2019年辽宁省本溪市中考数学试卷（解析版）

2019年辽宁省本溪市中考数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.（3分）（2019•本溪）下列各数是正数的是（）

A.0B.5C.」D.--J2

2

【考点】27：实数.

【专题】511：实数.

【分析】此题利用正数和负数的概念即可解答.

【解答】解：0既不是正数，也不是负数；5是正数；总和坛都是负数.

故选：B.

【点评】此题考查正数和负数的概念.大于0的数是正数，正数前面加上“-”的数是

负数.数0既不是正数，也不是负数.

2.（3分）（2019•本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断.

【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意;

8、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

。、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意.

故选：B.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图

形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：

在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180。，旋转后的图形能和原图形完全重合,

那么这个图形就叫做中心对称图形.

3.（3分）（2019•本溪）下列计算正确的是（）

A.x7-rx=x7B.（-3/）2=-9x4

C.x3,x3—2x6D.（尤3）2=尤6

【考点】46：同底数累的乘法；47：基的乘方与积的乘方；48：同底数累的除法.

【专题】512：整式.

【分析】直接利用同底数幕的乘除运算法则以及哥的乘方运算法则分别化简得出答案.

【解答】解：A、x7-x=x6,故此选项错误；

B、（-3/）2=9x4,故此选项错误；

C、X3•无3=/，故此选项错误；

D、（x3）2=x6,故此选项正确；

故选：D.

【点评】此题主要考查了同底数幕的乘除运算以及嘉的乘方运算，正确掌握相关运算法

则是解题关键.

4.（3分）（2019•本溪）2019年6月8日，全国铁路发送旅客约9560000次，将数据9560000

科学记数法表示为（）

A.9.56X106B.95.6X105C.0.956X107D.956X104

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法的表示形式为。义10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值>1时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

【解答】解：将数据9560000科学记数法表示为9.56X106.

故选：A.

【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，

其中lW|a|<10,”为整数，表示时关键要正确确定a的值以及w的值.

5.（3分）（2019•本溪）下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（℃）的统计结果：

县（区）平山区明山区溪湖区南芬区高新区本溪县恒仁县

气温（℃）26262525252322

则该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是（）

A.25,25B.25,26C.25,23D.24,25

【考点】W4：中位数；W5：众数.

【专题】542：统计的应用.

【分析】根据众数和中位数的概念求解即可.

【解答】解：•在这7个数中，25（℃）出现了3次，出现的次数最多，

，该日最高气温（℃）的众数是25；

把这组数据按照从小到大的顺序排列位于中间位置的数是25,

则中位数为：25；

故选：A.

【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；

将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于

中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的

平均数就是这组数据的中位数.

:的解集是（）

2x-8<0

A.尤>3B.尤W4C.x<3D.3VxW4

【考点】CB：解一元一次不等式组.

【专题】11：计算题；524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可.

[x-3>0①

【解答】解:

(2x-84。②

由①得：x>3,

由②得：xW4,

则不等式组的解集为3<xW4,

故选：D.

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

7.（3分）（2019•本溪）如图所示，该几何体的左视图是（）

正面

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【解答】解：从左边看是一个矩形，中间有两条水平的虚线，

故选：B.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

8.（3分）（2019•本溪）下列事件属于必然事件的是（）

A.打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”

B.若原命题成立，则它的逆命题一定成立

C.一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小

D.在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数

【考点】W7：方差；XI：随机事件.

【专题】541：数据的收集与整理.

【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案.

【解答】解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件，不合题意;

2、若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意；

C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意；

。、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意；

故选：c.

【点评】此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，正确把握相关定义是解题关键.

9.（3分）（2019•本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展.某化工厂要购进甲、乙两种型号

机器人用来进行垃圾分类.用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的

台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元.若设甲型机器人每台尤万元，根据题

意，所列方程正确的是（）

A360_480口360_480

x140-x140-xx

C.理驾四”140D.国”140=螫!■

XXXX

【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程.

【专题】522：分式方程及应用.

【分析】设甲种型号机器人每台的价格是x万元，根据“用360万元购买甲型机器人和

用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于尤的分式方程.

【解答】解：设甲型机器人每台尤万元，根据题意，可得：36^=_180_,

x140-x

故选：A.

【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键正确找出等量关系，列出分式方程.

10.（3分）（2019•本溪）如图，点P是以为直径的半圆上的动点，CA±ABfPD±AC

于点Q,连接AP,设AP=x,PA-PD=y,则下列函数图象能反映y与x之间关系的是

（）

A.

