现代机械制图 课件 第3章 立体的投影

第3章立体的投影3.1平面立体的投影3.2曲面立体的投影3.3平面与平面立体表面相交3.4平面与回转体表面相交3.5两回转体表面相交立体的投影特性：立体的投影，就是立体上的各面、线和点的投影。画立体的投影图实质就是绘制点、直线和平面的投影，并判别可见性。判断可见性的方法，是按各个投影方向，（上遮下、前遮后、左遮右）的原则，将那些处于可见位置的轮廓线用粗实线表示，而不可见位置的轮廓线用虚线表示。粗实线和虚线重合画粗实线。平面立体：由若干个平面围成的几何体。棱面：围成平面立体的平面。棱线：两个相邻棱面的交线。常见的平面立体有棱柱、棱锥、棱台等。3.1平面立体的投影棱柱:两平行底面为多边形，侧棱面为矩形。棱锥:棱线交于一点，底面为多边形，侧棱面为三角形。棱台:棱线交于一点，两底面相互平行，且为多边形，侧棱面为梯形。①互相平行的上、下两底面；②与底面垂直的若干个棱面。1.正棱柱表面的组成在三投影面体系中，正棱柱一般按如下位置放置：上、下底面为投影面平行面。其他的棱面则为投影面垂直面或投影面平行面。常见的棱柱有正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱等。一、棱柱VHW2.正棱柱的投影特性如图正六棱柱，上下底面为水平面，两积聚一实形。前后棱面为正平面。其他四个侧棱面都为铅垂面,两类似一倾斜。3.六棱柱投影的画法1234561

2(6)4

3(5)2(3)1(4)6(5)画图方法：①先画三个图的基准。②画水平投影—六边形。③其他投影：先画上下两平行面，再求顶点，连棱线。画图规律：不画投影轴，各点仍遵守点的投影规律（两垂直一相等。123456a

4.棱柱表面上取点(b)B••Ab

方法：①判断点所在的棱面；②点的可见性。点投影的可见性与所在棱面的可见性相同。注意：积聚性投影面不判断点的可见性。ba

a（）5.棱柱表面上取线44

4

2对于取线，先求得端点和折点，再连成线。注意：只有在同一平面才可直接连线。1

2

3

5

135（5

）1

2

3

4二、棱锥1.棱锥表面的组成ABCS①一底面，为多边形;②若干个棱面组成，为三角形;③所有的侧棱线都交于一点。在三投影面体系中，棱锥一般按如下位置放置：底面为投影面平行面。其他的棱面则为投影面垂直面或一般平面。2.三棱锥的投影特性如图示正三棱锥：①锥顶S；②底面△ABC为水平面；③△SBC为侧垂面；④△SAB、△SAC为一般位置平面。b

(c

)s

a

asc

b

cs

ba

ABCS3.三棱锥投影的画法画图方法：①画底面ABC的三面投影;②确定顶点S的三面投影;③连棱线SA，SB,SC的三面投影。s

s

b

a

c

abca

(c

)b

s

ABCS2(2

)4.棱锥表面上取点s

s

b

a

c

abca

(c

)b

sABCS1

1

12

1(2)特殊位置点：直接得到。()ABCSKs

s

b

a

c

abca

(c

)b

sk

n

kk

nn

一般位置点：求点先求线。三、棱台例3-1：已知四棱台的正面投影和水平投影，求其侧面投影及其表面上的折线ABCDEF的正面投影和侧面投影。aba

b

cc

c

af

d

d(d)e

e(e)f

fb

画图方法：①画四棱台侧面投影;②作棱线上点的投影;③作棱面上点的投影；④

作折线的投影。45°辅助线的特点：①作三视图时，一旦辅助线位置确定，待作视图位置则随之确定；②已知三视图求面上的点，作45°辅助线应通过视图上的对应投影点确定。实际作图过程中，可以不作这条45°辅助线。？曲面立体——由曲面或平面与曲面围成的立体。3.2曲面立体的投影工程中用的最多的曲面立体是回转体，如：圆柱、圆锥、圆球、圆环等。它们均是由回转面或回转面和平面所围成。回转面：一动线(母线)绕一定线（轴线）回转一周后形成的曲面。素线：母线在回转面上的任意位置。纬圆：母线上的点绕轴旋转一圈形成的圆。母线纬圆素线一、圆柱2.圆柱的三面投影(两个矩形一个圆)3.投影的转向轮廓线与曲面的可见性的判断1.圆柱的组成由圆柱面和两底面组成；圆柱面是由母线绕与它平行的轴线旋转而成。最左边的素线最后边的素线最前边的素线最右边的素线前左后右4.圆柱表面求点1）判断点的位置；2）利用圆柱面的积聚性求点。积聚性面上的点不判断可见性。(a

