3 空间向量基本定理

专题1.3空间向量基本定理【玩前必备】知识点一空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量小存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得p=xa＋yb＋zc.我们把｛a，b，c｝叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.知识点二空间向量的正交分解1．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1,那么这个基底叫做单位正交基底，常用",j,k｝表示.2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk使得a=xi+yj+zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解．知识点三证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a,b(bW0),a〃b的充要条件是存在实数九使a=Xb.(2)如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.知识点四求夹角、证明垂直问题a•b⑴0为a,b的夹角，则cos0=ia||bi.(2)若a,b是非零向量，则a±b。a•b=0.知识点五求距离(长度)问题Ia1=\后(1AB1=\尻AB).【玩转题型】【题型1空间向量基底的判断】【基底的判断思路】(1)判断蛆向量能否作为空间的个基底.实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.(2)判断基底时，常常依托正方体.长方体、平行六面体,四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底,并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.【例1】(2020秋•嘉祥县校级期中)已知｛落b,c｝是空间向量的一个基底，则与向量万=日+唬彳=4-3

TOC\o"1-5"\h\z可构成空间向量基底的是（ ）—~^ ~^ ———A.a B.b C.a+2b D.a+2c【变式1-1］（2020秋•桃城区校级期中）已知｛或，耳，耳｝是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是（ ）①《，2,,，-马②26a，,一,，欧+2,③2,+青，5+q，-，+5］乙 乙 ◊ J- ◊④即1十即小段.A.①② B.②④ C.③④ D.①③【变式1-2］（2020秋•赤峰校级期末）｛a,a，a｝=是空间向量的一个基底，设a=a+a，a=a+a,a=a+乙给出下列向量组：①｛a,b,讨，②｛b,a,a｝,③｛a，a，a｝,④｛a，a，a+b+a｝，其中可以作为空间向量基底的向量组有（ ）组.A.1 B.2 C.3 D.4【变式1-3］已知｛时却1｝为空间的一个基底，且用4=a+262-%旅=-3弓+玛+2%八=6+马-%能否以｛应，0B，无｝作为空间的一组基底？【题型2空间向量基本定理的应用（表示向量）】【用基底表示向量的步骤】（1）定基底:根据已知条件,确定三个不共血的向量构成空间的一个基底.（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）去示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则,结介相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.（3）下结论：利川空间的个基底｛小氏司可以我示出空间所有向量.我示要彻底，结果中只能含有各b,c，不能含有其他形苴的向量.［例2］（2020秋•南开区校级月考）在平行六面体ABCD-A1B1clD1中，44=3，AB=b，初=a，E是BC的中点，用a，b，c表示4了为（ ）D.1a-b+c21 1a,D.1a-b+c2A.2a+b-cB.a+b-c C.2a-b-c【变式2-1］（2020秋•南阳期末）已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN，用向量dA，dB，应，表示向量应是（ ）

A.公=)1+洒+3应血1-3+加1-3+1-6--*cbA.公=)1+洒+3应血1-3+加1-3+1-6--*cb.公=2)1+3南+|近+3加+3应1-6

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D上，且OM=3MA,N为BC中点，用落b,c表示疝，则疝等于.【变式2-3]（2020秋•珠海期末）四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O,用基底｛Z,b,c｝表示向量Bh=p【题型3空间向量基本定理的应用（求参数）】[例3]（2020秋•江苏期末）在三棱锥O-ABC中，Ab=^B,油=2两若应=%OA+yOB+zOC,用基底｛Z,b,c｝表示向量Bh=p【题型3空间向量基本定理的应用（求参数）】[例3]（2020秋•江苏期末）在三棱锥O-ABC中，Ab=^B,油=2两若应=%OA+yOB+zOC,则（a.11%=i，y=-6b.11x=-i,y=6【变式3-1]（2020秋•资阳期末）如图，M,N是分别是四面体O-ABC的棱OA,BC的中点，设oA=Z,OB=b,OC=c，若疝=xa+yb+zc，则x,y,z的值分别是( )1112，2，2A.B1112，2，2A.B.1-2C.11_12，2，-2D.1112,2,2【变式3-2］（2020秋•白水县期末）在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若4G=娱B+y4D+【变式3-3］（2020秋•番禺区期末）在平行六面体ABCD-A1B1clD1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上,且BE=1&纥，DF=2。。1.若前=%肪+丫劝+244，贝|x+y+z=【题型4【题型4利用空间向量基本定理解决几何问题】L利用厘时向量基本定理解决几何问题的思路1（1）平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点税共面可以转化为向越共面「爪（”几何中的求夹珀、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意珀的范圈:（3）几何中求距离（长度）都可以转化为向量的模，川数量枳可以求得.［例4］如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD—A1B1C1D1,其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是.（填序号）Pl ClPl Cl口（西+AB+AD）2=2（AC）2；□X^（AB—AD尸0；①向量——?与高的夹角是60°；□BD1与AC所成角的余弦值为乎.2n【变式4-1】如图，二面角aT—B等于至，A,B是棱l上两点，BD,AC分别在平面a,B内，AC□l,BD□l，且2AB=AC=BD=2,则CD的长等于（ ）A.2v3 B.'v'T3C．4 D．5【变式4-2】如图所示，在三棱锥A—BCD中，DA,DB,DC两两垂直，且DB=DC=DA=2,E为BC的中点.（1）证明：AE□BC；（2）求直线AE与DC的夹角的余弦值.【变式4-3】如图，正方体ABCD—A1B1clD1中，P是DD1的中点，。是底面ABCD的中心.求证：B1O□平面PAC.【课后检测】一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1.（3分）（2020秋•烟台期中）下列说法正确的是（ ）A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.直线的方向向量有且仅有一个2.（32.（3分）（2020秋•碑林区校级月考）若夜、b.c｝为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一A.{a,A.{a,aaC.{c,a+b,a—b}a.T1a,1a.aA.—2a+2b+cB.2a+]b+c1a—1 1a1a_aC.—2a—2b+c D.2a—2b+c组向量是（ ）aaaB.{b,a+b,a—b}aaa{a+b,a—b,2a+b}3.（3分）（2020秋•枣庄期末）如图：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1,B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c，则向量俞=( )4.AB=a,AD=b,AA4.AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与A互相等的向量是（)（3分）（2020秋•榆林期末）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若C.—1a—1b+cD.乙 乙-a--b+c22C.—1a—1b+cD.乙 乙-a--b+c22A.-々a+ab+a B.2a+^b+c5.（3分）（2020秋•安顺期末）如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则应等于（）3332341C>A+-O>B+-O，C

