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文档简介
第四章导数及其应用4.3.2函数的极大值和极小值4.3导数在研究函数中的应用学习目标重点难点1.结合图象,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.理解函数极值的概念.3.能结合图象直观理解函数的极值与导数的关系.4.会求函数的极值,并能确定是极大值还是极小值.5.学会使用列表的方法来研究函数的极值与单调情况.1.重点:理解函数的极值的概念,并会求函数的极值.2.难点:会用导数研究函数极值.1.函数的极值的有关概念在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在_________________都_______x0点的函数值,称点____为函数y=f(x)的___________,其____________为函数的________.在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在________________都______x0点的函数值,称点____为函数y=f(x)的___________,其____________为函数的_________.极大值与极小值统称为_______,极大值点与极小值点统称为_________.任何一点的函数值小于x0极大值点函数值f(x0)极大值任何一点的函数值大于x0极小值点函数值f(x0)极小值极值极值点温馨提示:(1)极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值相比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(3)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能是区间的端点.2.求函数极值点的步骤(1)求出_____________.(2)解方程f′(x)=0.(3)对于方程f′(x)=0的每一个解x0,分析f′(x)在___________________[即f(x)的单调性],确定极值点:①若f′(x)在x0两侧的符号“____________”,则x0为极大值点;②若f′(x)在x0两侧的符号“___________”,则x0为极小值点;③若f′(x)在x0两侧的_____________,则x0不是极值点.导数f′(x)x0左右两侧的符号左正右负左负右正符号相同一般地,求函数y=f(x)的极值点的方法如下:解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时,(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么x=x0是极大值点.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么x=x0是极小值点.求函数的极值点
求函数f(x)=3x3-x+1的极值点.[思路点拨]先求导,再令导函数为0.再对导函数为0的自变量的值进行判断是极大值点还是极小值点.
【点评】使f′(x)=0的解不一定是极值点.f′(x)在x=x0处左右两侧变号,从左向右,若由正变负则x=x0是极大值点,若由负变正则x=x0是极小值点.答案:(1)C
(2)A函数的极值研究是导数应用的关键知识点,可加深对函数单调性与其导数关系的理解.函数y=f(x)的导数存在时,f′(x0)=0是函数y=f(x)在x=x0处有极值的必要条件,只有再加上x0两侧附近的导数的符号相反,才能断定函数y=f(x)在x=x0处取得极值.求函数的极值
求下列各函数的极值:
[思路点拨]按照求极值的方法,首先从方程f′(x)=0入手求方程的根,再研究各根左右的符号.【点评】求极值的步骤如下:(1)求导f′(x);(2)令f′(x)=0;(3)解方程;(4)列表;(5)判断并求出极大(小)值.
已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,求常数a,b的值.由函数的极值(点)求参数值(范围)【点评】
f′(x0)=0是x=x0为极值点的必要不充分条件.根据极值定义,函数先减后增为极小值,函数先增后减为极大值.若未验证x=-1两侧函数的单调性,则会错.3.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是______________.解析:f′(x)=3x2+2ax+(a+6),若函数f(x)有极大值和极小值,则f′(x)有两个零点.令f′(x)=0,则Δ=(2a)2-4×3(a+6)>0.解得a<-3或a>6.答案:(-∞,-3)∪(6,+∞)1.按定义,极值点x0是区间[a,b]内部的点,不会是端点a,b.2.极值是一个局部性概念,只要在一个小邻域内成立即可.3.极大值与极小值没有必然的大小关系,也不唯一.4.在区间上单调的函数没有极值.5.对于可导函数来说,y=f(x)在极值点处的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点.例如,函数y=x3在x=0处,f′(0)=0,但x=0不是函数的极值点.6.可导函数f(x)在x0取得极值的充要条件是f
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