)a

abb

b

5.圆柱表面取线2）作图①先求特殊点：转向轮廓线上的点；②再求一般点；③判断可见性后光滑连接各点。例3-2：求圆柱表面曲线ABCDEF的H、W面投影。1）分析所有点都在圆柱面上，曲线在H面的投影积聚在圆上。(a

)a

ab

b

cdefbcdefcd（e）f二、圆锥2.圆锥的三面投影(两个三角形一个圆)3.投影的转向轮廓线与曲面的可见性的判断1.圆锥的组成由圆锥面和底面组成；圆锥面是由母线绕与它相交的轴线旋转而成。sss最左边的素线最后边的素线最前边的素线最右边的素线4.圆锥面上的点1）素线法过锥顶作一条素线特殊位置点可直接求得。一般位置点可用以下两种方法求得。a

b

ka

dsssadbkkb2）纬圆法如何取圆的半径？kkk例3-3：求锥面上的线SK、AB的两面投影。分析：SK线过锥顶，故为直线，AB为水平圆弧。转向轮廓线上的C点要求出。连线时要判别可见性。5.圆锥面上的线kb

a(k)dssskdbaa(b)ccc

三个视图分别为三个方向最大的圆。三、圆球2.圆球的三面投影（三个圆）3.投影的转向轮廓线与曲面可见性的判断1.圆球的形成圆母线以它的直径为轴旋转而成。分上下bb

bac

ac分前后a

分左右c特殊点：转向轮廓线上的点，先找出转向轮廓线的三面投影。4.圆球表面求点b

b(b)(c

)(c)c

一般点：圆的半径？K纬圆法:1）求点之前判断出其所在方位(八个部分)；2）球面没积聚性，一般点要作辅助线（圆）求。

作水平纬圆kkkK纬圆法:作正平纬圆kkk一般点：1）求点之前判断出其所在方位(八个部分)；2）球面没积聚性，一般点要作辅助线（圆）求。

K纬圆法:作侧平纬圆kkk一般点：1）求点之前判断出其所在方位(八个部分)；2）球面没积聚性，一般点要作辅助线（圆）求。

例3-4：求球面上的线AB、BC的两面投影。分析：AB为圆弧，BC为曲线，A、C在V面的转向轮廓线上，B点作辅助纬圆求得。转向轮廓线上的点不能掉。5.圆球表面求线db

ac

(c)cbaabe(e)d

edABC四、圆环2.圆环的三面投影3.投影的转向轮廓线与曲面可见性的判断1.圆环的形成圆母线围绕在圆外且与圆共面的轴线回转一周而成。最大纬圆最右素线最下纬圆最左素线最前素线最后素线最小纬圆最上纬圆4.圆环面上取点accdbab(d)特殊点：直接求一般点：纬圆法一、基本概念3.3平面与平面立体表面相交截平面

——截切立体的平面。截交线

——截平面与平面立体表面的交线。截断面

——所得截交线围成的平面图形。求平面立体截切后的投影关键是求截交线。截断面截交线截平面封闭性：平面立体的截交线是一个封闭的平面多边形；它的每条边是截平面与平面立体表面(棱面)的交线；它的顶点是截平面与平面立体的棱线的交点。共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。二、截交线的性质三、平面立体切割的投影方法2:求各棱线与截平面的交点（即顶点)→棱线法。方法1:求各表面与截平面的交线(即多边形的边)→棱面法。关键是正确地画出截交线的投影。

