2020年、2021年北京市中考数学模拟考试试题-11图形的变化

2020和2021年北京市中考数学模拟考试试题一一专题11图形

的变化

一.选择题（共8小题）

1.（2021•丰台区一模）将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个正方形，则该正

方形的边长最接近整数（）

D.4

2.（2021•西城区一模）如图，是某几何体的三视图，该几何体是（）

A.圆柱B.正方体C.三棱柱D.长方体

3.（2021•海淀区一模）如图，在平面直角坐标系X。），中，AB,CD,EF,G，是正方形OP。/?

边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线0M与x轴正半轴的夹角为a,且sina>

cosa,则点M所在的线段可以是（）

oHGFEQ

R-----------5

!c

IB

i.4

-OPx

A.AB和CDB.AB^AEFC.CDWGHD.EF和GH

4.（2021•海淀区校级模拟）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章

给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=寺（弦X矢+矢2）,弧田（如图）是由圆弧和

其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长“矢”等于半径长与圆心。到弦

的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8,“矢”为3,则cosNOAB=()

5.(2020•丰台区三模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,1),点B(3,-1).平

移线段48,使点A落在点4(-2,2)处，则点8的对应点81的坐标为()

A.(-1,-1)B.(-1,0)C.(1,0)D.(3,0)

6.(2020•西城区一模)如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算

树的高度.阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为0.9m在同一时刻测量树的

影长时.，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上.他测得这棵树

落在地面上的影长8。为2.7加,落在墙面上的影长CD为则这棵树的高度是()

A

□□

□□

A.6.0mB.5.0mC.4.On/D.3.0加

7.(2020•海淀区校级模拟)已知N%Q=36°,点B为射线AQ上一固定点，按以下步骤

作图：

①分别以A,8为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M,N；

②作直线MN交射线AP于点D,连接BD；

③以B为圆心，BA长为半径画弧，交射线AP于点C.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是()

A

A.ZCDB=12°B.△A£>BsZMBCC.CD：AQ=2：1D.ZABC=3ZACB

DE2

8.（2020•博兴县一模）如图，ZVIBC中，CDA.AB,BELAC,一=一，则sinA的值为（）

BC5

二.填空题（共11小题）

9.（2021•北京二模）如图，小亮从一盏9米高的路灯下B处向前走了8米到达点C处时,

发现自己在地面上的影子CE是2米，则小亮的身高DC为米.

10.（2021•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xO），中，点A（-1,m）绕坐标原点。顺

时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是.

11.（2021•西城区校级模拟）如图，一架长为10米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这

时测得480=70°,如果梯子的底端8外移到。，则梯子顶端力下移到C,这时又测

得NCCO=50°,那么AC的长度约为米.(sin70°g0.94,sin50°^0.77,cos70°

12.(2021•海淀二模)正方形ABC。中，点E在边AB上，EA=\,EB=2,将线段。E绕

点D逆时针旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则FB的长度为.

13.(2021•北京模拟)如图，在正方形ABCQ中，对角线AC,8。相交于点。，E是OB的

中点，连接AE并延长交2c于点F.若△8EF的面积为1,则的面积为.

14.(2020•密云区二模)已知：点A、点B在直线MN的两侧.(点A到直线MN的距离小

于点8到直线MN的距离).

如图，

(1)作点B关于直线MN的对称点C；

1

(2)以点C为圆心，^BC的长为半径作。C,交BC于点民

(3)过点A作OC的切线，交OC于点凡交直线MN于点P；

(4)连接P8、PC.

根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：

①PE是OC的切线；②PC平分彷；③P8=PC=PF；④NAPN=2NBPN.

所有正确结论的序号是

a

15.（2020•海淀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点C（3,2）,将关

于直线x=4对称，得到△481C1,则点C的对应点Ci的坐标为；再将△481。

向上平移一个单位长度，得到△A2B2c2,则点Ci的对应点C2的坐标为.

,y

4

3

2

1

~O12345678x

16.（2020•通州区一模）如图将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD翻折，点C的对应点为C,

AO与BC'交于点E,若NA8E=30°,BC=3,则£>E的长度为.