【考点】E7：动点问题的函数图象.

【专题】31：数形结合；33：函数思想；55E：解直角三角形及其应用.

【分析】设圆的半径为R,连接PB,贝!)贝1JP〃=APsina=xX」-x

2R2R2R

=」一/,即可求解.

2R

【解答】设：圆的半径为R,连接

'：CA±AB,即AC是圆的切线，则NPD4=/PBA=a,

则PD—APsina—xX-^—^-^—x2,

2R2R

则y=Rl-PD---^—x1+x,

2R

图象为开口向下的抛物线，

故选：C.

【点评】本题考查的动点的函数图象，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质、二次函

数基本性质等，关键是找出相应线段的数量关系，列出函数表达式.

二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）

11.（3分）（2019•本溪）若仃方在实数范围内有意义，则x的取值范围为x22.

【考点】72：二次根式有意义的条件.

【分析】根据二次根式有意义的条件可得X-2N0,再解即可.

【解答】解：由题意得：x-2^0,

解得：x22,

故答案为：x22.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是

非负数.

12.（3分）（2019•本溪）函数y=5x的图象经过的象限是一、三.

【考点】F6：正比例函数的性质.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】利用这个比例函数的性质结合比例系数的符号直接回答即可.

【解答】解：函数y=5x的图象经过一三象限，

故答案为：一、三

【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数*W0）,左＞0时，图象在一

三象限，呈上升趋势，当上＜0时，图象在二四象限，呈下降趋势.

13.（3分）（2019•本溪）如果关于尤的一元二次方程7-4x+笈=0有实数根，那么左的取值

范围是kW4.

【考点】AA：根的判别式.

【专题】11：计算题；16：压轴题.

【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0,列出关于*的不等式，求

出不等式的解集即可得到k的范围.

【解答】解：根据题意得：2^=16-4%\0,

解得：kW4.

故答案为：左W4.

【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根;

根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0,方程没有实

数根.

14.（3分）（2019•本溪）在平面直角坐标系中，点A,8的坐标分别是A（4,2）,B（5,0）,

以点O为位似中心，相似比为工，把△ABO缩小，得到△481。，则点A的对应点Ai

2

的坐标为（2,1）或（-2,-1）.

【考点】D5：坐标与图形性质；SC：位似变换.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】根据位似变换的性质计算即可.

【解答】解：以点。为位似中心，相似比为工，把缩小，点A的坐标是A（4,2）,

2

则点A的对应点Ai的坐标为（4x1,2x1）或（-4XL,-2XL）,即（2,1）或

2222

（-2,-1）,

故答案为：（2,1）或（-2,-1）.

【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点

为位似中心，相似比为左，那么位似图形对应点的坐标的比等于左或-左.

15.（3分）（2019•本溪）如图，2。是矩形ABC。的对角线，在BA和2。上分别截取3E,

BF,使BE=BF；分别以E,尸为圆心，以大于工跖的长为半径作弧，两弧在NA3。内

2

交于点G,作射线8G交于点P,若4尸=3,则点P到的距离为3.

【考点】KF：角平分线的性质；LB：矩形的性质；N3：作图一复杂作图.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；556：矩形菱形正方形.

【分析】首先结合作图的过程确定BP是/ABD的平分线，然后根据角平分线的性质求

得点尸到8。的距离即可.

【解答】解：结合作图的过程知：BP平分/ABD,

VZA=90°,AP=3,

点尸到的距离等于AP的长，为3,

故答案为：3.

【点评】考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是

根据图形确定BP平分NA3D

16.（3分）（2019•本溪）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中

的小正方形ABC。内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为AL.

—12―

【考点】04：轨迹；X5：几何概率.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】如图所示，AD与直线的交点为E,AB与直线的交点为F,分别求出AE.AF

所占边长的比例即可解答.

【解答】解：如图所示，4。与直线的交点为E,与直线的交点为R

根据题意可知AEJAB，

oyAB

根据相似三角形的性质可得立上—,

2AF

,1•研442,

SAIEF1心AF4X；AB4AB$AB2，

•••小球停留在阴影区域的概率为：

1212

故答案为：11

12

【点评】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之

比.