一般先用棱面法分析多边形有几个边，再用棱线法作图逐个求其顶点连线。7421365例3-5：求四棱锥被切割后的H、W面投影。1）空间及投影分析2）作图③连线并判断可见性；注意:截交线投影的类似性与四个棱面交，截交线为四边形,其四个顶点是截平面与四条棱线的交点。abc

bda

sb

s

ac1

213cdd342

4

3214②求四个顶点；④处理轮廓线。1.一个平面截平面立体s①作四棱锥侧面投影；例3-6：正垂面截切五棱柱，完成H、W面投影。523(4)5123411234523451多个封闭多边形：有几个截平面就有几个封闭的多边形，每个多边形的边是截平面与棱面的交线，再加上相邻两截平面之间的交线。2.多个平面截平面立体多边形的顶点：是截平面与棱线的交点，加上相邻两截平面之间交线的端点（即交线与棱面的交点）。12345678求截交线的步骤：①求截平面与各棱面的交线（红色，即求各边顶点）。②求相邻两截平面之间的交线（蓝色）。CS12346ABPQ5abcsc

b

a

sb

cs

a

PQ1

2

3(4)56

15265462

3

1

例3-7:求作三棱锥被P、Q平面截切后的投影。①有几个截平面？②每个截断面是几边形？③每个投影上的可见性如何？空间分析:43截交线的性质：1）截交线是截平面与回转体表面的共有线;3）截交线的形状取决于：①回转体形状（柱，锥、球）;②截平面与回转体轴线的相对位置。2）截交线一般为封闭的平面曲线，特殊为直线;3.4平面与回转体表面相交截交线的构成：曲面截交线上的点是素线与截平面的交点。截交线素线交点求曲面立体截交线的一般步骤：①分析：回转体的表面性质投影特性；确定截平面数目（注意相邻两截面所产生的交线）和空间位置。②求截交线：用线面交点法求出截交线一系列点，连成截交线。确定特殊点：控制曲线形状的点、轮廓线上的点、截交线的极值点。插补中间点：特殊点之间的点。③判断可见性：截交线可见性与所属回转面部位的可见性相同。④完成截后立体投影一、平面与圆柱相交截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。投影图截平面位置截交线形状立体图垂直于圆柱轴线平行于圆柱轴线两平行直线圆倾斜于圆柱轴线椭圆例3-8：圆柱被正垂面截切，求切割后的投影。平面与圆柱的轴线倾斜，截交线为椭圆。正垂面：两类似一倾斜。2）作图①特殊点;②补充适量的一般点;③将点依次光滑连接;④整理轮廓线并加深。（补全W面中的转向轮廓线，看V面）1）空间及投影分析123485761

3

4

6

5

8

7

5876132

421

5

(8

)2(4)6

(7

)3

在形状较为复杂的机件上，经常见到具有缺口的和穿孔的曲面立体，只要:①逐个作出各个截平面与曲面立体表面的截交线；②并画出截平面之间的交线；③整理轮廓线，就可画出曲面立体的投影图。切口穿孔立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。1）空间及投影分析

2）作图①逐个截平面求截交线；②求截平面之间的交线;③整理轮廓线并加深。一个侧平面//轴线两平行直线，一个水平面⊥轴线圆弧。例3-9：多个平面切割圆柱。例3-10：多个平面切割圆柱。注意转向轮廓线1）空间及投影分析2）作图①逐个截平面求截交线；②求截平面之间的交线；③整理轮廓线并加深。一个侧平面两平行直线一个正垂面椭圆一部分例3-11：多个平面切割圆柱。截平面之间的交线平面与圆锥面的交线有五种情况：投影图截平面位置截交线形状立体图圆椭圆抛物线双曲线两条相交直线垂直于轴线倾斜于轴线，且θ＞α倾斜于轴线，且θ=α倾斜于轴线,且θ＜α通过锥顶αθαθ二、平面与圆锥相交例3-12：圆锥被正垂面截切，求截交线，并完成水平及侧面投影。2）作图①找特殊点（椭圆长、短轴端点及转向轮廓线上点）；②补充中间点；③光滑连接各点；④整理轮廓线。1）空间及投影分析①截交线的形状为椭圆；②投影两类似一倾斜；③椭圆的长短轴。11

12

22

3(4)3

4

345(6)5

6

7(8)787

8

652）作图①求特殊点;空间:正平面//轴线——双曲线投影:两积聚一实形，V面反映双曲线实形。②求中间点;③光滑连接各点;例3-13：求正平面切圆锥的投影。1）空间及投影分析④整理轮廓线。11