17.（2020•海淀区校级模拟）如图，已知NMON=120°,点A,B分别在OM,ON上,且

OA=OB=a,将射线OM绕点。逆时针旋转得到OM',旋转角为a（0°<a<120°且

aW60°），作点A关于直线OM'的对称点C,画直线3c交于OM'与点D,连接AC,

AD.有下列结论：

①NB£>O+NACQ=90°；

②/4CB的大小不会随着a的变化而变化；

③当a=30°时，四边形0Aoe为菱形；

@AACD面积的最大值为

其中正确的是.（把你认为正确结论的序号都填上）

BC

Xf

18.（2020•丰台区模拟）如图，在国A8CD中，点E在D4的延长线上，KAE=|AD,连接

19.（2020•西城区校级模拟）太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源，

因而逐渐被推广使用.如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，

29073

太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，支撑角钢E厂长为一^一（、加，AB的倾斜角为

30°,BE=CA=50cm,支撑角钢CD,EF与底座地基台面接触点分别为。，F,CD垂

直于地面,FE1AB于点E.两个底座地基高度相同（即点D,尸到地面的垂直距离相同），

均为300〃，点A到地面的垂直距离为50cm,则支撑角钢CD的长度是cm,AB

的长度是cm.

20.（2021•平谷区二模）已知：如图,锐角△ABC.

求作：在A8上取点。，AC上取点E,使得△AEDS/VIBC,

1

作法：①分别以点8和点C为圆心，大于5BC长为半径画弧，两弧相交于点M、N,作

直线MN,交BC于点O；

②以点。为圆心，OB长为半径画圆，在BC上方交AB于点Q,交AC于点E；

③连接OE,△4EO即为所求作.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面的证明.

证明：

■:点、B、C、E、。均在。。上.

：.ZB+ZDEC=180°（）（填推理依据）.

VZAED+ZDEC=]80°,

:.NAED=______________

AA£D^AABC.

21.（2021•门头沟区二模）已知，如图，/M4N=90°,点B是NM4N的内一点，且到

AN的距离相等.过点8做射线BC交4例于点C,将射线BC绕点B逆时针旋转90°交

AN于点D.

（1）依题意补全图形；

（2）求证：BC=BD；

（3）连接48,用等式表示线段AB,AC,AO之间的数量关系，并证明.

BB

••

22.（2021•北京二模）在等腰三角形A8C中，AB=AC,NBAC=a（00<a<60°）.点P

是△ABC内一动点，连接AP,BP,将绕点4逆时针旋转a,使AB边与AC重合，

得到△AOC,射线BP与CD或CD延长线交于点M(点例与点D不重合).

(1)依题意补全图1和图2；由作图知，NBAP与NC4。的数量关系为；

(2)探究与NAPM的数量关系为；

(3)如图1,若。尸平分/AOC,用等式表示线段BM,AP,CZ)之间的数量关系，并证

明.

23.(2021・东城区二模)己知44。后和448(7都是等腰直角三角形，乙4。后=/历1。=90°,

P为AE的中点，连接。P.

图2

(1)如图1,点A,B,。在同一条直线上，直接写出。尸与AE的位置关系；

(2)将图1中的△AOE绕点4逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C,D,

P恰好在同一条直线上.

①在图2中，按要求补全图形，并证明/BAE=NACP；

②连接交AE于点F.判断线段与。F的数量关系，并证明.

24.(2021•朝阳区二模)在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP(不与

BC平行)，直线。P与直线BC相交于点E,直线4P与直线。。相交于点F.

(1)如图1,当点尸在正方形内部，且NA£»P=60°时，求证：DE+CE=DF；

(2)当线段。尸运动到图2位置时，依题意补全图2,用等式表示线段CE,CE,DF之

间的数量关系，并证明.

25.（2021•通州区一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°,

得到线段AC；再将线段8P绕点B逆时针旋转120°,得到线段BQ；连接AZ）,取A。

中点M,连接BM,CM.

（1）如图1,当点P在线段CM上时，求证：PM//BD-,

（2）如图2,当点P不在线段CM上，写出线段与CM的数量关系与位置关系，并

证明.

图1图2

26.（2021•朝阳区模拟）游船在湖面A处时，望见正北方向和北偏西60°方向各有1个灯

塔，继续乘船向正西方向航行1海里到达B处，这时两个灯塔分别在它的东北、西北方

向，求这两个灯塔之间的距离.（百句.73,结果保留一位小数）

27.（2021•平谷一模）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯A8的两端分

别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终

端B处的仰角为14°,求电梯AB的坡度与长度.

