根的情况；题型2.一元二次方程根的判别式的应用3．（2020·上海外国语大学附属双语学校八年级期中）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求方程的解．4．（2020·上海金山区·八年级期中）已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根．5．（2020·上海闵行区·）已知关于x的一元二次方程（m为常数）．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的取值；（3）如果方程没有实数根，求m的取值范围；6．（2020·上海市育才初级中学）已知关于的方程，当取何值时，此方程（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．7．（2020·上海浦东新区·八年级期中）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，其中a＝4，b和c是关于x的方程x2﹣mx+3m＝0的两根，求m的值．8.已知a、b、c为三角形的三边，求证：方程a2x2(a2+c2b2)x+c2=0没有实数根.9.已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长题型3.根与系数关系的应用10.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．x2＋4x＝0；(2)2x2－3x＝5.11.若一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．12.关于x的一元二次方程－x＋p－1＝0有两实数根、．（1）求p的取值范围；（2）若p=0，求的值；（3）若[2＋（1－）][2＋（1－）]＝9，求p的值．13、已知关于x的一元二次方程．（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根为，，且，求m的值．14.已知关于的一元二次方程.（1）求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一根为3，求另一个根.15.已知关于x的方程.（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.16.已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．【方法三】仿真实战法考法1.根的判别式1．（2023•上海）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0没有实数根，那么a的取值范围是．2．（2022•上海）已知x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．3．（2021•上海）若一元二次方程2x2﹣3x+c＝0无实数根，则c的取值范围为．4．（2020•上海）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）要使方程有实数根，则条件是（）A．， B．，C．，，异号或 D．，2．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）对于二项方程，当为偶数时，已知方程有两个不相等的实数根，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．3．（2023·上海·八年级假期作业）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且4．（2021秋·上海·八年级统考期中）下列关于x的一元二次方程中，一定有实数解的是（

）A． B． C． D．5．（2021秋·上海青浦·八年级校考期末）关于的一元二次方程的根的情况（

）A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．由的取值确定6．（2022秋·上海·八年级校考期中）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且二、填空题7．（2022秋·上海宝山·八年级校考期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是．8．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为．9．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）已知m是常数，那么关于x的方程根的情况是.10．（2021秋·上海虹口·八年级统考期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．11．（2023春·上海·八年级上海民办南模中学校考阶段练习）若一元二次方程有实数根，求的取值范围．12．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）如果关于x的一元二次方程没有实数根，那么m的取值范围是．13．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）关于的一元二次方程有两个相等的实数解，则14．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）已知关于的方程的判别式的值为13，则．15．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）一元二次方程的根的情况是．16．（2021秋·上海青浦·八年级校考期末）一元二次方程的根的判别式为．17．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）当时，有两个不相等的实数根．18．（2021秋·上海·八年级期中）已知等腰△ABC的两边是关于x的方程x²3mx+9m=0的两根，第三边的长是4，则m=.三、解答题19．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）已知关于的一元二次方程有一个根为，求这个方程的根的判别式的值．20．（2022秋·八年级统考期中）若关于的一元二次方程有实数根，求能取的正整数值．21．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）已知关于的方程和有公共根，求：的值．22．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）若方程没有实数根，试判断方程根的情况并说明理由．23．（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）已知关于的方程，当k是什么实数时，有两个相等的实数根，并且求出这两个根．24．（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）已知关于x的一元二次方程（m为实数）．(1)如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．(2)如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．(3)如果该方程没有实数根，求m的取值范围．25．（2022秋·上海杨浦·八年级统考期中）已知关于的一元二次方程．(1)如果方程有两个实数根，求的取值范围；(2)如果等腰三角形的一条边长为，其余两边的边