2022年北京石景山初二（上）期末数学试卷及答案

1/12022北京石景山初二（上）期末数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.25的平方根是（）A.5 B.-5 C. D.2.下列各式从左到右变形正确是（）A. B. C. D.3.如图1，北京2022年冬季奥林匹克运动会会徽（冬梦）主要由会徽图形、文字标志、奥林匹克五环标志三个部分组成，图形主体形似汉字“冬”的书法形态；如图2，冬残奥会会徽（飞跃）主要由会徽图形、文字标志、国际残奥委会标志三部分组成，图形主体形似汉字“飞”的书法字体．以下图案是会徽中的一部分，其中是轴对称图形的为（）．A. B. C. D.4.下列运算正确的是（）．A. B.C. D.5.下列说法正确是（）．A.“抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件B.“打开电视机，正在播放乒乓球比赛”是必然事件C.“面积相等的两个三角形全等”是不可能事件D.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次6.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（）．A. B. C. D.7.如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是（）．A. B. C. D.8.图，在中，，，于点D，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则的度数为（）．

A.20° B.30° C.35° D.70°二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.要使代数式有意义，则实数的取值范围是______．10.有下列命题：①可以在数轴上表示无理数；②若，则；③无理数的相反数还是无理数．其中是真命题的为______（填序号）．11.已知三角形的两边长为3，5，则第三边的长度可以是___________（写出一个即可）．12.如图，点C是线段AB的中点，．请你只添加一个条件，使得≌．（1）你添加的条件是______；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）（2）依据所添条件，判定与全等的理由是______．13.计算：的结果是______．14.若，则代数式的值是______．15.如图，点D是的平分线OC上一点，过点D作交射线OA于点E，则线段DE与OE的数量关系为：DE______OE（填“＞”或“＝”或“＜”）．16.如图，在中，，，以为直角边作等腰直角，再以为直角边作等腰直角，…，按照此规律作图，则的长度为______，的长度为______．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：．18.计算：．19.如图，在中，，，点D是内一点，连接CD，过点C作且，连接AD，BE．求证：．20.计算：．21.下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得．作法：如图，①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；③作直线PQ．直线PQ就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵______，，∴（______）（填推理的依据）．22.已知，求代数式的值．23.解分式方程：．24.如图，在中，，，．AD平分交BC于点D．（1）求BC的长；（2）求CD长．25.列方程解应用题．某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？26.小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：______（填写运算结果）．（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．（3）证明你的猜想．（4）应用运算规律．①化简：______；②若（a，b均为正整数），则值为______．27.点P为等边的边AB延长线上的动点，点B关于直线PC的对称点为D，连接AD．

（1）如图1，若，依题意补全图形，并直接写出线段AD的长度；（2）如图2，线段AD交PC于点E，①设，求的度数；②求证：．28.在中，，，点P是线段CB上一个动点（不与点B，C重合），过点P作直线交AB于点Q．给出如下定义：若在AC边上存在一点M，使得点M关于直线l的对称点N恰好在的边上，则称点M是的关于直线l的“反称点”．例如，图1中的点M是的关于直线l的“反称点”．（1）如图2，若，点，，，在AC边上且，，，．在点，，，中，是的关于直线l的“反称点”为______；（2）若点M是的关于直线l的“反称点”，恰好使得是等腰三角形，求AM的长；（3）存在直线l及点M，使得点M是的关于直线l的“反称点”，直接写出线段CP的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.25的平方根是（）A.5 B.-5 C. D.【答案】C【解析】【分析】如果一个数x的平方等于a，那么x是a是平方根，根据此定义即可解题．【详解】解：∵（±5）2＝25∴25的平方根±5．故选C．【点睛】本题主要考查了平方根定义，关键是注意一个正数有两个平方根．2.下列各式从左到右变形正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．【详解】解：．，故本选项正确，符合题意；．，故本选项错误，不符合题意；．，故本选项错误，不符合题意；．，例如，，故本选项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是能熟记分式的基本性质，注意：分式的基本型性质是：分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变．3.如图1，北京2022年冬季奥林匹克运动会会徽（冬梦）主要由会徽图形、文字标志、奥林匹克五环标志三个部分组成，图形主体形似汉字“冬”的书法形态；如图2，冬残奥会会徽（飞跃）主要由会徽图形、文字标志、国际残奥委会标志三部分组成，图形主体形似汉字“飞”的书法字体．以下图案是会徽中的一部分，其中是轴对称图形的为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【详解】解：A．不是轴对称图形，本选项不符合题意；B．是轴对称图形，本选项符合题意；C．不是轴对称图形，本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4.下列运算正确的是（）．A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．【详解】解：、无需计算，故此选项错误，不符合题意；、，故此选项错误，不符合题意；、，正确，符合题意；、，故此选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则．5.下列说法正确的是（）．A.“抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件B.“打开电视机，正在播放乒乓球比赛”是必然事件C.“面积相等的两个三角形全等”是不可能事件D.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定是50次【答案】A【解析】【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【详解】解：A、“抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件，故此选项正确；B、“打开电视机，正在播放乒乓球比赛”是随机事件，故此选项错误；C、“面积相等的两个三角形全等”是随机事件，故此选项错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数不一定是50次，故此选项错误；故选：A．【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得出b＜0＜1＜a，进而化简求出即可．【详解】解：由数轴可得：b＜0＜1＜a，则原式=a-b．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的符号是解题关键．7.如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先找出滑冰项目图案的张数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：∵有5张形状、大小、质地均相同的卡片，滑冰项目图案的有速度滑冰和花样滑冰2张，∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑冰项目图案的概率是；故选：B．【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.图，在中，，，于点D，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则的度数为（）．

