四川省宜宾市第二中学2023-2024学年高二上学期期末模拟考试数学试题

宜宾市20232024年高二上期数学期末模拟考试一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数除法运算、共轭复数等知识求得正确答案.【详解】由于，所以.故选：B2.椭圆的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定焦点所在的位置，再求出即可得解.【详解】椭圆的焦点在轴上，，所以，所以椭圆的焦点坐标为.故选：D.3.已知甲乙两人投篮的命中率分别是0.5和0.9，且两人投篮相互没有影响，若投进一球得2分，未投进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为（）A.0.40 B.0.45 C.0.50 D.0.05【答案】C【解析】【分析】根据独立事件同时发生概率公式即可求解.【详解】若两人都没有投进，概率，若两人都投进，概率，则得分相等的概率.故答案为：C.4.已知抛物线C：，点F为C的焦点，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若的面积为12，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】根据直线方程求出点坐标，再由抛物线方程求出坐标，利用三角形面积求解即可.【详解】如图，直线l：中，令，可得，令，可得，所以，，由抛物线C：可得，所以，所以，解得.故选：A5.已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（）A.外离 B.相交 C.内切 D.外切【答案】D【解析】【分析】由直线平分圆求出，再判断两圆的位置关系即得.【详解】由圆面积被直线平分，得圆的圆心在直线上，即，解得，因此圆的圆心，半径，而圆的圆心，半径，显然，所以圆与圆外切.故选：D6.已知等比数列的前项和为，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求得等比数列的公比，进而求得.【详解】设等比数列的公比为，若，则，则，所以，所以，，所以，所以.故选：B7.在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用切线长相等，结合双曲线的定义求解．【详解】如图，设切线的切点分别为，则，，，，所以点轨迹是以为焦点双曲线的右支（除去与轴交点），，，，则，双曲线方程为，轨迹方程为，故选：A．8.一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据递推关系以及构造法求得正确答案.【详解】依题意，（），，当时，，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故选：A【点睛】本题首先是考查观察能力，通过观察题目所给图象，探究数列的递推关系.其次是根据递推关系求通项公式，利用的是构造函数法以及等比数列的定义，将递推关系转化为等比数列的形式，从而可利用等比数列的知识来对问题进行求解.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.直线在轴上的截距为2B.过点且与直线垂直的直线方程是C.两条平行直线与之间的距离为D.经过点且在两坐标轴上截距相等直线方程为【答案】BC【解析】【分析】结合各个选项所给条件，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.【详解】对于选项A，因为，令，得到，所以直线在轴上的截距为，故选项A错误，对于选项B，因为直线的斜率为，所以过点且与直线垂直的直线方程是，即，故选项B正确，对于选项C，由得到，所以两平行线间的距离，故选项C正确，对于选项D，当两坐标轴上截距均为时，直线方程为，所以选项D错误，故选：BC.10.数列的前n项和为Sn，，则有（）A. B.为等比数列C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列.【详解】由题得，两式相减得，即，当时，，所以数列从第项起是等比数列，所以，所以数列的通项为.当时，；当时，符合上式，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD11.设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P是C上异于､的一点，则下列结论正确的是（）A.若C的离心率为，则直线与的斜率之积为B.若，则的面积为C.若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是D.若恒成立，则C的离心率的范围是【答案】BD【解析】【分析】A.设，，所以该选项错误；B.求出的面积为所以该选项正确；C.求出，所以该选项错误；D.若恒成立，所以，所以该选项正确.【详解】解：A.设，所以，因为，所以.所以，所以该选项错误；B.若，则所以则的面积为所以该选项正确；C.若C上存在四个点P使得，即C上存在四个点P使得的面积为，所以，所以该选项错误；D.若恒成立，所以，所以，所以该选项正确.故选：BD12.如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点为上一点，且，则下列结论中正确的有（）A.正三棱台的高为B.点P的轨迹长度为C.高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内D.过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为【答案】ACD【解析】【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，对于A：根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解；对于B：根据线面夹角可得，可知点的轨迹为等边的内切圆，即可得结果；对于C：根据三棱台、圆柱的结构特征分析判断；对于D：利用等体积法求正四面体的内切球，分析可知该棱台内最大的球即为正四面体的内切球，即可得结果.【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：，在等腰梯形中，因为，，，则.即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且.对于选项A：设为等边的中心，由正四面体的性质可知：侧面，且，即点到底面的距离为，又因为，，所以正三棱台的高为，故A正确；对于选项B：因为与平面所成角的正切值为，即，解得，且等边的内切圆半径，可知点的轨迹为等边的内切圆，所以点的轨迹长度为，故B错误；对于选项C：因为正三棱台的高，且的内切圆半径为，所以高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内，故C正确；对于选项D：设正四面体的内切球半径，由等体积法可得：，解得.因为，则该棱台内最大的球即为正四面体的内切球.