2022年北京西城初二（上）期末数学试卷及答案

1/12022北京西城初二（上）期末数学第一部分选择题一、选择题1.下列图案中，可以看成轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列运算中，结果正确的是（）A. B. C. D.3.在中，作出边上的高，正确的是（）A.① B.② C.③ D.④4.如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定ABC和ADC是全等三角形的依据是（）A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS5.下列分式中，从左到右变形错误的是（）A. B.C. D.6.已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（）A.10 B.8 C.7 D.47.某校八年级一班计划安排一次以“迎冬奥”为主题的知识竞赛，班主任王老师打算到某文具店购买一些笔记本作为竞赛用的奖品．目前该文具店正在搞优惠酬宾活动：购买同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元．已知王老师花费24元比花费20元多买了2本笔记本，求他花费24元买了多少本笔记本，设他花费24元买了x本笔记本，根据题意可列方程（）A. B.C. D.8.在平面直角坐标系xOy中，点A(0，2)，B(a，0)，C(m，n)（）．若ABC是等腰直角三角形，且，当时，点C的横坐标m的取值范围是（）A. B. C. D.第二部分非选择题二、填空题9.计算：（1）＝________；（2）________．10.若分式有意义，则的取值范围是_____．11.已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．12.计算：________．13.若是一个完全平方式，则k的值是________．14.如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为，小正方形面积为，则的结果是________（用含a，b的式子表示）．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(2，0)，B(4，2)，若点P在x轴下方，且以O，A，P为顶点的三角形与OAB全等，则满足条件的P点的坐标是________．16.如图，中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为____．三、解答题17.分解因式：（1）；（2）．18.（1）计算：）；（2）先化简，再求值：，其中．19.解方程：．20.如图，点A，B，C，D一条直线上，，，．（1）求证：．（2）若，，求∠F的度数．21.如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4)，（1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；②点C坐标是，点C关于x轴的对称点的坐标是；（2）设l是过点C且平行于y轴的直线，①点A关于直线l的对称点的坐标是；②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置；③若Q(m，n)为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）．

22.已知：如图1，线段a，b（）．

（1）求作：等腰ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a．作法：①作线段．②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．③在MN上取一点C，使．④连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形．用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；

（2）求作：等腰PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．作法：①作直线l，在直线l上取一点G．②过点G作直线l的垂线GH．③在GH上取一点P，使PG＝．④以P为圆心，以的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．

23.（1）如果，那么m的值是，n的值是；（2）如果，①求的值；②求的值．24.在ABC中，，，AD为ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作，射线EM与射线BA交于点F．（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；（2）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．（3）当点E在线段AD的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．四、选做题25.观察下列等式：①；②；③；④；……根据上述规律回答下列问题：（1）第⑤个等式是；（2）第n个等式是（用含n的式子表示，n为正整数）．26.对于面积为S三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的ABC沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称度．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，B(－3，0)，C(3，0)．（1）过点M(m，0)作垂直于x轴的直线，①当时，ABC关于直线对称度的值是：②若ABC关于直线对称度为1，则m的值是．（2）过点N(0，n)作垂直于y轴的直线，求△ABC关于直线的对称度的最大值．（3）点P(－4，0)满足，点Q的坐标为(t，0)，若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．

