力学答案解析漆安慎-杜婵英-详解2-9章

第二章质点运动学(习题

质点的运动学方程为

(1).F=(3+2t)i+5j,(2).r=(2-3t)i+(4t-1)j求质点轨迹并用图表示。

解，①.x=3+2t,y=5,轨迹方程为y=5

x=2-3t

②[y=4t-l消去时间参量t得：3y+4x-5=0

质点运动学方程为〒=e-；+e2咛+2；(1.求质点的轨迹；(2.求自

t=-l至t=l质点的位移。

x=e-2t

<y=e2t

解，①〔消去t得轨迹：xy=l,z=2

2-2-22

②窘=ei+ej+2k,r+1=ei+ej+2k

质点运动学方程为了=4汽+⑵+3)j,(1.求质点的轨迹；(2.求自t=0至

t=l质点的位移。

解,①.x=4t2,y=2t+3,消去t得轨迹方程

②吃=3j,r1=4i+5j,Ar=r,-r0=4i+2j

雷达站于某瞬时测得飞机位置为

R

.=4100m,0,=33.7",0.75s后测得

R?=4240m,02=29.3°,R1,R2均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的近

似值和飞行方向(a角。

解，

△R=JR；+R：-2R|R2cos(d一仪)代入数值得:

利用正弦定理可解出a=-34.89°

一小圆柱体沿抛物线轨道运动,抛物线轨道为

y=x2/200（长度mm。第一次观察到圆柱体在

x=249mm处,经过时间2ms后圆柱体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时速度

的近似值。

解，

一人在北京音乐厅内听音乐,离演奏者17m。另一人在XX听同一演奏的转

播,XX离北京2320k叫收听者离收音机2m,问谁先听到声音？声速为

340m/s,电磁波传播的速度为3.0xl（Tm/s。

解，

在XX的人先听到声音。

如果不允许你去航空公司问讯处，问你乘波音

747飞机自北京不着陆飞行到巴黎，你能否估计大约用多少时间？如果能,

试估计一下（自己找所需数据。

_As

解,及=7

火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行驶,3min后以

70km/h速率向北偏西30°方向行驶。求列车的平均加速度。

解,

(lF=Rcost；+Rsintj+2t£,R为正常数。求

t=0,JT/2时的速度和加

速度。（2

『=3不-4$2：+6屋,求｛=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式。

解：（1

当t=0时,

当t=n/2时,

(2

当t=0时,

图中a、b和c表示质点沿直线运动三

种不同情况下的x-t图,试说明三种运

动的特点（即速度，计时起点时质点的

坐标,位于坐标原点的时刻。

解,a直线的斜率为速度

b直线的斜率为速度

c直线的斜率为速度

质点直线运动的运动学方程为*=2（：051,a为正常数。求质点速度和加速

度并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等。

解，

质点受力F=ma=-macost=一mx,是线性恢复力，质点做

简谐振动,振幅为a,运动范围在一a<x<a,速度具有周期性。

跳伞运动员的速度为

v"Pl+”'v铅直向下，8、q为正常量。求其加速度。讨论当时间足够

长时（即5*8,速度和加速度的变化趋势。

解，

直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原行驶速度为

vo=180km/h其速度变化规律如图所示。求列车行驶至X=L5km时

加速度的大小。

解，

在水平桌面上放置A、B两物体，用一不可伸长的绳索按图示的装置把它

们连接起来。C点与桌面固定。已知物体A的加速度=0・5g,求物

体B的加速度。

解，

以C为坐标原点，建立一维坐标系o-xo设绳的总长度为夕，B的坐标为

、B,A的坐标为、A,则得

3XA-4XB=R两端对t求导

质点沿直线的运动学方程为X=10t+3t2。

(1将坐标原点沿ox轴正方向移动2m,运动学方程如何？初速度有无变

化？

(2将计时起点前移1s,运动学方程如何？初始坐标和初始速度都发生怎

样的变化？加速度变不变？

解，(IX=10t+3t②

x'=x_2,x=x'+2,代入上式得：

dxdx't八，，

—=----=10+6t,v=v

dtdtx'初速度不变。

(2x=10t+3t2

t'=t+l,t=t'-1代入上式得：

初坐标t'=°,x=-7(m)由o变为—7m.

vx=6t'+4初速度由lOm/s变为4m/s.

加速度不变,都是6m/s2.