17.（3分）（2019•本溪）如图，在平面直角坐标系中，等边△。48和菱形0cDE的边OA,

都在x轴上，点C在边上，S&ABD=如,反比例函数y=k（尤＞0）的图象经过

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KK：

等边三角形的性质；L8：菱形的性质.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】连接OD,由是等边三角形，得到NAOB=60°,根据平行线的性质得

到/。EO=NAQB=60°,推出△OEO是等边三角形，得到NZ）OE=/BAO=60°,得

至！J。£）〃48,求得SAEDO=SZ\AOO,推出SAAOB=SAABD=V5，过8作8H_L0A于”，由

等边三角形的性质得到O”=AH,求得SAOBH=Y无，于是得到结论.

2

【解答】解：连接OD,

'：^OAB是等边三角形，

AZAOB=60°,

•.•四边形OCDE是菱形,

J.DE//OB,

：.ZDEO=ZAOB=60°,

：./\DEO是等边三角形，

：.ZDOE=ZBAO=60°,

：.OD//AB,

••S/\BDO=S/^AODJ

,**S四边形ABDO=S/\ADO+S/\ABD=S/\BDO+S/\AOB,

SAAOB=S/\ABD-，

过5作于H,

・•・OH=AH,

SAOBH=^-,

2

、・反比例函数y=k（x>0）的图象经过点3,

x

・・・左的值为证，

故答案为：Vs-

3

【点评】本题考查了反比例函数系数上的几何意义，等边三角形的性质，菱形的性质，

同底等高的三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键.

18.（3分）（2019•本溪）如图，点31在直线/：y=L;上，点31的横坐标为2,过为作

2

交x轴于点4,以481为边，向右作正方形481历。，延长82cl交x轴于点

42;以4282为边，向右作正方形A2B2B3C2,延长B3C2交X轴于点A3；以4323为边，

向右作正方形A38384c3延长34c3交X轴于点A4;…；按照这个规律进行下去，点Cn的

【考点】D2：规律型：点的坐标；F8：一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】2A：规律型；533：一次函数及其应用；55D：图形的相似.

【分析】根据点81的横坐标为2,在直线/：y=Lx上，可求出点药的坐标，由作图可

2

知图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2,然后依次利用相似三角形

的性质计算出Cl、C2、C3、C4……的横坐标，根据规律得出答案.

【解答】解：过点81、Ci、C2、C3、C4分别作BiOLx轴，C1D1LX轴，C2O2J_龙轴,

C3Z)3-LX轴，C4Z)4±X轴,垂足分别为。、01、。2、03、£）4

:点81在直线/：y=Lc上，点为的横坐标为2,

2

；.点B1的纵坐标为1,

即：0D=2,BiD=l,

图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2,

B।D]DA।C।D।D[A2

0D-2-B]D-A[D]-C[D]一

...点G的横坐标为：2+1+（鼻）°,

22

点C2的横坐标为：2+1+（』）°+（工）°X^+（工）1=8+（Ji）。义$+（A）1

222422242

点C3的横坐标为：2+X+（且）°+（上）°xJ-+（Ji）1+（工）叹工+（Ji）2=$+（色）

2224224222

°x"+（S）1义立++（3）2

4242

点C4的横坐标为：=$+（色）°x-^+（3）以$+（A）2*3+（3）3

22424242

点Cn的横坐标为：=5+(W)。义2+("1)取5+(之)2x<+(3)3x5+(W)4x5

22424242424

+3)“7

2

=5+n](JL)°+(A)]x+(Ji)2+(Ji)3+(-1)4....]+(JL)

24222222

胃+6尸

【点评】考查一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质、在计算探索的过程中

发现规律，得出一般性的结论.

三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）

19.（10分）（2019•本溪）先化简，再求值（.,其中&满足

a-4a+42-aa-2a

cr+3a-2=0.

【考点】6D：分式的化简求值.

【专题】11：计算题；513：分式.

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据『+3。-2=0,可以求

得所求式子的值.

［解答］解：（-，）—

a-4a+42-a&-2a

-r（a+2）（a-2）,11a（a-2）

—（、a+2］）.a（a-2）

一~2-

=a+3^a（a-2）

~2~

=g（a+3）

~2~

_a2+3a

-----,

2

Vcr+3a-2=0,

.,.a1+3a—2,

.,.原式=2=1.

2

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

20.（12分）（2019•本溪）某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：A.机器人,

B.围棋，C.羽毛球，D.电影配音.每人只能加入一个社团.为了解学生参加社团的

情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两

幅不完整的统计图，其中图（1）中A所占扇形的圆心角为36°.

