函数及其图像

关于函数及其图像第一章函数与极限1.1函数及其图像1.2函数极限1.3无穷小量与无穷大量1.4数列的极限1.5两个重要极限1.6无穷小的比较1.7连续函数及其性质

第2页,共83页，2024年2月25日，星期天1.1函数及其图像一、集合二、常量、变量、函数三、函数的初等性质四、函数的初等运算五、基本初等函数与初等函数六、函数关系的建立重点：函数的概念、初等函数难点：复合函数第3页,共83页，2024年2月25日，星期天1.1.1基础知识回顾1.集合:具有某种特定性质的对象（事物）的总体.组成这个集合的对象称为该集合的元素.有限集（列举表示）无限集（命题式表示）集合：A，B，C…表示；元素：a，b，c…表示第4页,共83页，2024年2月25日，星期天2.实数与数轴O1-1x实数系的连续性：实数的集合与数轴上的点的集合一一对应第5页,共83页，2024年2月25日，星期天例如不含任何元素的集合称为空集例如规定空集为任何集合的子集.A是B的子集

,或称B包含A,若且则称A

与B

相等,例如,,记作记作定义2

.若设有集合A，B，必有3.集合之间的关系则称第6页,共83页，2024年2月25日，星期天定义3

.

给定两个集合A,B,定义下列运算:并集交集且差集且余集直积记为平面上的全体点集或AB第7页,共83页，2024年2月25日，星期天4.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,记作（a,b）称为闭区间,记作[a,b]第8页,共83页，2024年2月25日，星期天称为半开区间,记作[a,b)称为半开区间,记作(a,b]有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第9页,共83页，2024年2月25日，星期天5.邻域:点a的去心的邻域，记作设a和数集称为点a的邻域.是两个实数，且点a叫做这邻域的中心，叫做这邻域的半径.第10页,共83页，2024年2月25日，星期天几个逻辑符号表示对“任意一个”、“对每一个”表示“存在一个”、“至少有一个”使得“”表示“蕴含”，“可推出”“”“”表示“当且仅当”、“充分必要”、“等价”“满足方程”第11页,共83页，2024年2月25日，星期天在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“”表示“对每一个”,或“任取”,或“任意给定”;“”表示“存在”,或“至少存在一个”,或“能够找到”.如实数的阿基米德(Archimedes)公理:任意给定两个正的实数a,b,都存在一个自然数n,用逻辑符号将阿基米德公理改写:练习第12页,共83页，2024年2月25日，星期天6.绝对值:运算性质:绝对值不等式:第13页,共83页，2024年2月25日，星期天1.1.2函数

在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.常量变量第14页,共83页，2024年2月25日，星期天因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域函数定义：设是一个非空集合，f是一个确定的法则，如果通过法则f，存在唯一的则称由f确定了一个定义于D上，取值于R的函数，记作与x相对应，当时，称为函数在点处的函数值.函数值全体组成的数集称为函数的值域.第15页,共83页，2024年2月25日，星期天函数的两要素:定义域与对应法则.第16页,共83页，2024年2月25日，星期天约定:如无特别指出，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值（自然定义域）.定义:第17页,共83页，2024年2月25日，星期天说明：第18页,共83页，2024年2月25日，星期天⑷不同的对应法则表示不同的函数,如)(xfy=、)(xgy=、)(xyj=等等。⑸

函数有三种表示法：图象法、表格法.⑹

在解析法中,函数的解析式有两类：一个解析式表示的函数,例如:圆的面积S与半径R的关系是

、解析法一类仅只有另一类是由一个以上的解析式表示的函数,在定义域内的不同范围用不同的解析式表示,这种函数称为分段函数。这种函数例如

，某市出租车的乘车费y(元)与里程x(公里)之间的关系是：注意：分段函数是一个函数

，而不是几个函数。第19页,共83页，2024年2月25日，星期天函数的定义域1.函数中有分式,要求分母不能为零2.函数中根式,要求负数不能开偶次方3.函数中有对数式,要求真数必须大于零4.函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域的交集第20页,共83页，2024年2月25日，星期天例1求下列函数的定义域第21页,共83页，2024年2月25日，星期天练解第22页,共83页，2024年2月25日，星期天(2)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(1)绝对值函数xyO第23页,共83页，2024年2月25日，星期天12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线有理数点无理数点•1xyo(4)狄利克雷函数(3)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数[5.3]=5,[-4.5]=-5.第24页,共83页，2024年2月25日，星期天(5)取最值函数yxoyxo第25页,共83页，2024年2月25日，星期天在自变量的不同变化范围中,

对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.第26页,共83页，2024年2月25日，星期天例1解下列各题第27页,共83页，2024年2月25日，星期天例2解:故定义域是[-3,-1].因为f(x)的定义域是[0,2],所以对f(x+3)的有0≤x+3≤2,即-3≤x≤-1,故f(x+3)的定义域是[-3,-1].第28页,共83页，2024年2月25日，星期天例3脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压第29页,共83页，2024年2月25日，星期天第30页,共83页，2024年2月25日，星期天例4.

