第二课时指数函数的图象和性质(二)(原卷版)

第二课时指数函数的图象和性质(二)课标要求1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.2.能判断与证明指数型函数的单调性.3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式.素养要求1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养.2.借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算和数学抽象素养.1.思考对于函数y＝af(x)(a>0，a≠1)，其定义域为区间I，若令t＝f(x)，则y＝at.(1)当a>1时，在区间I上，如果t随x的增大而增大，那么y随t怎样变化？y随x怎样变化？(2)当0<a<1时，在区间I上，如果t随x的增大而增大，那么y随t怎样变化？y随x怎样变化？2.填空一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质：(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有的定义域.(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有的单调性.3.做一做(1)函数f(x)＝4－x2＋2的单调递增区间是________，单调递减区间是________.(2)若2x＋1<1，则x的取值范围是________.4.思考辨析正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)若函数g(x)＝af(x)(a>0，a≠1)，则g(x)与f(x)的定义域与值域相同.()(2)函数y＝4－|x|的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0).()(3)若a>1，则当f(x)有最大值时，g(x)＝af(x)也有最大值.()(4)若函数g(x)＝af(x)(a>0，且a≠1)的值域为(0，＋∞)，则f(x)的值域必为R.()重点题型题型一比较两数的大小例1(1)下列大小关系正确的是()3<3<π0 3<π0<33<π0 0<33(2)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.b<c<a思维升华比较幂值大小的三种类型及处理方法训练1设y1＝4，y2＝8，y3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1.5)，则()A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2题型二解简单的指数型不等式例2(1)解不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3x－1)≤2；(2)已知ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，且a≠1)，求x的取值范围.思维升华1.利用指数函数的单调性解不等式时，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.2.解不等式af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要先判断底数的取值范围，若底数不确定，则需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）>g（x），a>1，,f（x）<g（x），0<a<1.))训练2(1)不等式2x2＋2x－4≤eq\f(1,2)的解集为()A.[－1，3] B.[－3，－1]C.[－3，1] D.[1，3](2)若存在正实数x使2x(x－a)<1，则a的取值范围是()A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞)题型三指数型函数的单调性及最值例3(1)若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))(2)判断f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x2－2x)的单调性，并求最值.思维升华1.指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定：一是底数；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成.2.求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性求出y＝f[φ(x)]的单调性.训练3求函数y＝9x－2·3x＋3的单调区间，并求出函数的值域.题型四指数函数图象和性质的综合应用例4已知定义域为R的函数f(x)＝eq\f(－2x＋a,2x＋1)是奇函数.(1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.思维升华解决指数函数图象和性质综合问题的注意点(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.训练4已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2)))·x3.(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)证明：f(x)>0.[课堂小结]1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am<c且c<bn，则am<bn；若am>c且c>bn，则am>bn.2.指数型复合函数的单调性，注意两点：(1)定义域的限制条件；(2)底数a的取值的影响.3.解简单指数不等式问题的关键是利用指数函数的单调性转化为一般不等式，有时需要对底数进行讨论，有时需借助图象求解.课后训练A一、单选题1．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．不存在，2．已知，当时，的大小关系为A． B． C． D．3．函数的定义域为，值域为，变动时，点的集合所表示的图形可以是（

）A． B．C． D．4．在平面直角坐标系中同时作出函数和的图象，可能是（

）A． B．C． D．5．已知函数（其中且），若当时，恒有，则a的取值范围是（）A． B．C． D．6．函数的图像大致是（

）A． B．C． D．二、多选题7．关于函数，下列说法正确的是（

）A．是奇函数B．是偶函数C．在内递减，在内递增D．在内递增，在内递减8．已知函数的定义域为，，，且当时，，则以下结论正确的是（

）A． B．在内零点之和为6C．在区间内单调递减 D．在内的值域为三、填空题9．无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，该定点坐标为.10．函数（且）的图象过一个定点,且点在直线上,则的最小值是.11．关于的方程在上有解，则的取值范围为.12．已知函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为.四、解答题13．已知，求函数的最大值．14．已知函数.（1）若为奇函数，求的值；（2）在（1）的条件下，求函数的值域.15．已知函数奇函数．(1)求a的值；(2)判断在上的单调性并用定义证明；(3)设，求在上的最小值．16．求函数的单调区间.课后训练B一、基础达标1.f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)，x∈R，那么f(x)是()A.奇函数且在(0，＋∞)上是增函数B.偶函数且在(0，＋∞)上是增函数C.奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D.偶函数且在(0，＋∞)上是减函数2.若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2a＋1)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(8－2a)，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，＋∞)) B.(1，＋∞)C.(－∞，1) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,4)))3.已知a＝3，b＝－3，c＝(－3)，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a4.(多选)已知实数a，b满足等式2022a＝2023b，下列等式可以成立的是()A.a＝b＝0 B.a<b<0C.0<a<b D.0<b<a5.函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0，1]上的最大值是()A.6 C.3 D.eq\f(3,2)6.已知函数f(x)＝eq\f(n·3x－2,3x＋1)为奇函数，则n的值为________.7.函数y＝2－x2＋ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________.8.设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up6(\f(2,5))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up6(\f(3,5))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up6(\f(2,5))，则a，b，c的大小关系是________.9.已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2－4x＋3).(1)若a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值.10.已知指数函数f(x)的图象过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)<g(3x)，求x的取值范围.二、能力提升11.设x<0，且1<bx<ax，则()A.0<b<a<1 B.0<a<b<1C.1<b<a D.1<a<b12.若2x2＋1≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－2)，则函数y＝2x的值域是________.13.已知函数f(x)＝2－x.(1)求f(0)－2eq\s\up6(\f(3,2))×eq\r(2)×2－2的值；(