6米A

28.(2020•顺义区二模)己知：如图，AB是。。的直径，/XABC内接于。0.点D在。O

上，AD平分NCAB交.BC于点E,。尸是。。的切线，交AC的延长线于点F.

(1)求证：DF±AF；

(2)若的半径是5,A£>=8,求。F的长.

29.(2020•丰台区二模)如图，AB为的直径，C为AB延长线上一点，8为。。的切

线，切点为。，于点E,且AE与。。交于点尸.

(1)求证：点。为师的中点；

(2)如果8c=5,sinC建，求AF的长.

30.(2020•平谷区一模)AABC中，AB=BC,NABC=90°,将线段AB绕点A逆时针旋

转a(0°<a<90°)得到线段AO.作射线BD,点、C关于射线BD的对称点为点E.连

接AE,CE.

(1)依题意补全图形；

(2)若a=20°,直接写出NAEC的度数；

(3)写出一个a的值，使AE=应时，线段CE的长为百一1,并证明.

备用图

2020和2021年北京市中考数学模拟考试试题一一专题11图形

的变化

参考答案与试题解析

选择题（共8小题）

1.【解答】解：由题意正方形的面积为2X4=8,

V22=4,32=9,42=16,52=25,

，该正方形的边长最接近整数为3,

故选：C.

2.【解答］解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个矩形，且三个矩形

大小不一，

可得出该几何体是长方体，

故选：D.

3.【解答］解：如图，当点M在线段AB上时，连接OM.

叶

HGFEO

Ro---------------'.D

!c

Xf.B

i.4

-----------------------:---------A

OPX

八

.・..sma=丽PM,cosa=OPO4P>PDMA/,

sina<cosa,

同法可证，点M在CD上时，sina<cosa,

如图，当点M在后尸上时，作肱/J_OP于</.

・・］八”山

・s•ina=MJcosa=0OJ<MJ,

:.sina>cosa,

同法可证，点加在6以上时，sina>cosa,

故选：D.

4.【解答】解：如图，作0"_LA8于H.

由题意：A8=8,0A-0/7=3,

9：OHLAB.

・・・A”=8H=4,

♦.•AM+O序=。储，

/.42=(OA+OH)(OA-OH),

：.OA+OH=^-,

.・・04=母250"=7:，

66

•/CARAH424

..cosZOAB==25=25，

~6

故选：B.

故选：B.

CD1.0

6.【解答】解：根据物高与影长成正比得：法=而

_1.01.0

即一=

DE0.9

解得：DE=0.9,

贝lj3E=2.7+0.9=3.6米，

「1.0

同理:7=—，

BE0.9

,AB1.0

n即r：—=一，

3.60.9

解得：AB=4.

答：树AB的高度为4米，

故选：C.

7.【解答】解：由作图可知，垂直平分A3,AB=BC,

〈MN垂直平分A5,

:.DA=DB,

：.ZA=ZDBA,

9：ZPAQ=36°,

:./CDB=NA+NDBA=72°,故A正确；

♦：AB=BC,

：.ZA=ZACBf

又<NA=NA,

A故3正确；

VZA=ZACB=36°,

・・・NA8C=180°-NA-NACB=108°,

AZABC=3ZACB,故。正确；

VZABZ)=36°,N45c=108°,

・•./CBD=ZABC-NABO=72°,

：.ZCBD=ZCDB=12°,

：.CD=BC,

VZA=ZACB=36°,

：.AB=BC,

：.CD=AB,

;AD+DB>AB,AD=DB,

：.2AD>AB,

・・・2A£»C。，故C错误.

故选：C.

8.【解答】解：u：CDLAB,BELLAC则易证△ABES/XAC。，

.AIDAC

••—,

AEAB

又,:乙4=/A,

，/\AED^/\ABC,

.ADDE2

'"AC~BC~S

设AO=2m则AC=5a,

根据勾股定理得到CD=421a,

e而..CDm

因而sinA=旅=-y.

故选:B.

填空题（共11小题）

9.【解答］解：如图，CE=2米，8c=8米，AB=9米，CD//AB,

.•.BE=8C+CE=10米，

,JCD//AB,

:.△ECDs/\EBA,

CDCECD2

—=—,即———,

ABBE910

解得8=1.8（米），

即小亮的身高OC为1.8米；

故答案为：1.8.