已知函数解:及写出f(x)的定义域及值域,并求f(x)的定义域值域第31页,共83页，2024年2月25日，星期天1.1.3函数的几种特性1．函数的有界性(bounded)

:M=1-M=-1第32页,共83页，2024年2月25日，星期天有界的充分必要条件是既有上界又有下界。xyo第33页,共83页，2024年2月25日，星期天例.第34页,共83页，2024年2月25日，星期天

注有界的几何意义如左下图.有界无界:无界第35页,共83页，2024年2月25日，星期天2．函数的单调性(monotonicity)

:xyo当时,恒有称f(x)为I上的单调增函数.设函数f(x)的定义域是D，且有区间若第36页,共83页，2024年2月25日，星期天xyo当时,恒有称f(x)为I上的单调减函数.设函数f(x)的定义域是D，且有区间若第37页,共83页，2024年2月25日，星期天

注

2.

应指明单调区间,否则会产生错误,

例:解.>0>0?<0?第38页,共83页，2024年2月25日，星期天容易看出:不难验证:第39页,共83页，2024年2月25日，星期天3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x第40页,共83页，2024年2月25日，星期天yxox-x奇函数第41页,共83页，2024年2月25日，星期天如xycos=在区间),(+¥-¥上是偶函数(如图2.1)如3xy=在),(+¥-¥上是奇函数(如图2.2)函数xxy2sin4+=在),(+¥-¥上是非奇非偶函数(如图2.3)图2.1图2.2图2.3第42页,共83页，2024年2月25日，星期天4．函数的周期性(periodicity)

:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.周期为第43页,共83页，2024年2月25日，星期天例狄利克雷(Dirichlet)函数狄利克雷(德)1805-1859有理数点无理数点•1xyo(当x是有理函数时)(当x是无理函数时)这是一个周期函数,任何正有理数r都是它的周期.因为不存在最小的正有理数,所以没有最小正周期.第44页,共83页，2024年2月25日，星期天1.1.4函数的初等运算1.函数的四则运算

第45页,共83页，2024年2月25日，星期天第46页,共83页，2024年2月25日，星期天DWDW2.反函数(inversefunction)运算第47页,共83页，2024年2月25日，星期天注第48页,共83页，2024年2月25日，星期天习惯上,的反函数记成1.反函数的求法：先由y=f(x)解出根据习惯，f(x)的反函数记为第49页,共83页，2024年2月25日，星期天2.函数与反函数的图形关于直线对称.即即3.反函数与函数的关系第50页,共83页，2024年2月25日，星期天第51页,共83页，2024年2月25日，星期天3复合函数手电筒D复合函数

第52页,共83页，2024年2月25日，星期天复合函数也可以看作是产品的二次加工（多次加工）第53页,共83页，2024年2月25日，星期天xuy定义:设函数y=f(x)的定义域是而函数的值域为若则可确定y为x的函数,称为f与的复合函数，记为即第54页,共83页，2024年2月25日，星期天注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成；3.复合运算不满足交换性,第55页,共83页，2024年2月25日，星期天例2解第56页,共83页，2024年2月25日，星期天综上所述第57页,共83页，2024年2月25日，星期天1)

幂函数(powerfunction)1.1.5基本初等函数与初等函数基本初等函数（6类）：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

第58页,共83页，2024年2月25日，星期天2)指数函数(exponentialfunction)定义域为值域为第59页,共83页，2024年2月25日，星期天3)对数函数(logarithmfunction)定义域为值域为第60页,共83页，2024年2月25日，星期天4)三角函数(trigonometricfunction)正弦函数定义域为值域为第61页,共83页，2024年2月25日，星期天余弦函数定义域为值域为第62页,共83页，2024年2月25日，星期天正切函数余切函数定义域值域定义域值域第63页,共83页，2024年2月25日，星期天5)反三角函数(inversetrigonometricfunction)定义域值域

主值反正弦函数第64页,共83页，2024年2月25日，星期天定义域值域

主值反余弦函数第65页,共83页，2024年2月25日，星期天

主值定义域值域反正切函数反余切函数

主值定义域值域

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.第66页,共83页，2024年2月25日，星期天(2)初等函数(elementaryfunction)及其分解初等函数.如都是初等函数.不是初等函数.

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为第67页,共83页，2024年2月25日，星期天又如2321+=+xxey等都是初等函数。如îíì<³+=0,0,3)(2xxxxxf不是初等函数。2x=如：+xsin1xxxxy32logtan4cos1-+-+=,分段函数一般不是初等函数注意：是初等函数。îíì<-³=0,0,xxxx而第68页,共83页，2024年2月25日，星期天双曲函数与反双曲函数:奇函数.偶函数.1、双曲函数第69页,共83页，2024年2月25日，星期天奇函数,有界函数,第70页,共83页，2024年2月25日，星期天双曲函数常用公式第71页,共83页，2024年2月25日，星期天反双曲函数奇函数,第72页,共83页，2024年2月25日，星期天奇函数,第73页,共83页，2024年2月25日，星期天第74页,共83页，2024年2月25日，星期天1.1.6函数关系的建立例1函数的列表表示：某公司一年中月销售个统计月份1