以下四题用积分

2

质点由坐标原点出发时开始计时,沿x轴运动,其加速度A=2t[cm/s])

求在下列两种情况下质点的运动学方程、出发后6s时质点的位置、在此

期间所走过的位移及路程：

(1初速度V。=°；

(2初速度’。的大小为9cm/s,方向与加速度方向相反。

解，=J=£23=已

x=Xo+J；Vxdtx=£t2dt=1t3,

当t=6s时，

x6=72(cm)Ax=72—0=72(cm)

质点运动的路程：&=72(cm)

<2>+9,

23

x=£(t-9)dt=1t-9t

当t=6s时，

x=18(cm)Ax=18-0=18(cm)

6，，

质点运动的路程如图，

x=-t3-9t

X、X

3=-18,t=6,6=18

质点运动的路程：As=18x2+18=54(cm)

质点直线运动瞬时速度的变化规律为

匕=一3§1111・求、=3至力=5时间内的位移。

Ax=x­

解,X[=—3sintdt

一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为巩=-Aco2cos(Dt.在

t=0时，V'=0,x=A,其中A、①均为正常数，求此质点的运动学方程。

E也

Vx=Vox+

解,

X=X。+J；vdt

飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动。刚着陆时,t=0时速度为V。且坐

标为x=o.假设其加速度为a、=-2：上=常量，求此质点的运动学方程。

=-b£dt

解,

v档。

X=rodt=1(bvt+l)

JoJo

(bvot+1)b(bvot+l)

x=x0+[vxdt=|ln(bvot+1)1：=”ln(bvot+1)

Jo,bb

解以下四题中匀变速直线运动时应明确写出所选的坐标系、计时起点和

初始条件。

在195m长的坡道上,一人骑自行车以18km/h的速度和HOcm/s?的加速度

上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡。问

(1经过多长时间两人相遇；(2两人相遇时，各走过多少路程。

解，

建立坐标系o-x,原点为质点1的初始位置。

2

对上坡的质点l:t=0,vio=5m/s,Xi0=0,ai=-0.2m/s,

对下坡的质点2:t=0,v20=-l.5m/s,x20=195m,

2

a2=-0.2m/s,

相遇时,X1=X2,所需时间设为t,则

质点I的速度表达式为：V1=

v10+axt=5-0.2t

vi=°，t=25s,所以质点i的路程为两段路程之和，如图所式。前

25s的路程：

5x25一;x0.2x25?=62.5(m),

|x0.2x52=2.5(m)

后5s的路程：As】=62.5+2.5=65(m)

质点2的路程：195-62.5+2.5=135<m>

站台上送行的人,在火车开动时站在第一节车厢的最前面。火车开动后经

过△t=24s,第一节车厢的末尾从此人的面前通过。问第七节车厢驶过他

面前需要多长时间？火车作匀加速运动。

解，2242

设火车第六节末尾经过此人的时间为t6,

火车第七节末尾经过此人的时间为t7,

在同一铅直线上相隔h的两点以同样的速率V。上抛二石子,但在高处的石

子早t。秒被抛出。求此二石子何时何处相遇。

22

h+v0t-|gt=v0(t-t0)-1g(t-t0)

解，22

t=——

解出t得：队g2

电梯以1.Om/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问当小孩

再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？

建立基本坐标系o-x,原点固结在地面上,建立运动坐标系-X’原点

固结在电梯的地板。

小孩相对运动参照系。'-X'(电梯跳起到落回地板所需时间设为t,则

h=|g（：）2.

Z解出td得,

2h

t=2

g这段时间电梯下降的距离为As,

质点在o-xy平面内运动,其加速度为

人人

云=一COSti-sintj,位置和速度的初始条件为t=0时

=求质点的运动学方程并画出轨迹（本题用积分。

人人

解，由n=-costi-sintj,得

a、=_cost,%=_smt初始条件：

t=0时,Vox=：OjVoy=l,Xo=l,Yo=O

vv+a(ft

x=ox£xvx=£-costdt=-sint

Vy=Voy+£aydtVy=l+£-sintdt=cost

x=x+Tvdtx=l+f-sintdt=cost

0JOX,JO

y=y0+foVydty=£costdt=sint

轨道方程：x?+y2=1

在同竖直值面内的同一水平线上A、B两点分别以30°、60°为发射角同时

抛出两小球欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A、B两点的

距离。已知小球在A点的发射速率VA=9・8m/s・

解，

2v；sin230°

v=-----------

Bsin260°,

迫击炮弹的发射角为60°,发射速率150m/s.炮弹击中倾角30°的山坡上的

目标，发射点正在山脚。求弹着点到发射点的距离0A.