又因为，，，则为的中点，过点的平面正好过该内切球的球心，所以截面面积为，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：将三棱台补成三棱锥，结合题意分析可知三棱锥为正四面体，结合正四面体的性质分析判断.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线的倾斜角为______．【答案】【解析】【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【详解】设直线的倾斜角为．由直线化为，故，又，故，故答案为．【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是．14.已知，则向量在上的投影向量的坐标是__________.【答案】【解析】【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.【详解】，，所以向量在上的投影向量的坐标是：.故答案为：15.在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值______________.【答案】【解析】【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题和数列的单调性的应用求出结果．【详解】由整理得，即，又，故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，可得,不等式，可化为，令，当时，；当时，，，故当时，单调递减，故，综上，，所以，故最小值为．故答案为：16.把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，分别是“曲圆”与轴的左、右交点，分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于两点，则半椭圆方程为_________（），的周长的取值范围是_______________.【答案】①.②.【解析】【分析】由椭圆的焦点坐标以及，可得椭圆的标准方程和圆的方程，从而得到半椭圆方程；易知是椭圆的左焦点，过椭圆的右焦点的直线与曲圆可得，，在直线转动的过程中由，的位置可得三角形的周长的取值范围．【详解】解：由，令，可得以及，再由椭圆的方程及题意可得，，，由，可得，由可得，所以，所以半椭圆及圆弧的方程分别为，，所以，可得相当于椭圆的左焦点，的周长为，当从（不包括向运动时，，当在轴右侧时，，所以这时三角形的周长为8，当从向运动时，在第四象限，则，，这时三角形的周长小于8，当运动到时，在处，不构成三角形，三角形的周长接近，由曲圆的对称性可得运动到轴下方时，与前面的一样，综上所述，的周长的取值范围为，．故答案为：；．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设正项数列的前项和为，，，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和，求的值.【答案】（1）（2）99【解析】【分析】（1）由等式，得到，证明了数列是等比数列，求出公比，写出数列的通项公式即可；（2）首先将数列的通项公式代入，求出数列的通项公式，裂项相消法求其前项和即可.【小问1详解】由，得，，则，故正项数列为等比数列，由于，，则，则或（舍去）故公比，所以；【小问2详解】由（1）得：，所以，又，得，解得.18.已知圆的圆心在直线上，且与y轴相切于点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：．【答案】（1）（2）选择见解析，或【解析】【分析】（1）设圆心，易知，由圆与轴相切于点，可求以及，写出圆的方程即可.（2）所给的两个条件，均可得到直线的距离，结合点线距离公式即可求的值.【小问1详解】设圆心坐标为，半径为.由圆的圆心在直线上，知：.又∵圆与轴相切于点，∴，，则.∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.【小问2详解】如果选择条件①：，而，∴圆心到直线的距离，则，解得或.如果选择条件②：，而，∴圆心到直线的距离，则，解得或.19.第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图.（1）试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；（2）已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.【答案】（1）平均年龄岁，第75百分位数为52.5（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，可求得a值，根据频率分布直方图中平均数的求法，代数即可得平均值，根据百分位数的求法，可得答案.（2）根据分层抽样，可得医疗组抽取2人，设为a，b，服务组抽取3人，设为A、B、C，列出综合组所有可能情况，选出满足题意的情况，代入概率公式，即可得答案.【小问1详解】由题意得，解得，所以100名志愿者的平均年龄为岁，因为，，所以第75百分位数位于[50,60）内，设第75百分位数为x，则，解得，所以第75百分位数52.5【小问2详解】医疗组抽取人数为人，设为a，b，则服务组抽取52=3人，设为A、B、C，5人中选取3人组成综合组，情况可能为，共10种，至少有1人来自医疗组的情况为，共9种，所以综合组中至少有1人来自医疗组的概率20.已知双曲线的渐近线方程为，经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得，求的值及点的坐标.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，代入点即可得解；（2）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算即可求出点C的坐标及.【小问1详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线的方程为，代入可得，，解得，所以双曲线方程为，即双曲线的方程为：.【小问2详解】设，，，因为，则，，由直线与双曲线方程联立可得，，消元可得：，，，，，，解得，，，.21.如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.（1）证明：平面；（2）设点在线段上运动，平面与平面的夹角为，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理来证得平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围.【小问1详解】在梯形中，因为，，所以，所以，所以，所以．因为平面平面，平面平面，因为平面，所以平面．【小问2详解】由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则．，．设为平面的一个法向量，由得，取，则，是平面的一个法向量，，当时，有最小值，当时，有最大值．．22.已知椭圆的右焦点为，点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