10•【解答】解：如图，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°,与直线x=-2交于C,D

两点，则点A(-1,m)在线段C£＞上,

又..•点D的纵坐标为2,点C的纵坐标为3,

二机的取值范围是2W〃?W3,

故答案为：2WmW3.

11.【解答】解：由题意可得：

VZABO=10°,AB=\Om,

sin700=黑=笔v0.94,

解得：AO=9.4(〃?)，

'：ZCDO=50°,Z)C=10m,

rn

.\sin50°=常=0.77,

解得：CO=7.7(m),

则AC=9.4-7.7=1.70(m),

答：AC的长度约为1.70米.

故答案为：1.70.

12.【解答】解：：AE=1,BE=2,

.•.正方形ABC。的边长为A8=AE+BE=l+2=3,

■:DE绕点D旋转后点E落在点尸处，

：.DF=DE,

；四边形A8CZ)为正方形，

：.AD=CD,NA=N£)CB=90°,

在RtZXAOE和Rt^CCF中，氏=*

^AD=CD

ARtAADE^RtACDF(HL),

：.CF=AE=1,

如图1,点尸在线段8。上时，BF=BC-CF=3-1=2,

如图2,点尸在3C的延长线上时，BF=BC+CF=3+\=4,

所以，F、B两点的距离为2或4.

故答案为：2或4.

13.【解答】解：,・•四边形A8CD是正方形,

：.OB=OD,AD//BC,

:•△BEFsgEA,

.BEEF

ED~AE

・・・石是08的中点，

.BE1

「ED-3，

.EF1

••力E・3，

.S^BEF_££_1

s〉AEBAE3

•••△BE尸的面积为1,

・・・△AE8的面积为3,

・.BE1

9ED~3

.S>AEB_工

S△力EO3

・・・△AEO的面积为9,

故答案为：9.

14.【解答］解：由作图过程可知:

①CE1.MN,CE是OC的半径,

所以PE是OC的切线,

所以①正确；

②如图，连接CF,

尸是OC的切线，PE是0c的切线,

,根据切线长定理，NFPC=NEPC,

•.•/C7T=/CEP=90°,

NFCP=ZECP,

；.PC平分船.

所以②正确；

@,：PB=PC,PE=PF,

而PC>PF,

：.PB=PC^PF,

所以③错误；

④；PB=PC,PELBC,

：.NEPC=NBPE,

"：NFPC=NEPC,

：.ZFPC=NEPC=ZBPE,

：.NAPN=2NBPN.

所以④正确.

所以正确结论的序号是①②④.

故答案为：①②④.

15.【解答］解：如图△AiBiCi，△A282c2,即为所求.Ci(5,2),Ci(5,3).

fy

故答案为(5,2),(5,3).

16•【解答】解：•.•四边形是矩形，

N4=NABC=90°,AD=BC=3,AD//BC,

:.NCBD=NEDB,

由折叠的性质得：NCBD=NCBD,

VZABE=30°,

J.BE^IAE,NCBD=NCBD=NEDB=30°,

：.DE=BE=2AE,

\'AD=AE+DE=3,

；.AE+2AE=3,

：.AE=\,

：.DE=2；

故答案为：2.

17.【解答】解：①•••/1、C关于直线0M对称，

.•.0M是AC的垂直平分线，

：.CD=AD,ZBDO+ZACD=90°.

故①正确；

②连接0C,

N

E\O；AM

\f

\/

、/

、✓

、✓

由①知：0M1是AC的垂直平分线，

：.OC=OA,

：.OA=OB=OC,

以。为圆心，以OA为半径作OO,交4。的延长线于E,连接8E,则A、B、C都在

上，

VZMO7V=120°,

工NBOE=60°,

"：OB=OE,

...△OBE是等边三角形，

.•./E=60°,

C、B、E四点共圆，

：.ZACD=ZE=60°,

AZACB=120°是定值，

故②正确；

③当a=30°时，即/AO£>=/CO£>=30°,

AZAOC=60°,

.•.△AOC是等边三角形，

；./OAC=60°,OC=OA=AC,

由①得：CD=AD,

：.ZCAD=ZACD=ZCDA=60°,

.♦.△AC。是等边三角形，

：.AC=AD=CD,

：.OC=OA=AD=CD,

...四边形。4QC为菱形；

故③正确；

@'：CD=AD,ZACD=60°,

是等边三角形，

当AC最大时，△AC。的面积最大，

；AC是OO的弦，当AC为直径时最大，此时AC=2a,

S<MCD=*x(2a)2=V3a2；

故④正确，

所以本题结论正确的有：①②③④

故答案为：①②③④.