解，

由几何关系：

将＜2＞、＜3＞式代入〈1》式

轰炸机沿与铅直方向成53°俯冲时，在7631n高度投放炸弹,炸弹离开飞机

5.0s时击中目标。不计空气阻力。(1轰炸机的速率是多少？(2炸弹在

飞行中经过的水平距离是多少？(3炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平

和铅直方向的分量是多少？

解,以投放炸弹处为坐标原点

22y-gt?

y=v0cos53°t+-gt,v0=

(122cos53°•/

(2x=sin53"•t=212.9x0.7986x5«850.1(m),

(3

雷达观测员正在监视一越来越近的抛射体,在某一时刻,靠他得到这样的

信息：(1抛射体达到最大高度且以速率v沿水平方向运动；(2观察者到

抛射体的直线距离为J(3观测员观察抛体的视线与水平方向成°角。

问：(1抛射体命中点到观察者的距离D等于多少？(2何种情况下抛体

飞越观察者的头顶以后才击中目标？何种情况下抛体在未达到观测员以

前就命中目标？

1

H=sin0=—gt

解，(12

,命中点,

观测者x观察者="c°s9

抛射体命中点到观察者的距离

(2

当x命中点＞x观察者，飞越观察者的头顶击中目标，即

Vg

当x命中点vx观察苒抛体在未达到观测员以前就命中目标，即

列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶,在我们所讨论的时间范围内，其运

动学方程为S=80t-t2(长度：m时间：s。t=0时，列车在图中。点,

此圆弧形轨道的半径r=1500m.求列车驶过。点以后前进至1200m处的速

率及加速度。

解,采用自然坐标系,。为自然坐标系的原点。

由$=80t-8得

v=——=80—2ta=­L

当s=1200m时，由S=80t-t2得120°=80t—t

t=20,t=60,〔舍去因为当t=6o时，

当t=20,Vp=80-2x20=40(m/s),即列车驶过。点以

后前进至1200m处的速率为40m/s.

过。点以后前进至1200m处的加速度：

可以算出云与干的夹角为152°。

火车以200km/h的速度驶入圆弧形轨道,其半径为300m。司机一进入圆弧

形轨道立即减速,减速度为2go求火车在何处的加速度最大？最大加速度

是多少？

解，巩=-2g,

_(v°-2g»

d—

nR,

由上式可见t=0时(刚进入圆弧形轨道时,a最大。

a=/4g2+乜

7

max\VOR2代入数值得

斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道运动。当斗车达到图中所示位置

时,轨道曲率半径为150m,斗车速率为50km/h,切向加速度a,=0.4g.求斗

车的加速度。

aT=0.40g7,an=—n7,

解，R

加速度与水平方向的夹角

飞机在某高度的水平面上飞行。机身的方向是自东北向西南,与正西夹15°

角，风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来，与正南夹45°角,结果飞

机向正西方向运动。求飞机相对于风的速度及相对地面的速度。

解,基本参照系：地面

运动参照系：风

研究对象：飞机

―►―►―►

VVV

绝对速度：机地，相对速度：机风，牵连速度：风地

―►—►-►

V机地二V机风+V▼风地

▼机风_▼风地

(isinl350sinl50?

V▼机地_V▼风地

(2sin30°sinl5°'

飞机在静止空气中的飞行速率是235km/h,它朝正北的方向飞行,使整个

飞行的时间内都保持在一条南北向的公路上空。地面观察者利用通讯设

备告诉驾驶员正在刮着速率等于70km/h的风,但飞机仍能以235km/h的

速率沿公路方向飞行。(1风的方向是怎样的？(2飞机的头部指向哪个

方向？也就是说,飞机的轴线和公路成怎样的角度？

解,基本参照系：地面

运动参照系：风

研究对象：飞机

—►—►—>

绝对速度：V机地，相对速度：V机风，牵连速度：V风地

―►—►-►

VVV

▼机地=v机风+▼风地

一辆卡车在平直路面上以恒定速率30m/s行驶,在此车上射出一抛体，要

求在车前进60m时,抛体仍落回到车上原抛出点，问抛体射出时相对于卡

车的初速度的大小和方向,空气阻力不计。

解，以卡车为参照系，以起抛点为坐标原点,建立直角坐标系o-xy,如图所

示。以抛出时刻为计时起点。

得：

t=加=2(s)时,x=0,y=0

由已知，30代入

表明：抛射体相对卡车以9.8m/s的速率竖直上抛时,当卡车前进了60m,

抛体落回抛射点。

河的两岸互相平行,一船由A点朝与岸垂直的方向匀速行驶，经lOmin到

达对岸的C点。若船从A点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达

彼岸B点，需要12.5min。已知BC=120m.求(1河宽i,(2第二次渡河时

船的速率u,(3水流速度v

QBC.小

v船水=—.7,....('l)/v水岸=--X--,7.....('2)/

解,第一次4。

第二次V1岸=*水Sina=v船水sina……(3)

