随机事件及概率 - 高三数学一轮复习

随机事件及概率一轮复习专题概率与统计高考

数学考点清单题型清单目录考点1随机事件的概率考点2古典概型考点3事件的相互独立性考点4条件概率与全概率公式题型1相互独立事件概率的求法题型2条件概率公式的应用题型3全概率公式的应用考情清单考点1随机事件的概率1.随机事件的频率与概率(1)频数与频率:在相同的条件S下进行n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中

事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=

为事件A出现的频率.(2)概率:对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.2.互斥事件与对立事件名称定义符号表示互斥事件若A∩B为不可能事件,那么称事

件A与事件B互斥A∩B=⌀对立事件若A∩B为不可能事件,A∪B为

必然事件,那么称事件A与事件B

互为对立事件A∩B=⌀且A∪B=Ω(Ω为全集)易错易混互斥事件与对立事件对立事件是互斥事件的特殊情况,要区分它们主要是看这两个互斥事件的发生是否

“非此即彼”,若是,则为对立事件,若不是,则不是对立事件.3.概率的基本性质性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0.性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P(⌀)=0.性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).性质5:如果A⊆B,那么P(A)≤P(B).性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).考点2古典概型1.古典概型的两个特点(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.2.古典概型的概率公式(1)对于古典概型,在包含n个样本点的样本空间Ω中,每个样本点发生的概率都是相等

的,即每个样本点发生的概率都是

.(2)设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定

义事件A的概率P(A)=

=

.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.考点3事件的相互独立性1.定义:对任意的两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)·P(B)成立,则称事件A与事件B相互独

立.2.性质:若事件A与事件B相互独立,则A与

,

与B,

与

也都相互独立,P(B|A)=P(B).考点4条件概率与全概率公式1.条件概率及性质(1)一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)=

为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.(2)条件概率的性质设P(A)>0,则①P(Ω|A)=1.②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).③设

和B互为对立事件,则P(

|A)=1-P(B|A).(3)概率的乘法公式对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).2.全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,

则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=

P(Ai)·P(B|Ai).即练即清1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)(1)掷一枚骰子,事件“双数朝上”的概率为

,则掷100次,刚好有50次双数朝上.

(

)(2)若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1.

(

)(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表示事件A,B同时发生

的概率.

(

)(4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).

(

)2.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们的大小和形状完全相同.甲每次从

中任取一个球不放回,则在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率为

.××√√题型1相互独立事件概率的求法计算相互独立事件同时发生的概率,一般分为以下几步:(1)先用字母表示出事件,

再分析题中涉及的事件,把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和;(2)根据

相互独立事件的概率计算公式计算出这些彼此互斥的事件的概率;(3)最后根据互斥事

件的概率计算公式求出结果.例1

(2020课标Ⅰ理,19,12分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者

与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余

的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为

.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.

解析

(1)甲连胜四场只能是前4场,所求概率为

=

.(提醒:如果甲第1场负,那么第2场甲不出场,在剩余的3场比赛中,甲不可能连胜4场)(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为

;乙连胜四场的概率为

;丙上场后连胜三场的概率为

.所以需要进行第五场比赛的概率为1-

-

-

=

.(提醒:正面求解情况比较复杂,故考虑先求其对立事件“比赛只进行4场”的概率,再利用公式P(A)=1-P(

)求解)(3)丙最终获胜有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为

;比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概

率分别为

,

,

.因此丙最终获胜的概率为

+

+

+

=

.即练即清1.(2023福建泉州三模)某运动员每次射击击中目标的概率均相等,若三次射击中,至少

有一次击中目标的概率为

,则射击一次,击中目标的概率为

(

)A.

B.

C.

D.

B题型2条件概率公式的应用求条件概率的两种方法(1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=

,这是求条件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的样本点数n(A),再求事件A与事件B的交事

件中包含的样本点数n(AB),得P(B|A)=

.例2从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=

“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=

(

)A.

B.

C.

D.

解析

解法一根据条件概率公式求解.P(A)=

=

=

,P(AB)=

=

.由条件概率计算公式,得P(B|A)=

=

=

.解法二缩小样本空间,利用古典概型概率公式求解.事件A包含的样本点为(1,3),(1,5),(3,5),(2,4),共4个.事件AB包含的样本点只有(2,4)1个,即n(AB)=1.故由古典概型概率公式知P(B|A)=

=

.

答案

B即练即清2.将三颗骰子各掷一次,设事件A为“三个点数都不相同”,B为“至少出现一个6点”,

则P(A|B)=

,P(B|A)=

.答案

;

题型3全概率公式的应用全概率公式的直观意义:通常把B1,B2,…,Bn看成导致A发生的一组原因.如若A是

“次品”,必是n个车间生产了次品;若A是“某种疾病”,必是几种病因导致A发生;若A

表示“被击中”,必有几种方式或几个人打中.(1)何时用全概率公式:多种原因导致事件的发生.(2)数学本质是先利用一组两两互斥的事件(和为必然事件)分割事件B,再由概率的加

法公式和乘法公式求事件B的概率.例3有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂

生产的占20%.已知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一

件是次品的概率是多少?

解析

设事件A为“任取一件为次品”,事件Bi为“任取一件为i厂的产品”,i=1,2,3,且B1,B2,B3两两互斥,根据题意得P(B1)=0.3,P(B2)=0.5,P(B3)=0.2,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.01,故P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A