18.【解答】解：：四边形A8C。是平行四边形，

：.AD//BC.AD=BC,

设AD=3at则AE=a,

♦:DE〃B3

:AEDFsACBF,

.EFDE4a4

FC~BC~3a~3

4

故答案为1

3

19.【解答】解：过4作AG_LC。于G,则NCAG=30°,

1

在RtZ\ACG中，CG=ACsin30°=50x5=25,

VGD=50-30=20,

CD=CG+GD=25+20=45,

即支撑角钢8的长度是45°”.

连接尸。并延长与8A的延长线交于H,则/H=30°,

在RtZXCC“中，CH=2CD=93

：.AH=CH-AC=90-50=40,

FF290后

•,在R5FH中，EH==十=290,

T

：.AE=EH-AH=290-40=250,

AB=AE+BE=250+50=300,

即AB的长度是300c〃?.

故答案为45,300.

20.【解答】（1）解：如图所示，△AE。即为所求作；

（2）证明：：点8、C、E、O均在。。上.

.\Z«+ZDEC=180°（圆内接四边形的性质）（填推理依据）.

VZA££）+ZD£C=180°,

NAED=ZB.

ZA—ZA,

：./\AED^/\ABC,

故答案为：圆内接四边形的性质，NB.

21•【解答】解：（1）依题意补全图形，如图所示；

（2）证明：过8作BE_LAM,BFLAN,垂足分别为E,F,则BE=BF.

:/MAN=NCBD=90°,

AZACB-^ZADB=\SO°.

VZACB+ZBCE=180°,

AZBCE=ZADB.

VBE1AM,8凡LAN,

：.ZBEC=ZBFD=90°,

：./\BEC^ABFD(A4S).

:・BC=BD.

(3)AC+AD=&AB,

证明：如图，过8作86_1_48交4"于点G.

'：BG±AB

：.ZABG=90°.

AZABG=ZCBD=90°,

・•・ZABC=NGBD.

VZACB+ZABD=\SO°,ZABD+ZGDB=\SO°,

:.ZACB=ZGDB.

■:BC=BD,

:.△ABC/XGBD.

；.AB=BG,AC=DG.

・・,点3到NMAN的两边AM,AN的距离相等，

AZBAG=^ZMAN=45°,

•\AG=y/2ABf

：.AC+AD=V2AB.

ADGN

M

由作图知，N8AP与NC4。的数量关系为相

等;

图1

故答案为：相等;

(2)/4。〃=/4/)加或/4。初+/42用=180°.

当M在线段CO延长线上时，如上图1,

♦.•将△APB绕点A顺时针旋转得到△ADC,

二ZADC^ZAPB,

：./AOM=NAPM,

当M在线段C£＞上时，如上图2,

♦.•将△4PB绕点A顺时针旋转得到△ADC,

ZADC^ZAPB,

♦.•/AP3+/APM=180°,

二/ADM+/APM=180°,

故答案为：NADM=NAPM或N4OA/+NAPM=180°；

(3)如图，线段BM,CD,AP之间的数量关系是：BM=CD+AP.

A

证明：・・•将aAPB绕点A逆时针旋转a,使A8边与AC重合，得到△AOC,

，△ABPWXACD.

，/APB=NADC,AP=ADfBP=CD,

：.ZADM=ZAPM.

•••。尸平分/4。。，

，/ADP=NPDC.

9：AP=AD,

：.NAPD=/ADP.

：./APD=/PDC.

J.AP//CM.

：.ZPAD=ZADM=a,ZAPM=ZM.

又由（2）知，ZADM=ZAPM=af

设4。与BM相交于点O,

：.OP=OAfOM=OD,

・・・OP+OM=OA+。。，

：.PM=AD=AP,

:・BM=BP+PM.

：.BM=CD+AP.