22

3

35454例3-14：多平面切圆锥。2）作图①逐个截平面求截交线;②求截平面间的交线;③整理轮廓线并加深。1）空间及投影分析过锥顶的平面:两相交直线水平面⊥轴线:圆弧侧平面//轴线:双曲线123465879101143786119105111021123410

11

9

56784683

57

92

1

平面与球面的截交线是圆，表现为以下三种形式：★当截平面平行于投影面时，截交线的投影为圆；★当截平面垂直于投影面时，截交线的投影为直线；★当截平面倾斜于投影面时，截交线的投影为椭圆。三、平面与圆球相交例3-15：求圆球被正垂面截后的投影。作图：①求特殊点；③光滑连接各点；②求中间点；④整理轮廓线。121

2

3(4)5(6)7(8)216485378467351）空间及投影分析:水平投影：椭圆侧面投影：椭圆例3-16：求半球被截后的水平投影和侧面投影。2）作图①逐个截平面求截交线;②求截平面间的交线;③整理轮廓线并加深。1）空间及投影分析:侧平面：W面圆弧，H面直线水平面：H面圆弧，W面直线aabcdd

b(c)de(f)feafecb相贯线:立体相交后表面产生的交线。1.性质：(表面性、共有性、封闭性)2）一般来说交线是一封闭的空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。一、相贯线概述相贯线1）是相交两回转体表面的共有线。相贯线上的点是两回转体表面的共有点。3.5两回转体表面相交2.影响相贯线形状的因素3.求相贯线依据：共有性——两曲面立体的相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体的共有点。切入点：求点——相贯线→共有线→一系列共有点→判断可见性并光滑连接。方法：①利用积聚性取点法②辅助平面法（截切）1）回转体的形状；2）回转体的相对位置。

利用圆柱有一积聚性投影，相贯线与之重影，求得一个投影，再在另一回转体表面上求点、取线，即得相贯线的其他投影。二、利用积聚性取点法求相贯线1）圆柱与圆柱相贯2）圆柱与圆锥、圆球相贯柱柱相贯柱锥相贯柱球相贯1.相贯线求解方法②小圆柱轴线垂直于H面，相贯线的水平投影积聚其圆上。③大圆柱轴线垂直于W面，相贯线的W面投影在积聚圆上为共有区域的一段圆弧，只有正面投影需要求。分析：①直径不同的两圆柱轴线垂直相交，相贯线为前后左右对称的空间曲线。三、圆柱与圆柱相贯?1）求特殊点作图步骤：①直接定出相贯线的最左点Ⅰ和最右点Ⅲ的三面投影。②再求出相贯线的最前点Ⅱ和最后点Ⅳ的三面投影。ⅠⅢⅡⅣ132412(4)3

1(3)422）求一般点：在已知相贯线的投影图上任取一般点。3）判别可见性，光滑连接相贯线：两个曲面上都可见的点才可见。可见点用粗实线连接，不可见点用虚线连接。5(6)7(8)132412(4)3

1(3)685746522.柱柱相贯的常见形式两轴线垂直相交的圆柱，其相贯线一般有三种情况：注意：以上三种情况中，由于两相交立体的形状、大小和相对位置均相同，因而相贯线的形状也是相同的。实实相交实虚相交虚虚相交相贯线是上下对称的两条闭合的空间曲线（可见）相贯线是上下对称的两条闭合的空间曲线（可见）相贯线是上下对称的两条闭合的空间曲线（不可见）

分析:当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。垂直直径<水平直径上下两条空间曲线垂直直径＞水平直径左右两条空间曲线相贯线投影关于小圆柱轴线对称，弯向大圆柱的轴线。直径相等两条平面曲线（椭圆）例3-17：补全主视图。1）两外表面相贯（直径相等）2）一内表面和一外表面相贯（直径不等）3(4)1(2)32134412

也即已知锥（球）面上曲线的一个投影相贯线柱面上的曲线锥（球）面上的曲线已知相贯线的一个投影共有性求相贯线即转化为锥（球）面上求点、线。积聚性四、圆柱与圆锥、圆球相贯作图:①求特殊点；②