由H式得4=V船水・匕

右，,\=v^.sina-1,

由(3(5得船水2

由(2(4得

BC

=v船水c°sa，

BC120=1(m/s)

v▼船水

Lcosa600xcos53.13°3由(i式

/==-x600=200(m)

船水i3'/

圆弧公路与沿半径方向的东西向公路相交如图。某瞬时汽车甲向东以

20km/h的速率行驶；汽车乙在。=30°的位置向东北方向以速率20km/h

行驶。求此瞬时甲车相对乙车的速度。

解,基本参照系：地面

运动参照系：乙车

研究对象：甲车。

a=30°〈东偏南60°>

第三章动量定理及动量守恒定律(思考题

3.1试表述质量的操作型定义。

式中m0=lkg(标准物体质量

△Wo：为m与m。碰撞m。的速度改变

AV：为m与s碰撞m的速度改变

这样定义的质量,其大小反映了质点在相互作用的过程中速度改变的难易

程度,或者说，其量值反映了质量惯性的大小。这样定义的质量为操作型定

义。

3.2如何从动量守恒得出牛顿第二、第三定律，何种情况下牛顿第三定律

不成立？

解答，由动量守恒

dp1=_dp1

取极限dtdt

动量瞬时变化率是两质点间的相互作用力。

对于运动电荷之间的电磁作用力，一般来说第三定律不成立。（参见P63最

后一自然段

3.3在磅秤上称物体重量，磅秤读数给出物体的〃视重〃或〃表现重量现

在电梯中测视重，何时视重小于重量〔称作失重？何时视重大于重量（称

作超重？在电梯中，视重可能等于零吗？能否指出另一种情况使视重等于

零？

解答,①电梯加速下降视重小于重量；

②电梯加速上升视重大于重量；

③当电梯下降的加速度为重力加速度g时,视重为零；

④飞行员在铅直平面内的圆形轨道飞行,飞机飞到最高点时，

飞行员的视重为零

3.4—物体静止于固定斜面上。

（1可将物体所受重力分解为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力。

〔2因物体静止，故下滑力mgsina与静摩擦力H（）N相等。a表示斜面

倾角,N为作用于斜面的正压力，口。为静摩擦系数。以上两段话确切否？

解答,不确切。

(1重力可以分解为沿斜面向下的和与斜面垂直的两个力。但不能说分解

为沿斜面的下滑力和作用于斜面的正压力。

(2应该说，因物体静止,物体所受的力在斜面方向的分力的代数和为零。

3.5马拉车时，马和车的相互作用力大小相等而方向相反，为什么车能被

拉动。分析马和车的受的力，分别指出为什么马和车能启动。

解答，

分析受力如图。地面反作用于马蹄子上的力使系统启动。

3.6分析下面例中绳内张力随假想横截面位置的改变而改变的规律：

(1长为2质量为m的均质绳悬挂重量为W的重物而处于静止。

(2用长为2质量为m的均质绳沿水平方向拉水平桌面上的物体加速前进

―►

和匀速前进。对两种情况均可用F表示绳作用于物体的拉力，不考虑绳因

自重而下垂。

(3质量可以忽略不计的轻绳沿水平方向拉在水平桌面上运动的重物,绳

对重物的拉力为口，绳的另一端受水平拉力宣1,