参考答案第一部分选择题一、选择题1.下列图案中，可以看成轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，来对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.下列运算中，结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据幂的乘方，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法逐项分析判断即可【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；B.，故该选项不正确，不符合题意；C.，故该选项不正确，不符合题意；D.，故该选项正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查了幂的乘方，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法，掌握以上运算法则是解题的关键．3.在中，作出边上的高，正确的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】D【解析】【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．【详解】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，纵观各图形，①、②、③都不符合高线的定义，④符合高线的定义．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．4.如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定ABC和ADC是全等三角形的依据是（）A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS【答案】A【解析】【分析】原来已经有两条边相等，垂下的射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等．【详解】在△ADC和△ABC中∵所以△ADC≌△ABC（SSS）故选A．【点睛】本题考查全等三角形的判定，理解并掌握三角形全等的判定定理是解决本题关键．5.下列分式中，从左到右变形错误的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据分式的约分、异分母分式相加、提负号原则即可判断出答案．【详解】A.，所以此选项变形正确；B.，所以此选项变形错误；C.，所以此选项变形正确；D.，所以此选项变形正确．故选：B．【点睛】本题考查分式的变形，掌握约分，异分母分式相加减原则是解题的关键．6.已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（）A.10 B.8 C.7 D.4【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边关系列出不等式，根据不等式的解集求整数m的最大值．【详解】解：条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则，即又为整数，则整数m的最大值是7故选C【点睛】本题考查了求不等式的整数解，三角形三边关系，根据三角形的三边关系列出不等式是解题的关键．7.某校八年级一班计划安排一次以“迎冬奥”为主题的知识竞赛，班主任王老师打算到某文具店购买一些笔记本作为竞赛用的奖品．目前该文具店正在搞优惠酬宾活动：购买同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元．已知王老师花费24元比花费20元多买了2本笔记本，求他花费24元买了多少本笔记本，设他花费24元买了x本笔记本，根据题意可列方程（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出花费20元买了本笔记本，再根据“当花费超过20元时，每本便宜1元”建立方程即可得．【详解】解：由题意得：王老师花费20元买了本笔记本，则可列方程为，故选：C．【点睛】本题考查了列分式方程，正确找出等量关系是解题关键．8.在平面直角坐标系xOy中，点A(0，2)，B(a，0)，C(m，n)（）．若ABC是等腰直角三角形，且，当时，点C的横坐标m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点作轴于，由“”可证，可得，，即可求解．【详解】解：如图，过点作轴于，点，，是等腰直角三角形，且，，，，在和中，，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是画图及添加恰当辅助线构造全等三角形．第二部分非选择题二、填空题9.计算：（1）＝________；（2）________．【答案】①.##0.5②.【解析】【分析】（1）由负整数指数幂的运算法则计算即可．（2）由零指数幂的运算法则计算即可．【详解】（1）（2）故答案为：，．【点睛】本题考查了负整数指数幂以及零指数幂的运算法则，，即任何不等于0的数的0次幂都等于1；是由在，时转化而来的，也就是说当同底数幂相除时，若被除式的指数小于除式的指数，则转化成负指数幂的形式．10.若分式有意义，则的取值范围是_____．【答案】x≠2【解析】【详解】试题分析：由题意，得x﹣2≠0．解得x≠2考点：分式有意义的条件．11.已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．【答案】5.【解析】【详解】设这个多边形是n边形，由题意得，(n-2)×180°=540°,解之得，n=5.12.计算：________．【答案】##【解析】【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、单项式乘单项式运算法则求解即可．【详解】解：=，故答案为：．【点睛】本题考查单项式乘多项式、单项式乘单项式，算熟练掌握运算法则是解答的关键．13.若是一个完全平方式，则k的值是________．【答案】

【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．【详解】解：是一个完全平方式，即是一个完全平方式，故答案为：【点睛】本题考查了完全平方式，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的2倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．14.如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为，小正方形面积为，则的结果是________（用含a，b的式子表示）．【答案】4ab【解析】【分析】组合后多出来的面积就是中间小正方形的面积，用大正方形减小正方形的得到原来长方形面积．【详解】∵为图2大正方形的面积；为小正方形面积，∴为图1长方形面积

∴=2a×2b=4ab故答案为：4ab【点睛】本题考查列代数式在求正方形面积中的应用，找到两者之差是图1长方形面积是关键．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(2，0)，B(4，2)，若点P在x轴下方，且以O，A，P为顶点的三角形与OAB全等，则满足条件的P点的坐标是________．【答案】或##或【解析】【分析】根据题意，这两个三角形中为公共边，故分，两种情况讨论，根据题意作出图形，进而求得点的坐标【详解】解：如图，①作关于的对称的点，连接B(4，2)，则②作关于（）对称的点，连接，则又则点故答案为：或【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形性质与判定，轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．16.如图，中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为____．【答案】．【解析】【分析】以F圆心，AF为半径作一个圆F，当AF逐渐增大时，到与BC相切时，即为AF最小值，即BF最大值，计算即可．【详解】如图所示：

本题实际上相当于，以F为圆心，AF为半径作一个圆F，当与CD相切或相交时，使AF=DF=半径，据题意，当AF逐渐增大时，到与BC相切时，即为AF最小值，即BF最大值，此时，，，∴，∵，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了在直角三角形的基础上，作出以点F为圆心，圆的综合题目，读懂题意是解题的关键．三、解答题17.分解因式：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先提公因数3，再利用完全平方公式公式分解因式即可；（2）先提公因式（m－2），再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：（1）==；（2）==．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．18.（1）计算：）；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）根据多项式乘多项式，展开合并同类项；（2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把的值代入计算即可．【详解】解：（1）原式，；（2），，，，，当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，多项式乘多项式，解题的关键是先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．19.解方程：．【答案】【解析】【分析】先给方程两边乘以（x+1）(x－1)，将分式方程化为整式方程，然后解方程即可解答．【详解】解：给方程两边乘以（x+1）(x－1)，得：，，，解得：，经检验，是原方程的解．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．20.如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．（1）求证：．（2）若，，求∠F的度数．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明；（2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E，进而根据（1）的结论即可求得∠F．【详解】（1）证明：，即又，（2）解：，，【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．21.如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4)，（1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；②点C的坐标是，点C关于x轴的对称点的坐标是；（2）设l是过点C且平行于y轴的直线，①点A关于直线l的对称点的坐标是；②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置；③若Q(m，n)为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）．