A.20° B.30° C.35° D.70°【答案】A【解析】【分析】利用等边对等角依次可求得∠B和∠BAF的大小，根据等腰三角形三线合一可得∠BAD的度数，从而可得∠FAD的度数．【详解】解：∵，，∴，∵AB的垂直平分线交AB于点E，∴AF=BF，∴∠BAF=∠B=35°，∵，，∴,∴，故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．理解等边对等角和等腰三角形三线合一，并能依此求得相应角的度数是解题关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.要使代数式有意义，则实数的取值范围是______．【答案】x≥3【解析】【详解】试题分析：根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，解得x≥3.10.有下列命题：①可以在数轴上表示无理数；②若，则；③无理数的相反数还是无理数．其中是真命题的为______（填序号）．【答案】①③##③①【解析】【分析】根据实数与数轴的关系、不等式的性质、无理数与相反数逐个判断即可得．【详解】解：①可以在数轴上表示无理数，是真命题；②若，则，则原命题是假命题；③无理数的相反数还是无理数，是真命题；综上，是真命题的为①③，故答案为：①③．【点睛】本题考查了实数与数轴、不等式的性质、无理数、命题等知识点，熟练掌握各性质是解题关键．11.已知三角形的两边长为3，5，则第三边的长度可以是___________（写出一个即可）．【答案】在2＜x＜8之间的数都可．如：4【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．【详解】解：根据三角形的三边关系，得