绳的正中间还受与E的

方向相同的拉力「2。

(4长为0质量为m的均质绳平直地放在光滑水平桌面上,其一端受沿绳

—►

的水平拉力F而加速运动。

(5长为2质量为m的均质绳置于水平光滑桌面上,其一端固定，绳绕固定

点在桌面上转动,绳保持平直,其角速率为①。

若绳保持平直，你能否归纳出在何种情况下绳内各假想横截面处张

力相等。〔提示：可沿绳建立。X坐标系，用X坐标描写横截面的位置。

解答,

y是在0至I之间的任意位置。

(2

匀速前进：F=RW,T=F

T=F+-xa

加速运动：F>)iw，£

(3

<4>

<5>

若绳保持平直,绳的两端受到大小相等方向相反的外力作用时，绳静止或

匀速直线运动。这时张力处处相等。若绳保持平直，绳的两端受到大小不

等方向相反的外力作用时.，绳加速直线运动,这时在忽略绳的质量时一，张力

处处相等。

3.7两弹簧完全相同，把它们串联起来或并联起来，劲度系数将发生怎样

的变化？

解答，如图，串联时：mg=F=kA/=k'2A£2

并联时：mg=F=kA2=k'A"2,k'=2k。

3.8用两段同样的细线悬挂两物体,若突然向下拉下面物体,下面绳易断,

若缓慢拉,上面线易断。为什么？

解答,突然向下拉下面物体时一，由于上面物体要保持静止状态(惯性，由于

过程的时间极短,上面物体还没有来得及改变状态,下面的绳就断了。

若缓慢拉下面物体时，上面物体能够来得及改变状态,这样上面绳内的张

力比下面绳内的张力大,所以上面绳易断。

3.9有三种说法：当质点沿圆周运动时，

(1质点所受指向圆心的力即向心力；

(2维持质点作圆周运动的力即向心力；

(3mv2/i•即向心力。

这三种说法是否正确？

解答，以上说法都不确切。

(1

如图F的a方向投影为向心力，向心力为EE”。

(2维持质点作圆周运动的力可能有2凡ZE,。

(3H1V2/I•不是力，是外力对物体作用的瞬时效应。

一dvd.dp

ma=m——=—(mv)=——

m五是动量的变化率，dtdtdt。

3.10杂技演员表演水流星,演员持绳的一端，另端系水桶，内盛水,令桶在

铅直平面内作圆周运动，水不流出。

(1桶到达最高点除受向心力外，还受一离心力，故水不流出；

(2水受到重力和向心力的作用，维持水沿圆周运动，故水不流出。

以上两种说法正确否？作出正确分析。

解答，以上两种说法不正确。

(1向心力不是独立于其它相互作用之外的力，向心力为ZHn。离心力

为。

的反作用力，它不作用于桶上。

[2在惯性系内，水沿圆周运动，所受的力为重力和桶对水的作用力即

N+mg=m^

在非惯性系内，水除受重力和桶对水的作用力外，还受惯性离心力

3.11游戏场中的车可在铅直圆环轨道上行驶,设车匀速前进。在图中标出

的几个位置E、C、A、B、D上，何处乘客对坐位的压力最大？何处最小?

v2

N+mgcos0=m——，

解答，R

COS0=1,0=0时,N最小

COS0=-1,0=71时，N最大。在最下面。

可以得出D、E点N最大。

3.12下面的动力学方程哪些线性哪些非线性?

