2025届新高考数学精准突破复习 正弦定理、余弦定理

2025届新高考数学精准突破复习正弦定理、余弦定理解三角形是高考考查的热点，三角恒等变换单独考查的题目较少，多以解三角形为背景，在用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角恒等变换进行化简，综合性较强，难度中等.考情分析思维导图内容索引典型例题热点突破考点一利用正余弦定理进行边角计算典例1

由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，解得bc＝1.变形可得sin(A－B)－sin(A＋B)＝sinB，即－2cosAsinB＝sinB，而0<sinB≤1，又0<A<π，跟踪训练1

典例2

(2023·聊城模拟)在四边形ABCD中，AB∥CD.(1)证明：AD·sin∠BAD＝BC·sin∠BCD；考点二与多边形有关的解三角形问题因为AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC，在△ABD中，由正弦定理可知在△BCD中，由正弦定理可知所以AD·sin∠BAD＝BD·sin∠ABD，BC·sin∠BCD＝BD·sin∠BDC，故有AD·sin∠BAD＝BC·sin∠BCD.由(1)可知，AD·sin∠BAD＝BC·sin∠BCD，设∠BAD＝2∠BCD＝2α，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝7，设△BCD外接圆的半径为R，在△BCD中，由正弦定理可知所以△BCD外接圆的面积S＝πR2＝7π.跟踪训练2

(1)求角B的值；所以△ACD为等边三角形，考点三解三角形在实际生活中的应用典例3

(1)(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100，由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)A.346B.373C.446D.473√如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，在△A′B′C′中，∠C′A′B′＝75°，又在B点处测得A点的仰角为45°，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE√由两角和的正弦公式得，sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°在△MNS中，由正弦定理得，解得a＝20.跟踪训练3

(1)(2023·双鸭山模拟)如图，某公园内有一个半圆形湖面，O为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点C，D，E，满足∠AOD＝∠DOE＝2∠AOC，在扇形AOC和四边形ODEB区域内种植荷花，在扇形COD区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道DE，EB作为观光路线，则当DE＋EB取最大值时，sin∠AOC＝________.则∠DOE＝2θ，∠EOB＝π－4θ，在△DOE中，由余弦定理得在△BOE中，由余弦定理得(2)(2023·杭州模拟)雷峰塔初名黄妃塔，又名西关砖塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山(海拔46米)之上，是吴越国王钱俶为供奉佛螺髻发舍利、祈求国泰民安而建.始建于北宋太平兴国二年(977年)，历代屡加重修.现存建筑以原雷峰塔为原型设计，重建于2002年，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.李华同学为测量塔高，在西湖边相距400米的A，C两处(海拔均约16米)各放置一架垂直于地面高为1.5米的测角仪AB，CD(如图所示).在测角仪B处测得两个数据：塔顶M的仰角∠MBP＝30°及塔顶M与观测仪D点的视角∠MBD＝16.3°，在测角仪D处测得塔顶M与观测仪B点的视角∠MDB＝15.1°，李华根据以上数据估计雷峰塔MN的高度约为(参考数据：sin15.1°≈0.2605，sin31.4°≈0.5210)A.70.5米

B.71米

C.71.5米

D.72米√在△BDM中，BD＝400，∠MBD＝16.3°，∠MDB＝15.1°，所以∠BMD＝180°－16.3°－15.1°＝180°－31.4°，在Rt△MBP中，MP＝BM·sin∠MBP＝200sin30°＝100，延长BA至Q，设Q处海拔为0，延长MP至O，O处海拔为0，连接QO，由题意知MP＝100，OP＝QA＋AB＝16＋1.5＝17.5，ON＝46，MN＝MP－NP＝MP－(ON－OP)＝100－(46－17.5)＝71.5.总结提升1.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.总结提升2.解三角形实际问题的步骤12345678910√12345678910∵asinA－bsinB＝4csinC，∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得123456789102.(2023·天津模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a＋b－c)(b＋c＋a)＝3ab，且sinC＝2sinBcosA，那么△ABC是A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形√12345678910由(a＋b－c)(b＋c＋a)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，整理得a2＋b2－c2＝ab，又由sinC＝2sinBcosA及正弦定理得，所以△ABC为等边三角形.12345678910√3.(2023·长沙模拟)逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”.如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A，B，C三处测得道路一侧山顶P的仰角依次为30°，45°，60°，其中AB＝a，BC＝b(0<a<3b)，则此山的高度为12345678910如图，设点P在地面上的正投影为点O，则∠PAO＝30°，∠PBO＝45°，∠PCO＝60°，由题意知，cos∠ABO＝－cos∠CBO，12345678910√12345678910因为(b－2c)cosA＝acos(A＋C)，所以由正弦定理得(sinB－2sinC)cosA＝sinAcos(A＋C)，因为cos(A＋C)＝－cosB，所以(sinB－2sinC)cosA＝－sinAcosB，即sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，所以sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosA，又C∈(0，π)，所以sinC>0，12345678910123456789105.(多选)(2023·永州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是A.若△ABC为锐角三角形且A>B，则sinA>cosBB.若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形C.若A>B，则sinA>sinBD.若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个√√12345678910∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，B错误；12345678910∵A>B⇔a>b，根据正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB，C正确；b2＝a2＋c2－2accosB，符合条件的△ABC只有一个，D错误.12345678910√√√1234567891012345678910设CD＝a，则BC＝2a，在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝CD2＋BD2－2BD·CD·cos∠CDB，12345678910因为∠ADC＝π－∠CDB，所以cos∠ADC＝cos(π－∠CDB)在△ADC中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos∠ADC，所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC12345678910因为AB＝8为最大边，即∠ACB为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故D正确.12345678910212345678910方法一在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，即6＝b2＋22－2×b×2×cos60°，解得AD＝2.由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，12345678910方法二在△ABC中，由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC，即6＝b2＋22－2×b×2×cos60°，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2.1234567891012345678910在△ABD中，∠CAE＝30°，∴CF＝CE＝1.12345678910∴在△FCB中，由余弦定理的推论得123456789109.(2023·武汉模拟)在△ABC中，D为边BC上一点，∠BAD＝90°，∠B＝∠DAC，12BD＝7AC.(1)求tan2B；12345678910设∠B＝∠DAC＝