BD项目

图（1）图（2）

根据以上信息，解答下列问题:

（1）这次被调查的学生共有200人:

（2）请你将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有1000学生加入了社团，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛

球社团；

（4）在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人

中任选两名参加机器人大赛.用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图；X6：列表法与树

状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36。，即可求得这次被调查的学生

数；

（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；

（3）该校1000学生数又参加了羽毛球社团的人数所占的百分比即可得到结论；

（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙

两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）类有20人，所占扇形的圆心角为36°,

，这次被调查的学生共有：20+工=200（人）；

360

故答案为：200；

（2）C项目对应人数为：200-20-80-40=60（人）；

补充如图.

(3)1000X-^-=300(人)

200

答：这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团;

（4）画树状图得：

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

..•共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，

：.p（选中甲、乙）=A=1.

126

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图.注意概率=所求

情况数与总情况数之比.

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21.（12分）（2019•本溪）如图，在四边形48cD中，AB//CD,AD1,CD,ZB=45°,延

长到点E,使DE=ZM,连接AE.

（1）求证：AE=BC；

（2）若AB=3,CD=1,求四边形ABCE的面积.

【考点】KW：等腰直角三角形；L7：平行四边形的判定与性质.

【专题】555：多边形与平行四边形.

【分析】（1）通过证明四边形ABCE是平行四边形，可得结论；

（2）由平行四边形的性质可求。£=4。=2,即可求四边形ABCE的面积.

【解答】证明：（1）,.,AB//CD,ZB=45°

AZC+ZB=180°

/.ZC=135°

•：DE=DA,ADLCD

.•.Z£=45°

VZ£+ZC=180°

：.AE//BC,S.AB//CD

四边形ABCE是平行四边形

：.AE=BC

（2）:四边形ABCE是平行四边形

：.AB=CE=3

：.AD^DE=AB-CD=2

，四边形ABCE的面积=3X2=6

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的判定是本题的关键.

22.（12分）（2019•本溪）小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱,

图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息:

滑杆。E,箱长BC,拉杆AB的长度都相等，B,尸在AC上，C在。E上，支杆。尸=30aw,

CE：CD=1：3,/DCF=45°,ZCDF=30°,请根据以上信息，解决下列向题.

（1）求AC的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点A到水平滑杆即的距离（结果保留根号）.

图1图2

【考点】KU：勾股定理的应用；T8：解直角三角形的应用.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】（1）过尸作于H,解直角三角形即可得到结论；

（2）过A作4G，即交即的延长线于G,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：（1）过尸作修_LQE于”，

：./FHC=/FHD=90°,

VZFr）C=30°,0P=30,

:.FH=LOF=15,DH=0±DF=15M，

22

VZFCH=45°，

：.CH=FH=15,

.1.CD=CH+DH=15+1573-

•/CE-.CD=1：3,

.-.D£=ACD=20+20V3-

3

；AB=BC=DE,

：.AC=(40+4(h/3)cm；

(2)过A作AG_LED交即的延长线于G,

VZACG=45°,

：.AG=^-AC=20y/2+20-/^,

2

答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为（20加+20^）cm.

图2

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是

用数学知识解决实际问题.

五、解答题（满分12分）

23.（12分）（2019•本溪）某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工

厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量无（件）（x为正整数）之间

满足如图所示的函数关系.

（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量尤的取值范围；

（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是

【考点】HE：二次函数的应用.

【专题】536：二次函数的应用.

【分析】（1）认真观察图象，分别写出该定义域下的函数关系式，定义域取值全部是整

数；

（2）根据利润=（售价-成本）X件数，列出利润的表达式，求出最值.

【解答】解：（1）当0-0且尤为整数时，y=40；

当20cx《60且尤为整数时，y=-L+50；

2

当尤〉60且x为整数时，y=20；

（2）设所获利润w（元），

当0<xW20且x为整数时，y=40,

；.卬=（40-16）X20=480%,

当20<xW60且x为整数时，y=-Lx+50,

2

.,.w=（y-16）x=（-—x+50-16）x,

2

w=--X2+34X,

2

.,.w=-L（X-34）2+578,

2

:-A.<o,

2

.•.当x=34时，w最大，最大值为578元.

答：一次批发34件时所获利润最大，最大利润是578元.

【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式并熟练运

用性质是解决问题的关键.

六、解答题（满分12分）

24.(12分)(2019•本溪)如图，点尸为正方形ABC。的对角线AC上的一点，连接8尸并

延长交于点E,交AD的延长线于点RO。是△。跖的外接圆，连接。尸.