2

dx2

m-=x,

dt非线性

2

m--=2x+t2,

dt线性

一次方程叫线性方程。n阶线性方程具有下列形式

对于2阶线性方程具有下列形式

3.13尾部设有游泳池的轮船匀速直线航行，一人在游泳池的高台上朝船

尾方向跳水,旁边的乘客担心他跳入海中，这种担心是否必要？若轮船加

速行驶,这种担心有无道理？

解答，〔1不必要。由伽利略下的相对性原理

(2若轮船加速行驶,这种担心有道理。

在加速平动的非惯性中人除了受到物体的相互作用力外，还受到与加速度

方向相反的惯性力，此力有可能使他跳入海中。

3.14根据伽利略相对性原理，不可能借助于在惯性参照系中所作的力学

实验来确定该参照系作匀速直线运动的速度。你能否借助于相对惯性系沿

直线作变速运动的参照系中的力学实验来确定该参照系的加速度？如何

作？

解答，

测出0,a可求。

3.15在惯性系测得的质点的加速度是由相互作用力产生的，在非惯性系

测得的加速度是惯性力产生的,对吗？

解答,不对。

EE+（-ma）=m£

3.16用卡车运送变压器,变压器四周用绳索固定在车厢内，卡车紧急制动

时，后面拉紧的绳索断开了。分别以地面和汽车为参照系，解释绳索断开的

原因。

解答,地面为参照系（惯性系，变压器为研究对象,其加速度向后,所以作用

在变压器上的合力向后,后面的绳索作用在变压器的力比前面的大。（由于

加速度较大,静摩擦力远远小于绳索的拉力，静摩擦力可以不考虑

汽车为参照系（非惯性系，变压器为研究对象,相互作用力和惯性力矢量和

为零,可见,后面的绳索作用在变压器的力比前面的大。

3.17是否只要质点具有相对于匀速转动圆盘的速度，在以圆盘为参照系

时，质点必受科里奥利力？

解答,科里奥利力岑=2m%x合=-2m荷x▽相

如图，质点具有相对于匀速转动圆盘的速度,在以圆盘为参照系时一,质点不

一定就受到科里奥利力。

3.18在北半球,若河水自南向北流，则东岸受到的冲刷严重，试由科里奥

利力进行解释。又问，河水在南半球自南向北流,哪边河岸冲刷较严重？

解答,科里奥利力:f；=2mvffixQ=-2moxvffi

在北半球,若河水自南向北流,应用科里奥利力可判断东岸受到的冲刷严

重。河水在南半球自南向北流

时一，西岸受到的冲刷严重。

见图。

3.19在什么情况下,力的冲量和力的方向相同？

解答,冲量是矢量,元冲量的方向总是与力的方向相同；至于在一段较长时

间内，力的冲量等于这段时间内各无穷小时间间隔元冲量的矢量和，因此,

力的冲量方向决定于这段时间诸元冲量矢量和的方向，即

1=儿fFdt，不一定和某时刻力的方向相同。当在一段时间内，各无穷

小时间间隔元冲量方向都相同时，则这段时间内力的冲量和力的方向相

同。另外冲量和平均力的方向总是一致的。

3.20飞机沿某水平面内的圆周匀速率地飞行了整整一周，对这一运动，甲

乙二人展开讨论：

甲：飞机既然作匀速圆周运动,速度没变,则动量是守恒的。

乙：不对，由于飞行时，速度的方向不断变化，因此动量不守恒。根据动量

V2

m—

定理,动量的改变来源于向心力的冲量。向心力就是r，飞行一周所

2冗r

用时间为v，飞行一周向心力的冲量等于

v22?rr

FAt=m--------=2%mv

rV(m为飞机质量,v为速率,r为圆周半

径。

分析他们说得对不对。

解答,都有错误。

甲的错误是说〃速度没变〃,动量就守恒。

应该说：速率不变但速度方向不断变化,动量不守恒。

V2

m—

乙的错误：〃向心力就是r〃；〃飞行一周向心力的冲量等于

v2271r

FAt=m---------=27rmv

rv〃

应该说：飞行一周向心力的冲量等于零。根据动量定

理，一飞行一周时,飞机动量改变为零。如图。

1=m‘mv0

3.21棒球运动员在接球时为何要戴厚而软的手套？篮球运动员接急球时

往往持球缩手，这是为什么？

Jr———小I

解答,根据AtAtAt,AtTF

3.22〃质心的定义是质点系质量集中的一点，它的运动即代表了质点系的

运动，若掌握质点系质心的运动，质点系的运动状况就一目了然了。〃对

否？

解答,不对。

质心运动情况不能说明质点系内各质点的运动情况。

3.23悬浮在空气中的气球下面吊有软梯，有一人站在上面。最初,均处于

静止,后来,人开始向上爬，问气球是否运动？

解答,运动。内力不影响质心的运动，人向上爬,气球向下运动,达到质点系

的质心位置不变。

3.24跳伞运动员临着陆时用力向下拉降落伞,这是为什么？

解答,可达到减少人着陆的速度,减轻地面对人的冲力。

3.25质点系动量守恒的条件是什么？在何种情况下，即使外力不为零，也

可用动量守恒方程求近似解？

解答，(2耳外=0

(2外力远远小于内力；外力在某一方向上的投影代数和为零，则质点系

的动量在该方向上守恒。

第三章动量定理及动量守恒定律(习题

质量为2kg的质点的运动学方程为

4为时间，单位为s；长度单位为m>.

求证质点受恒力而运动,并求力的方向大小。

解干=12ti+(6t+3)j

F=ma=24i+12j(恒量

质量为m的质点在oxy平面内运动，质点的运动学方程为

F=acosoti+bsincotj,a,b,co为正常数,证明作用于质点

的合力总指向原点。

人人

解▽=-acosincoti+bocos(otj,

在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛,一方面由筛孔漏出谷粒,一方面逐出秸

杆,筛面微微倾斜,是为了

从较底的一边将秸杆逐出，因角度很小,可近似看作水平,筛面与谷粒发

生相对运动才可能将谷粒筛出,若谷粒与筛面静摩擦系数为0.4,问筛沿

水平方向的加速度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动。

解答，

以谷筛为参照系,发生相对运动的条件是

a'最小值为a'==0.4x9.8=3.92(m/s2)

以地面为参照系：

解答,静摩擦力使谷粒产生最大加速度为

发生相对运动的条件是筛的加速度a'Namax=MoS,

a'最小值为a'=H0g=0・4x9,8=3.92(m/s2)