【答案】（1）作图见解析，（1，2），（1，-2）；（2）①（5，1）；②P点位置见解析；③（2-m，n）【解析】【分析】（1）由A、B点坐标即可知x轴和y轴的位置，即可从图像中得知C点坐标，而的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数．（2）由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1①点是点A关于直线l的对称点，由横坐标和点A横坐标之和为2，纵坐标不变，即可求得坐标为（5，1）．②由①可得点A关于直线l的对称点，连接B交l于点P，由两点之间线段最短即可知点P为所求点．③设点Q（m，n）关于l的对称点为（x，y），则有（m+x）÷2=1，y=n，即可求得对称点（2-m，n）【详解】（1）平面直角坐标系xOy如图所示

由图象可知C点坐标为（1，2）点是C点关于x轴对称得来的则的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数即点坐标为（1，-2）．（2）如图所示，由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1

①A点坐标为（-3，1），关于直线x=1对称的坐标横坐标与A点横坐标坐标和的一半为1，纵坐标不变则为坐标为（5，1）②连接①所得B，B交直线x=1于点P由两点之间线段最短可知为B时最小又∵点是点A关于直线l的对称点∴∴为B时最小故P即为所求点．③设任意格点Q（m，n）关于直线x=1的对称点为（x，y）有（m+x）÷2=1，y=n即x=2-m，y=n则纵坐标不变，横坐标为原来横坐标相反数加2即对称点坐标为（2-m，n）．【点睛】本题考查了坐标轴中的对称点问题，熟悉坐标点关于轴对称的坐标变换，结合图象运用数形结合思想是解题的关键．22.已知：如图1，线段a，b（）．

（1）求作：等腰ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a．作法：①作线段．②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．③在MN上取一点C，使．④连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形．用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；

（2）求作：等腰PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．作法：①作直线l，在直线l上取一点G．②过点G作直线l的垂线GH．③在GH上取一点P，使PG＝．④以P为圆心，以的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．

【答案】（1）见解析；（2）a，b，见解析【解析】【分析】（1）根据所给的作法和线段垂直平分线的作图方法画出对应的图形即可；（2）根据所给的作法和作垂线的方法画出对应的图形即可．【详解】解：（1）如图，ABC就是所求作的等腰三角形；（2）作法：①作直线l，在直线l上取一点G．②过点G作直线l的垂线GH．③在GH上取一点P，使PG＝a．④以P为圆心，以b的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．如图，PEF就是所求作的等腰三角形．

故答案为：a，b．【点睛】本题考查尺规作图-作线段、作垂线、作等腰三角形，熟练掌握基本尺规作图的方法步骤是解答的关键．23.（1）如果，那么m的值是，n的值是；（2）如果，①求的值；②求的值．【答案】（1）-1，-6；（2）①；②13【解析】【分析】（1）把左边利用多项式与多形式的乘法法则化简后，与右边比较即可求出m和n的值；（2）把左边利用多项式与多形式的乘法法则化简后，与右边比较求出a+b=-2，ab=；①利用多项式与多形式的乘法法则化简后，把a+b=-2，ab=代入计算；②先通分，再根据完全平方公式把分子变形，然后把a+b=-2，ab=代入计算；【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴m=-1，n=-6，故答案为：-1，-6；（2）∵，∴，∴，∴a+b=-2，ab=；①=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4=-2×(-2)+4=；②=====13．【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法计算，完全平方公式的变形求值，分式的加减，熟练掌握完全平方公式和分式的加减运算法则是解答本题的关键．24.在ABC中，，，AD为ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作，射线EM与射线BA交于点F．（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；（2）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．（3）当点E在线段AD的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）当时，,当时，【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论．【详解】（1）∵，∴是等腰三角形，∵，∴,，∵AD为ABC中线，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴；（2），证明如下：如图2，在线段AB上取点G，使，∵，∴是等边三角形，∴，，∵是等腰三角形，AD为ABC的中线，∴，，∴，即，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴；（3）当时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB上取点H，使，∵，∴是等边三角形，∴，，∵是等腰三角形，AD为的中线，∴，∵，∴，∴，∴，∴，当时，如图4所示：在线段AB的延