(1)求证：OP是。。的切线；

(2)若tan/PZ)C=L,正方形A8CD的边长为4,求。。的半径和线段OP的长.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；M5：圆周角定理；MA：

三角形的外接圆与外心；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形.

【专题】11：计算题；14：证明题；55A：与圆有关的位置关系.

【分析】(1)连接OD,可证△CDPg/\C8P,可得/C£)P=NCBP,^ZCBP+ZBEC

=90°,/BEC=NOED=/ODE,可证出NOZ)P=90°,则。尸是O。的切线；

(2)先求出CE长，在Rt/XQEF中可求出EF长，证明由比例线段可

求出EP长，则。尸可求出.

【解答】(1)连接。。，

:正方形A8C。中，CD=BC,CP=CP,NDCP=NBCP=45°,

.•.△CDP^ACBP(SAS),AB

：.ZCDP=ZCBPf

VZBCD=90°,

:・NCBP+NBEC=90°,

9

：OD=OE9

：.ZODE=ZOED,

NOED=NBEC,

：.ZBEC=/OED=/ODE,

：.ZCDP+ZODE=90°,

：.ZODP=90°,

・・・。尸是OO的切线；

(2)•:/CDP=/CBE,

CT1

・•・tan/CBE=tan/CDP装*，

DCZ

・・・CE='x4二2'

:・DE=2,

9：ZEDF=90°,

・・・斯是。。的直径，

：.ZF+ZDEF=90°,

:.NF=NCDP,

在RtZXDEF中，0E=1,

DF2

：.DF=4,

EF=7DE2+DF2=V42+22=

OE=Vs，

'：ZF=ZPDE,ZDPE=ZFPD,

:.△DPEs^FPD,

.PEPDDE

••--=----=----,

PDPFDF

设PE=x,则PZ)=2x,

•',x(x+2V5)=(2x)2,

解得尤

OP=OE+Ei

【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判

定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用；熟练掌握切线的判定与性

质并结合锐角三角函数进行计算是解决问题的关键.

七、解答题(满分12分)

25.(12分)(2019•本溪)在Rt^ABC中，ZBCA=90°,ZA<ZABC,。是AC边上一

点，且。是的中点，CE是△BCD的中线.

(1)如图a,连接。C,请直接写出NOCE和/OAC的数量关系：；

(2)点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON,使/

MON=NADB,ON与射线CA交于点N.

①如图b,猜想并证明线段。加和线段ON之间的数量关系；

②若NBAC=30°,BC=m,当/AON=15°时，请直接写出线段ME的长度(用含优

的代数式表示).

W/

图a〃图匕/备用图

【考点】RB：几何变换综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】(1)结论：ZECO=ZOAC.理由直角三角形斜边中线定理，三角形的中位线

定理解决问题即可.

(2)①只要证明△COMg△AON(ASA),即可解决问题.

②分两种情形：如图3-1中，当点N在CA的延长线上时，如图3-2中，当点N在线

段AC上时，作于H.分别求解即可解决问题.

【解答】解：(1)结论：ZECO=ZOAC.

理由：如图1中，连接OE.

图1

VZBCD=90°,BE=ED,BO=OA,

♦;CE=ED=EB=LBD,CO=OA=OB,

2

：.ZOCA=ZAf

•；BE=ED,BO=OA,

J.OE//AD,OE=LAD,

2

：.CE=EO.

：./EOC=/OCA=NECO,

：.ZECO=ZOAC.

故答案为：ZOCE=ZOAC.

(2)如图2中,

VOC=OA,DA=DB,

：.ZA=ZOCA=ZABD,

：.ZCOA=ZADBf

'：ZMON=ZADB,

：.ZAOC=ZMON,

AZCOM=/AON,

9：ZECO=ZOAC,

：.ZMCO=ZNAO,

'：OC=OAf

•・.△COM也ZVION(ASA),

：.OM=ON.

②如图3-1中，当点N在C4的延长线上时,

9：ZCAB=30°=ZOAN+ZANO,ZAON=15°,

ZAON=ZANO=15°,

.\OA=AN=m,

'：AOCM^AOAN,

：.CM=AN=m,

在RtZ\3CZ)中，°：BC=m,NCDB=60°,

,g2V3

・・BD=-7-m,

3

■:BE=ED,

：.CE=^BD=^-m,

23

EM=CM+CE=m+^-m.

3

如图3-2中，当点N在线段AC上时，作OH_LAC于H.