桌面上叠放着两块木板，质量各为m-m?,如图所示。m?和桌面间的摩

擦系数为四2,和m2间的静摩擦系数为内。问沿水平方向用多大的力

才能把下面的木板抽出来。

解,对于m”

对于m2：

m1和m?发生相对运动的条件是：a2>a,

质量为m?的斜面可在光滑的水平面上滑动,斜面倾角为a,质量为的

运动员与斜面之间亦无摩擦,求运动员相对斜面的加速度及其对斜面的

压力。

解，隔离体：m

对于m?.R-m2g-Ncosa=0

对于m1.Ncosa-m^=-mia2sina

_(ml+m2)gsina

联立求解：风―2

m2+m,sma,

在图示的装置中两物体的质量各为m-m?,。物体之间及物体与桌面间

的摩擦系数都为口。求在力■的作用下两物体的加速度及绳内张力。不

计滑轮和绳的质量及轴承摩擦,绳不可伸长。

解，对于：

miMm1g-T=-m1a,

对于m2：

mm

解方程得：i+2

在图示的装置中，物体A、B、C的质量各为

mumz,m3且两两不等。若物体A、B与桌面间的摩擦系数均为口。求

三个物体的加速度及绳内张力。不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦,绳不可

伸长。

解,T-pmi|g=mM・・・・・・(1)

由(1、(2得:

由(3得:

(5代入(6：

天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为

mi，1112的物体(m]Wm2),天平右端的托盘内放有硅码，问天平托

盘和祛码共重若干,才能保持天平平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩

擦,绳不可伸长。

m2g-T=m2a(1

T-m1g=m1a….(2

解方程得：

跳伞运动员初张伞时的速度为v°,阻力大小与速度平方成正比：av2,

人伞总质量为m0求V=v(t)

的函数。

111

7=--------------------1--------------------

提示：积分时可利用式2(1+v)2(1-v)

2dvdvdt

mg-av=m--,----------『一

解dtmg-avm

p2=a,p=二常量

设mg\mg，上式写成

dv__dv(dv

1-P2v2=g，2(1+Pv)+2(1-Pv)

d(1+Pv)d(1-Pv)_

2P(l+pv)-2p(1-Pv)=8，积分

皿等=愣)，

,1+Bvx-1+Pvo.

ln(1r^)=2Pgt+

1-Pvl-pv0

2P8t

(e1+^V0-1)

P(2gt

eP1+PVO+

1-Pvo【

一巨石与斜面因地震而分裂,脱离斜面下滑至水平石面之速度为V0,求

在水平面上巨石速度与时间的关系，摩擦系数为

Jl=(v+3.308)2342(注：不必求V作为t的显函数。

dvdv

m--=-|img—=-gg

解，dt,dt

-=-(v+3.308)2342g

dt

dv

(v+3.308)2342

d(v+3.308)

=-gdt

(v+3.308)32

，积分

1

(v+3.308)M2=-gt+C

3.342

1

(v0+3.308)3342=c

3.342，代入

棒球的质量为0.14kg,用棒击棒球的力随时间的变化如图所示。设棒球被

击前后速度增量大小为70m/s,求力的最大值。打击时,不计重力。

〜、Fdv

F(t)=^^t=m——,

解,o-o.05s阶段：0.05dt

[F,八，]fO.OSF।

dv=—fdv=f

0.05m，儿J。0.05m

F

Av,=x0.05

2m,

0.05—0.08s阶段：

fv]Ff0.08.『加1t

「dvjJj

F

Av=Av,+AV=x0.04

2m

沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示。火箭质量为

2kg,t=0时处于静止，求火箭发射后的最大速率和最大高度（注意，推力）

重力时才起作用。

F鸣

解,以地面为参照系,因推力＞重力时才起作用,所以F之mg,20

F-n^=m空,dv=(--g)dt

由动力学方程dtm'

4or49t

.=此积

4Q4Q

v=——(t2-16)-g(t-4)v=——t-9.8t+19.6

4，4

速率的最大值为t=20s的速率

当速度达到最大时即t=20s,从此时开始火箭失去推力,开始自由上抛,速

率为零时达到最高点。

抛物线形弯管的表面光滑，绕铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为

y=ax?,a为正常数。小环套于弯管上。（1弯管角速度多大，小环可在管

上任意位置相对弯管静止？（2若为圆形光滑弯管，情况如何？

解，（1设弯管转动角速度为①时，小环可在管上任意位置相对弯管静止。

小环作匀速圆周运动时满足的关系式为：

小球在竖直方向上满足的关系式为:

XCO2

tga=——⑶

由（1、（2式得：g

_2tga=—=2ax......(4)

再由抛物线方程丫=ax，得dx

G)=42ag

(2同上:

XCD2/、、

tga=——……(3)

得g

由圆的方程x2+(R_yy=R)

3.5.14北京设有供实验用高速列车环形铁路，回转半径为9km。将要建设

的京沪列车时速250km/h,若在环路上作次项列车实验且欲铁路不受侧压

力，外轨应比内轨高多少？设轨距1.435m.