第三边应大于5-3=2，而小于5+3=8，

故第三边的长度2＜x＜8．

故答案为在2＜x＜8之间的数都可，如：4【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．12.如图，点C是线段AB的中点，．请你只添加一个条件，使得≌．（1）你添加的条件是______；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）（2）依据所添条件，判定与全等的理由是______．【答案】①.AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）（答案不唯一）②.SAS【解析】【分析】（1）由已知条件可得两个三角形有一组对应边相等，一组对应角相等，根据三角形全等的判定方法添加条件即可；（2）根据添加条件，写出判断的理由即可．【详解】解：（1）添加的条件是：AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）故答案为：AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）（2）若添加：AD=CE∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC∵∴∴≌(SAS)故答案为：SAS【点睛】本题主要考查了添加条件判断三角形全等，熟练掌握全等三角形的判断方法是解答本题的关键．13.计算：的结果是______．【答案】【解析】【分析】套用平方差公式，依据二次根式的性质进一步计算可得．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质与运算顺序、平方差公式．14.若，则代数式的值是______．【答案】3【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x2+x=3整体代入计算即可求出值．【详解】解：∵x2+x-3=0，∴x2+x=3，∴=x2+x=3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．15.如图，点D是的平分线OC上一点，过点D作交射线OA于点E，则线段DE与OE的数量关系为：DE______OE（填“＞”或“＝”或“＜”）．【答案】＝【解析】【分析】首先由平行线性质求得∠EDO=∠DOB，然后根据角平分线的定义求得∠EOD=∠DOB，最后根据等腰三角形的判定和性质即可判断．【详解】解：∵ED∥OB，∴∠EDO=∠DOB，∵D是∠AOB平分线OC上一点，∴∠EOD=∠DOB，∴∠EOD=∠EDO，∴DE=OE，故答案为：=．【点睛】本题主要考查的是平行线的性质、角平分线的定义以及等角对等边，根据平行线的性质和角平分线的定义求得∠EOD=∠EDO是解题的关键．16.如图，在中，，，以为直角边作等腰直角，再以为直角边作等腰直角，…，按照此规律作图，则的长度为______，的长度为______．【答案】①.②.【解析】【分析】根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍分别求解即可．【详解】解：∵，∴同理可得，⋯故答案为：，．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，熟记等腰直角三角形斜边等于直角边的倍是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：．【答案】【解析】【分析】分别化简二次根式、绝对值，计算立方根和利用二次根式性质计算，再相加减即可．【详解】解：原式==．【点睛】本题主要考查二次根式的化简、同类二次根式的合并、立方根和化简绝对值，掌握二次根式的性质以及能正确化简绝对值是解题关键．18.计算：．【答案】【解析】【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，合并即可得到结果．【详解】解：原式，．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及二次根式性质．19.如图，在中，，，点D是内一点，连接CD，过点C作且，连接AD，BE．求证：．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先根据角的和差可得，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：，，，，，在和中，，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．20.计算：．【答案】1【解析】【分析】直接利用分式的加减运算法则计算即可．【详解】解：，，，．【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是正确掌握运算法则．21.下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得．作法：如图，①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；③作直线PQ．直线PQ就是所求作直线．根据小明设计的尺规作图的过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵______，，∴（______）（填推理的依据）．【答案】（1）见解析；（2）QB，三线合一【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）如图，直线PQ即为所求作．（2）理由：连接QA，QB．∵QA=QB，PA=PB，∴PQ⊥l（三线合一）．故答案为：QB，三线合一．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.已知，求代数式的值．【答案】，【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．【详解】解：，，，当时，．【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握运算法则．23.解分式方程：．【答案】【解析】【分析】此题只需按照求分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后进行检验即可．【详解】解：去分母得，去括号得，移项得，合并得，系数化为1，得：经检验，是原方程的解，∴原方程的解是：【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．24.如图，在中，，，．AD平分交BC于点D．（1）求BC的长；（2）求CD的长．【答案】（1）；（2）3．【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得DE=DC，利用面积法得到关于CD的方程，求解即可．【详解】解：（1）∵AB=10，AC=6，∴BC=；（2）作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，∴DE=DC，∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，∴×10×DE+×6×CD=×6×8，∴CD=3．【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．25.列方程解应用题．某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？【答案】30米【解析】【分析】设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，利用工作时间工作总量工作效率，结合共用22天完成了任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，依题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：引进新设备前工程队每天建造道路30米．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．26.小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：______（填写运算结果）．（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．（3）证明你的猜想．（4）应用运算规律．①化简：______；②若（a，b均为正整数），则的值为______．【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）①；②【解析】【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5；（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题；（4）①②根据（2）中的规律即可求解．【详解】解：（1），故答案是：；（2），故答案是：；（3）证明：左边，又右边，左边右边，成立；（4）①，故答案是：；②，根据，得，解得：，（舍去），，故答案是：．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．27.点P为等边的边AB延长线上的动点，点B关于直线PC的对称点为D，连接AD．

（1）如图1，若，依题意补全图形，并直接写出线段AD的长度；（2）如图2，线段AD交PC于点E，①设，求的度数；②求证：．【答案】（1）．（2）①；②证明见解析．【解析】【分析】（1）连接DP，BD，可证明△BPD为等边三角形，再结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质证明∠BAD=∠BDA=30°，可得∠ADP=90°，利用勾股定理即可得出结论；（2）①连接BD与CP交于F，连接DC，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得和，从而可求得，根据轴对称图形对应点连接线段被对称轴垂直平分、三角形内角和定理、对顶角相等可求得的度数；②连接BE，在AE上截取GE=CE，可证明△GCE为等边三角形和△ACG≌△BCE，结合等量代换即可证明结论．【详解】解：（1）补全图形如下，连接DP，BD，

∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=BC=2，又∵∠BCP+∠BPC=∠ABC=60°，BC=BP，∴∠BCP=∠BPC=30°，∵点B关于直线PC的对称点为D，∴BP=DP，∠BPC=∠DPC=30°，∴∠BPD=60°，△BPD为等边三角形，∴∠DBP=60°，DP=BD=BP=AB=2,∴∠BAD=∠BDA，又∵∠BAD+∠BDA=∠DBP=60°，∴∠BAD=∠BDA=30°，∴∠ADP=90°，∴．（2）①如下图所示，连接BD与CP交于F，连接DC，

由（1）可知∠ACB=60°，AC=BC，∵点B关于直线PC的对称点为D，∴BC=CD=AC，，∠CFD=90°，∴,,∴，∴，②如下图，连接BE，在AE上截取GE