考研数学二(常微分方程)模拟试卷27(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）模拟试卷27(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为()A．y=Cy1(x)。B．y=Cy2(x)。C．y=C1y1(x)+C2y2(x)。D．y=C[y1(x)一y2(x)]。正确答案：D解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C[y1(x)一y2(x)]为该方程的解。故选D。知识模块：常微分方程2．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为()A．y=C1x+C2x2+ex。B．y=C1x2+C2ex+x。C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x。D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)。正确答案：C解析：方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x。故选C。知识模块：常微分方程3．函数y=C1ex+C2e—2x+xex满足的一个微分方程是()A．y’’一y’一2y=3xex。B．y’’一y’一2y=3ex。C．y’’+y’一2y=3xex。D．y’’+y’一2y=3ex。正确答案：D解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2。因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0，故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0。又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为f(x)=Cex(C为常数)。比较四个选项，故选D。知识模块：常微分方程4．微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为()A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)。C．y*=ax2+bx+c+Asinx。D．y*=ax2+bx+c+Acosx。正确答案：A解析：对应齐次方程y’’+y=0的特征方程为λ2+1=0。特征根为λ=±i，对于方程y’’+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，从而其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c，对于方程y’’+y=sinx，i为特征根，从而其特解形式可设为y2*=(Asinx+Bcosx)，因此y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为y*=ax2+bc+c+x(Asinx+Bcosx)。故选A。知识模块：常微分方程填空题5．微分方程的通解为______。正确答案：y=x·eCx+1解析：令y=xu，代入原方程，则有xu’+u=ulnu，即两边求积分，即得ln｜lnu一1｜=ln｜x｜+C，去掉对数符号与绝对值符号得y=xeCx+1，C为任意常数。知识模块：常微分方程6．微分方程3extanydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是______。正确答案：tany=C(ex一1)3解析：两边同乘以，方程分离变量为即得积分得ln｜tany｜=3ln｜ex一1｜+C。所以方程有通解为tany=C(ex一1)3。知识模块：常微分方程7．微分方程满足y｜x=1=1的特解为______。正确答案：1490解析：令，则原方程变为，分离变量得两边积分得即也就是将y｜x=1=1代入上式得C=e。故满足条件的方程的特解为整理得，x＞e—1。知识模块：常微分方程8．微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=的特解为______。正确答案：解析：原方程可等价为于是通解为由解得C=0。故所求特解为知识模块：常微分方程9．微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是______。正确答案：x=y2+y解析：将x看作未知函数，则，即上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则=elny(∫y·e—lnydy+C)=y(∫dy+C)=y(y+C)，将x=2，y=1代入，得C=1。故x=y2+y。知识模块：常微分方程10．设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为______。正确答案：y’’一2y’+2y=0解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是λ1，λ2=1±i，因此特征方程为(λ—λ1)(λ—λ2)=λ2一(λ1+λ2)λ+λ1λ2=λ2一2λ+2=0，故所求微分方程为y’’一2y’+2y=0。知识模块：常微分方程11．微分方程y’’+2y’+5y=0的通解为______。正确答案：y=e—x(C1cos2x+C2sin2x)解析：由题干可知，方程y’’+2y’+5y=0的特征方程为λ2+2λ+5=0。解得则原方程的通解为y=e—x(C1cos2x+C2sin2x)。知识模块：常微分方程12．二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=______。正确答案：y=C1ex+C2e3x—2e2x解析：特征方程为λ2一4λ+3=0，解得λ1=1，λ2=3。则对应齐次线性微分方程y’’一4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x。设非齐次线性微分方程y’’—4y’+3y=2e2x的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=一2。故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x。知识模块：常微分方程13．三阶常系数线性齐次微分方程y’’’一2y’’+y’一2y=0的通解为y=______。正确答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx解析：微分方程对应的特征方程为λ3一2λ2+λ一2=0。