2 4 4-CM+-OB+-OC

4 4 66.（3分）（2020秋•新乡期末）如图，在长方体ABCD-A1B1clD1中，P是线段D1B上一点，且BP=2D1P,)D.12B.)D.12B.一34C.一35A.一3若力=x脑+歹AD+z笳1，贝U%+y+z=（7.（7.（3分）（2020秋•皇姑区校级期末）若。、A、B、C为空间四点，且向量近1，OB,应不能构成空间的一个基底，则（ ）CM,CM,OB,OC共线OA,OB共线CC.OB,OC共线D.O,A,B,C四点共面8.（3分）（2020秋•吉林期末）在四面体OABC中，点M,N分别为OA,BC的中点，若应=-OA+%OB+yOC,且G,M,N三点共线，则%+y=（ ）A.-B.- C.- D.—；|3 3 3 3二.填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）.（4分）（2021春•徐汇区校级期中）在平行六面体ABCD-A1B1clD1中，设aB=N,AD=b,AA^=c,用入%、c作为基底向量表示D；B=..（4分）（2020秋•沈阳期中）已知M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN,设向量区4=%,OB=b,OC=c，则卧=.（用{%,3,c}表示）.（4分（2020秋•浙江月考）已知正方体ABCD-A1B1clD1中,还="匕若疝=%叫+丫脑+z显，贝°x=,y+z=..（4分）（2020•闵行区校级模拟）在正方体ABCD-A1B1clD1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1cle的中心，若点P满足力＞=m病+nDM+k.亦，其中m、n、kCR,且m+n+k=1,则点P可以是正方体表面上的点.三.多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）13.（4分）（2020秋•淄博期末）已知空间向量％,7,%都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（）A.向量％+%+%的模是3b.{3+7,7-7,%}可以构成空间的一个基底TOC\o"1-5"\h\z・一％ "- 3C.向量i+7+k和k夹角的余弦值为二D.向量i+j与k—j共线14.（4分）（2020秋•荔湾区期末）在空间四边形OABC中，E、F分别是OA、BC的中点，P为线段EF上一点，且PF=2EP,设以=乙OB=b,OC=c，则下列等式成立的是（ ）71—1一 7 1- 1—1一A.OF=^b+1c B.EP=--^a+^b+-^cC.FP=-1a+1b+1c D.OP=1a+1b+1C333 3- -15.（4分）（2020秋•山东月考）设｛优b,c｝是空间的一组基底，则下列结论正确的是（ ）a.c,b,c可以为任意向量B.对空间任一向量万，存在唯一有序实数组（x,歹，z）,使C=xb+yb+zb。.若2，入，b±c，则b，bD.｛C+2bb+2c,2+2砂可以作为构成空间的一组基底16.（4分）（2020秋•乳山市校级月考）给出下列命题，其中正确命题有（ ）A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B.已知向量C〃b，则存在向量可以与C,b构成空间的一个基底C.A,B,M,N是空间四点，若屈!，BM,而不能构成空间的一个基底，那么A,B,M,N共面D.已知向量组｛b,b,C｝是空间的一个基底，若馅=b+b，则｛b,b,in｝也是空间的一个基底四.解答题（共6小题，满分44分）.（6分）已知｛落b,b｝是空间的一个基底，求证：｛b+b,b+b,b+b｝可以构成空间的一个基底..（6分）（2020秋•乐山期中）如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D中，AB=4,AD=3,AA'=5,ZBAD=90°,ZBAA'=ZDAA=60°,且点F为BC与BC的交点，点E在线段AC上，有