VZAON=15°,ZCAB=30°,

：./0NH=15°+30°=45°,

：.OH=HN=Lm,

2

2

CM=AN=^^-m--m,

22

,:EC=®m,

3___

:.EM=EC--C^-m--m'）——m-

32226

综上所述，满足条件的EM的值为m+^-m或工机-国.

326

【点评】本题属于几何变换综合题，考查了直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定

理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角

形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

八、解答题（满分14分）

26.（14分）（2019•本溪）抛物线y=-Zf+必+。与无轴交于A（-1,0）,B（5,0）两点，

9

顶点为C,对称轴交X轴于点点尸为抛物线对称轴。上的一动点（点尸不与C,D

重合）.过点C作直线PB的垂线交尸8于点E,交x轴于点尺

（1）求抛物线的解析式；

（2）当的面积为5时，求点P的坐标；

（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】16：压轴题；31：数形结合；32：分类讨论；66：运算能力.

【分析】（1）函数的表达式为：y=2（x+1）（尤-5）,即可求解；

9

（2）确定尸2、CE的表达式，联立求得点P（2-迦，0）,SAPCF=LXPCXDF=L（2

322

-m）（2-2m-2）=5,即可求解；

3

（3）分当CP=CF、CP=PF、CP=PF三种情况，分别求解即可.

【解答】解：（1）函数的表达式为：y=2（尤+1）（x-5）=-2/+雪+」旦；

'9999

（2）抛物线的对称轴为x=l,则点C（2,2）,

设点P（2,机），

将点尸、8的坐标代入一次函数表达式：y=s无+f并解得：

函数PB的表达式为：y=-1,内+显…①，

33

；CE_LPE,故直线CE表达式中的k值为国，

m

将点C的坐标代入一次函数表达式，

同理可得直线CE的表达式为：>=3乂+（2工）…②，

min

联立①②并解得：x=2-@l,

3

故点尸（2-生，0）,

3

5APCF=—XPCXDF=-L（2-m）（2-细-2）=5,

223

解得：加=5或-3（舍去5）,

故点尸（2,-3）；

（3）由（2）确定的点尸的坐标得：

222

Cp2=（2-m）,c「2=（红）2+4,PF2=（2™）+m,

33

①当CP=C尸时，即：（2-m）2=（2m）2+4,解得：%=0或迤（0舍去），

35

②当CP=P/时，（2-祖）2=（驾.）2+„?,解得：加=之或3,

32

③当C9=p尸时，同理可得：%=±2（舍去2）,

故点尸（2,W）或（2,匹）或（2,-2）或（2,3）.

25

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的

面积计算等，其中（3）,要注意分类求解，避免遗漏.

考点卡片

1.科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成。义10"的形式，其中。是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：0X10",其中lWa<10,

力为正整数.】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数”.

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

2.实数

（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数.

（2）实数的分类：

'正有理数

有理数0征实数

、负有理数或实数：,

实数:

/正无理数〔负实数

无理

.负无理数

3.同底数塞的乘法

（1）同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

am-an=am+n（m,〃是正整数）

（2）推广：4/5=暧+叱（m,n,p都是正整数）

在应用同底数幕的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,（/.）3与（/庐）

4,（x-y）2与（尤-y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只

有相乘时才是底数不变，指数相加.

（3）概括整合：同底数塞的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在

运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变

形为同底数幕.

4.塞的乘方与积的乘方

（1）塞的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（/）〃=产"（相，〃是正整数）

注意：①皋的乘方的底数指的是暴的底数；②性质中“指数相乘”指的是塞的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数塞的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.

（ab）"=屋％"（"是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

5.同底数易的除法

同底数幕的除法法则：底数不变，指数相减.

am^an=amnQWO,机，〃是正整数，能＞〃）

①底数aWO,因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0；

③应用同底数幕除法的法则时，底数“可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是

什么，指数是什么.

6.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注

意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺

少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选

择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式

都有意义，且除数不能为0.

7.二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念.形如小（°20）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

（3）二次根式具有非负性.«Q20）是一个非负数.

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利

用二次根式的非负性解决相关问题.

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开

方数都必须是非负数.

2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

8.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式(△=启-4改)判断方程的根的情况.

一元二次方程af+bx+cu。(a=0)的根与△=/??-4ac有如下关系：

①当△>()时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△<()时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

9.由实际问题抽象出分式方程

由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系.

(1)在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中

的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等.

(2)列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路.

10.解一元一次不等式组

(1)一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

(2)解不等式组：求不