解上述方程可得其特征值为2，±i，于是其中一组特解为e2x，cosx，sinx。因此通解为y=C1e2x+C2cosx+C3sinx。知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14．求微分方程y’’一a(y’)2=0(a＞0)满足初始条件y｜x=0=0，y’｜x=0=一1的特解。正确答案：令y’=p，则将之代入原方程，得分离变量并积分由此得=ax+C1，由x=0，y=0，y’=p=一1，得C1=1，即，即故有由x=0，y=0，得C2=0，所以涉及知识点：常微分方程15．设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记α为曲线l在点(x，y)处切线的倾角，若，求y(x)的表达式。正确答案：由，两边对x求导得即(1+y’2)y’=y’’，因此可知令y’=p，，于是有=p(1+p2)，分离变量得两边求积分得=x+C1，代入y’(0)=1，得C1=因此即可得由y(0)=0，且再次积分可得涉及知识点：常微分方程16．设y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。正确答案：由题设及曲率公式，有(因曲线y=y(x)是凸的，所以y’’＜0，｜y’’｜=一y’’)化简得，改写为两端同时积分解得arctany’=一x+C1。(1)由题设，曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，可知y(0)=1，y’(0)=1。将x=0代入(1)式，得C1=。由arctany’=一x+，故(本题选择是因为已知曲线在x=0处有值，且曲线是一条连续曲线，因此该解的范围应该包含x=0在内并且使y(x)连续的一个区间。)对(2)式积分得又由题设可知y(0)=1，代入上式，得，于是所求的曲线方程为由于，且lnx在定义域内是增函数，所以当且仅当时，y取得最大值，由于，所以此时y取极大值，极大值为，显然y在没有极小值。涉及知识点：常微分方程17．设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求曲线y=y(x)的方程。正确答案：设曲线y=y(x)上的点P(x，y)处的切线方程为Y一y=y’(X—x)，它与x轴的交点为由于y’(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)。于是又可得S2=∫0xy(t)dt。根据题设2S1一S2=1，有一∫0xy(t)dt=1，并且y’(0)=1，两边对x求导并化简得yy’’=(y’)2，这是可降阶的二阶常微分方程，令p(y)=y’，则上述方程可化为分离变量得从而有y=C2eC1x。根据y’(0)=1，y(0)=1，可得C1=1，C2=1。故所求曲线的方程为y=ex。涉及知识点：常微分方程18．设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式。正确答案：由题意得SOCMA=[1+f(x)]，SCBM=∫x1f(t)dt，所以两边对x求导即有1+f(x)+xf’(x)一2f(x)=x2。当x≠0时，化简得，即此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为=x2+1+Cx。曲线过点B(1，0)，代入上式，得C=一2。所以f(x)=x2+1—2x=(x一1)2。涉及知识点：常微分方程19．假设：①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2；③曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度。求函数y=f(x)的表达式。正确答案：由题设可得∫0xf(x)dx=ex一1一f(x)，两端求导，得f(x)=ex一f’(x)，即f’(x)+f(x)=ex。由一阶线性方程求解公式，得f(x)=e—x(∫ex·exdx+C)=Ce—x+ex。由f(0)=0得C=，因此所求函数为f(x)=(ex一e—x)。涉及知识点：常微分方程20．如图所示，C1和C2分别是(1+ex)和y=ex的图象，过点(0，1)的曲线C3是一单调增函数的图象。过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图形的面积为S2(y)。如果总有S2(x)=S2(y)，求曲线C3的方程x=φ(y)。正确答案：由已知条件S2(y)=∫1y[lnt一φ(t)]dt，故有(ex一x一1)=∫1y[lnt一φ(t)]dt，而y=ex，于是(y—lny一1)=∫1y[lnt一φ(t)]dt，两边对y求导得故所求的函数关系为涉及知识点：常微分方程21．设曲线y=f(x)，其中y=(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。正确答案：根据旋转体的体积公式V=∫1tπf2(x)dx=π∫1tf2(x)dx，而曲边梯形的面积为s=∫1tf(x)dx，则由题意可知V=πts可以得到V=π∫1tf2(x)dx=πt∫1tf(x)dx，因此可得∫1tf2(x)dx=t∫1tf(x)dx。上式两边同时对t求导可得f2(t)=∫1tf(x)dx+tf(t)，即有f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx。继续求导可得2f(t)f’(t)—f(t)一tf’(t)=f(t)，化简[2f(t)一t]f’(t)=2f(t)，即有解这个微分方程得在f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx中令t=1，则f2(1)一f(1)=0，又f(t)＞0，即f(1)=1，将其代入，得。所以。因此该曲线方程为涉及知识点：常微分方程22．设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1。对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式。正确答案：旋转体的体积公式V=∫0tf2(x)dx，侧面积公式S=2一π∫0tf(x)，根据已知∫0tf2(x)dx=∫0tf(x)。上式两端对t求导得即由分离变量法解得将y(0)=1代入，知C=1，故因此，所求函数为y=f(x)=(ex+e—x)。涉及知识点：常微分方程有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。23．根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；正确答案：设在t时刻，液面的高度为y，此时液面的面