空间点、线、面的位置关系 高三数学一轮复习

空间点、线、面的位置关系专题八立体几何与空间向量考点清单题型清单目录考点空间点、线、面的位置关系题型1空间点、线、面的位置关系的判定方法题型2异面直线所成角的求解题型3空间几何体的截面问题考点空间点、线、面的位置关系1.平面的基本性质基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.可作

为判断直线是否在平面内的依据.基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公

共直线.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线

异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点(2)异面直线所成的角①定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).②范围:

.3.空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点无公共点符号表示a⊂αa∩α=Aa∥α图形表示

(2)空间中平面与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行

α∥β0个两平面相交

α∩β=l无数个4.等角定理如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.即练即清1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.

(

)(2)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.

(

)(3)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种.

(

)(4)空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角一定相等.

(

)2.在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件

时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件

时,四边形EFGH为正方形.××××AC=BDAC=BD且AC⊥BD题型1空间点、线、面的位置关系的判定方法1.应用平面的基本性质及有关定理.2.采用穷举法,即对各种关系进行考虑,要充分发挥常见模型的直观性作用.3.对空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断,常采用构图法(尤其是长

方体)、现实实物判断法(如墙角、桌面等)、排除筛选法等.4.应用线、面平行的判定定理和性质定理进行判断,注意其使用的前提条件.例1

如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平

面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则

(

)

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线

解析

过E作EQ⊥CD于Q,连接BD,QN,BE,易知点N在BD上.∵平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,∴EQ⊥平面ABCD,(面面垂直的性质定理)∴EQ⊥QN,同理可知BC⊥CE,设CD=2,则EN=

=

=2,BE=

=

=2

.又在正方形ABCD中,BD=

=2

=BE,∴△EBD是等腰三角形,故在等腰△EBD中,M为DE的中点,∴BM=

=

=

,∴BM=

>2=EN,

即BM≠EN.又∵点M、N、B、E均在平面BED内,∴BM,EN在平面BED内,又BM与EN不平行,∴BM,EN是相交直线,故选B.

答案

B即练即清1.(多选)下列选项正确的是

(

)A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过空间中任意三点有且仅有一个平面C.若空间两条直线不相交,则这两条直线平行D.若直线l⊂平面α,直线m⊥平面α,则m⊥lAD题型2异面直线所成角的求解1.定义法(平移法)具体步骤如下:

2.向量法设异面直线a,b的方向向量分别为a,b,则异面直线a,b所成角的余弦值为|cos<a,b>|=

.例2

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与

AD1所成的角为

(

)A.

B.

C.

D.

解析

解法一如图所示,连接BC1,C1P,

易知四边形ABC1D1是平行四边形,∴BC1∥AD1,∴∠C1BP(或其补角)就是异面直线AD1

与PB所成的角,(利用图中已有的平行线找角)设正方体的棱长为a,则BC1=

a,C1P=

a,PB=

=

a.在△C1BP中,cos∠PBC1=

=

,(解三角形,利用余弦定理的推论求解)∴∠PBC1=

,即直线PB与AD1所成的角为

.故选D.解法二以点D为坐标原点建立空间直角坐标系(如图),

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(1,1,2),D1(0,0,2),从而

=(1,1,-2),

=(-2,0,2),因而|cos<

,

>|=

=

=

.所以直线PB与AD1所成的角为

.故选D.解法三

(利用特殊三角形解)连接BC1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AD1∥BC1,所以∠PBC1(或其补角)是异面直

线PB与AD1所成的角,连接A1B,A1C1,易知△A1BC1为正三角形,又P为A1C1的中点,所以∠PBC1=

,故选D.

答案

D即练即清2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,CD⊥BC,CD∥AB,AB=2BC=2CD=2PD,则异面直线PA与BC所成角的余弦值为

(

)

A.

B.

C.

D.

A题型3空间几何体的截面问题1.正方体中的基本斜截面

2.多面体中找截面的几种方法(1)直接法:有两点在多面体的同一个面上,连接这两点即为多面体与截面的交线,找截

面实际就是找交线的过程.(2)延长线法:若直线相交,但在多面体中未体现,可以通过作延长线的方法找到交点,然

后借助交点找到交线.(3)平行线法:过直线与直线外一点作截面,若直线所在的平面与点所在的平面平行,可

以通过过点找直线的平行线找到多面体与截面的交线.(4)空间向量法:建立空间直角坐标系,利用线面平行与垂直,通过计算,确定截面与多面

体各棱的交点,连接各交点即得截面多边形.例3已知在一个棱长为12的正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1和C1D1的中点分别为M,N,

如图,则过A,M,N三点的平面被正方体所截得的截面图形为

(

)

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

解析

解法一(平行线法)取DD1的中点F,连接AF,C1F,C1M,则AF=AM=C1M=C1F,故四边形AMC1F为菱形,则AM∥C1F,取D1F的中点E,连接EN,AE,因为N为D1C1的中点,所

以EN∥C1F,所以EN∥AM,故A,E,N,M四点共面,在B1C1上取一点P,使B1P=2C1P,连接NP,

MP,易得MP∥AE,所以过A,M,N三点的平面被正方体所截得的截面图形为五边形

AMPNE,故选B.

解法二(空间向量法)以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在

直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A(12,0,0),M(12,12,6),N(0,6,12),

则

=(0,12,6),设截面与DD1的交点为E(0,0,a),则

=(0,-6,a-12),因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1,又平面ABB1