23•【解答】解：（1）•••△AOE是等腰直角三角形，ZADE=90°,

:・AD=ED,

・・・P为AE的中点，

：.DP±AE；

（2）①补全图形如图2所示；

证明：・・•△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，ZADE=ZBAC=90°,

AZDAE=45°,AD=ED,

TP为AE的中点，

：・NADP=NEDP=45。,

：.ZBAE+ZCAD=ZBAC-ZDAE=45°,

VZCAD+ZACP=ZADP=45°,

・•・ZBAE=ZACP；

®BF=DF.

证明：如图3,延长。尸至G,使尸G=。尸连接AG,BG,

・・・△ADE是等腰直角三角形，ZADE=90°,

：.AD=DEfZDAE=45°,

TP为AE的中点，

AZAPD=ZAPG=9O0,AP=DP=PG,NAD尸=45°,

AAAPG^/\APD(SAS),

：.AG=ADfZPAG=ZDAE=ZAGP=45°,

・・・NG4Z)=NBAC=90°,

・・・NA4G+N84£)=NCAO+NBA£)=90°,

:・/BAG=/CAD,

\'AG=ADfAB=AC,

：.^BAG^/XCAD(SAS),

AZAGB=ZADC=1800-ZADP=135°,

：.ZBGC=ZAGB-ZAGP=90°,

，/BGC=/APG,

:・PF〃BG,

DFDP

••___•_—____—_19

BFPG

：.BF=DF.

图2

:四边形ABCD是正方形，

：.AD=CD=AB=a.

"：DA=DP,ZADP=60a,

.♦.△APO是等边三角形.

AZPAD=60Q,

在RtZ\A£>尸中，ZAFD=30°,

：.DF=6AD=岛，

在RtZ\QCE中，ZCD£=30°,

.-，-_V3-，_>/3jyr-_2厉

•・/CEc=~^~/CrDi=CL,DE—2CE=--a»

：.DE+CE=DF；

(2)解：依题意补全图形，如图2所示：

DE-CE=DF,证明如下：

过。作QHLAP交BC于点H,如图3所示:

VD/71AF,

：.ZHDC-^ZAFD=90°,

■:/HDC+/DHC=90°,

・•・NAFD=NDHC,

在△4£＞尸和△OCH中，

(ZAFD=NDHC

]Z.ADF=^LDCH，

{AD=DC

•••△AOF四△OC"(A4S),

:・DF=CH,

•:DA=DP,

：./ADH=/EDH,

•:KDHBC,

：./ADH=/EHD,

:./EDH=/EHD,

:.ED=EH,

：.DE-CE=DF.

A______________D

图2

25.【解答】解：（1）有题意可得，ZCAP=60°,且AP=AC,

•••△APC是等边三角形，

・・./APC=60°,

/.ZBPM=60°,

又・・・NP8D=120°,

：.ZBPM+ZPBD=\SO°,

C.PM//BD,

(2)猜想，CM_LM8,CM=V3MB,理由如下：

如图2,延长8M至点G,使得MG=M8,连接AG,BC,GC,PC,GD,

U

:AM=MD9GM=BM,

・•・四边形AGQB是平行四边形，

:.AG=BD,AG//BD,

・・・NBAG=180°-ZABD=60°,

：.ZCAG=nO°,

•••△APC是等边三角形，

：.AC=CP,NCPB=120°,

■:PB=DB=AG,

•••△CAGdCPB(SAS),

:.CG=CB,/ACG=/PCB,

・・・/GC8=60°,

△CBG是等边三角形，

•:GM=BM,

：.CM.LBM,CM=V3MB.

26•【解答】解：如图所示：过点。作延长线于点区

根据题意可知：Nl=60°,N2=N3=45°,ZCBA=NOBE=45°,

；.AC=AB=1海里，BE=DE,ZDBC=90°,ZDAE=30°,

.-.BC=V12+12=V2,tan30°=

设8E=x,则ED=x,

Mex

故—=---,

3x+1

解得：x=0卷',

T、V3+1.-

贝ijezy=2r2=2x（-------）02=2+遮，

2

'：BC2=2,

：.CD2=BD1+BC2-=4+V3*5.73,

则CD=V573=2.4（海里），

答：这两个灯塔间的距离为2.4海里.

27.【解答】解：