八年级数学下册18.1.2三角形中位线

第十八章

平行四边形18.1.2第3课时

三角形的中位线

问题

平行四边形的性质和判定有哪些？边：角：对角线：BODAC①

AB∥CD，

AD∥BC②

AB=CD，

AD=BC③

AB∥CD，

AB=CD∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADCAO=CO，DO=BO判定性质知识回顾1、理解并掌握三角形的中位线定理；2、能熟练运用三角形的中位线定理解决问题；学习目标新授定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线.ABCDE问题1

一个三角形有几条中位线？有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.问题2三角形的中位线与中线有什么区别？中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.ABCDEF•••证明：DE延长

DE到

F，使

EF=DE．连接

AF、CF、DC.∵

AE=EC，DE=EF，∴

四边形

ADCF是平行四边形．F∴

四边形

BCFD是平行四边形，∴

CF

AD.∴

CF

BD.又∵，∴

DF

BC．∴DE∥BC，．如图，在△ABC中，点

D，E分别是

AB，AC边的中点.求证：

证一证DE证明：延长DE到F，使EF=DE．连接FCF∴四边形BCFD是平行四边形．∴△ADE≌△CFE．∴∠ADE=∠F∵∠AED=∠CEF，AE=CE，，AD=CF,∴BDCF．又∵，∴DF

BC．∴DE∥BC，．∴CF

AD

,证法2：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．三角形中位线定理：几何语言：归纳小结∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC且DE=BC.（∵AD=BD,AE=CE

)

这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据.DE提示：①中位线DE、EF、DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE.②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.ABCDEF•••例题讲解

例1

如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF=3，求AC的长.解：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝2DF＝6.123例2

如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠BPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°，∴∠PMN=(180°−130°)÷2=25°．

如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.求证：AB＝2OF.练习证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CE，AB＝CD.∵CE＝DC，∴AB＝CE，∴四边形ABEC是平行四边形，∴点F是BC的中点．又∵点O是AC的中点，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF.例4如图，在四边形

ABCD中，E、F、G、H分别是

AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形

EFGH是平行四边形．四边形问题连接对角线三角形问题（三角形中位线定理）分析：小结三角形的中位线三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半三角形的中位线定理三角形的中位线定理的应用练习1.如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,则四边形EFGH的周长为(

)A.12

B.14

C.24

D.21A2.如图,顺次连接四边形ABCD四边的中点E,F,G,H,则四边形EFGH的形状一定是

.平行四边形3.如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是(

)A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变D．线段EF的长先增大后减小C4.如图，点

D、E、F分别是

△ABC的三边AB、BC、AC的中点：（1）若∠ADF=50°，则∠B=

°；（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△DEF的周长为

.5015ABCDFE5.如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为_____．36.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.证明：