人

解b:Ncosa-mg=0.....(1)

v2h

tga=Q-tga=—

Rg,d,

汽车质量为1.2X10kN,在半径为100m的水平圆形弯道上行驶。公路内外

侧倾斜15°,沿公路取自然坐标，汽车运动学方程为

s=0・5^+自t=5s开始匀速运动。问公路面作用于汽车

与前进方向垂直的摩擦力是由公路内侧指向外侧还是由外侧指向内侧？

解,以地面为参照系。汽车受力如图，摩擦力的方向设为沿路面指向内侧。

f为正,表示假设摩擦力的方向与实际的方向相同,指向内侧。

速度选择器原理如图,在平行板电容器间有匀强电场E=Ej，又有与之

垂直的匀强磁场百=BR,现有带电粒子以速度干=vi,进入场中。问

具有何种速度的粒子方能保持沿X轴运动。此装置用于选出具有特定速

度的粒子,并用量纲法则检验计算结果。

解，带电粒子在磁场中受力：

带电粒子在电场中受力：

粒子能保持沿X轴运动的条件：

…N/CAmm_,

[v]=[r--------]=[r----]n=[r―]

N/AmCso

带电粒子束经狭缝Si和S2之选择，然后进入速度选择器（习题，其中电场

强度和磁感应强度各为言和K,具有〃合格〃速度的粒子再进入与速度垂

—►

直的磁场中,并开始作圆周运动,经半周后打在荧光屏上。试证明粒子

质量为

m=qBBor/E

r和q分别表示轨道半径和粒子电荷。该装置能检查出0.01%的质量差别,

可用于分离同位素,检测杂质或污染物。

E小

v=—.....（1）

解，由上题：B

—►

粒子进入与速度垂直的磁场B（）中时,根据

P=qWxK°=qvB渝得

（1代入（2

3.5.18某公司欲开设太空旅馆,其设计为用32m长的绳连接质量相同的两

个客舱，问两客舱围绕两舱中点转动的角速度多大,可使旅客感到和在地

面上那样受重力作用，而没有〃失重〃的感觉。

解,旅客在太空旅馆不受重力作用，使旅客感到和在地面上那样受重力作

用,而没有〃失重〃的感觉。就是舱底版对人的支持力和人在地面上所受的

重力相同。

mr(o=N=mg或y二二芸三〉-〜

(D

得

图表示哺乳动物的下颌骨。假如肌肉提供的力El和E2均与水平方向成

45°,食物作用于牙齿的力为

—>―►—♦—►

■，假设r、4和F?共点。求Fi和F2的关系以及与p的关系。

解,平衡问题。

四根等长且不可伸长的轻线端点悬于水平面正方形的四个顶点处。另一

端固结于一处悬挂重物,重量为W,线与铅垂线夹角为a,求各线内张力。

若四根均不等长,知诸线之方向余弦,能算出线内张力吗？

解，a4Tcosa=W,

T=»

4cosa,

(2四线均不等长，则运用平衡方程不足以确定线内张力。这种用静力学

方程不足以解决的问题称静不定问题。

小车以匀加速度a沿倾角为a的斜面向下运动,摆锤相对于小车保持静止,

求悬线与竖直方向的夹角(分别自惯性系和非惯性系中求解。

解，（1坐标系o-xy建立在惯性系上,如图。

八macosa八」,acosa

tg0=-----------------,0=tg-1

解方程mg-masinag-asina

（2坐标系°‘一x'y’建立在非惯性系上,如图。

八macosa八，1acosa

tg0=-----------------,0=tg1

解方程mg-masinag-asina5

升降机A内有一装置如图示。悬挂的两物体的质量各为ID1,D12且mi^m2,若

不计绳及滑轮质量,不

计轴承处的摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a（方向向下运动时,

两物体的加速度各为多少？绳内的张力是多少？

解,以升降机A为参照系,建立坐标系°'y',如图所示。

受力分析如图（包括惯性力。

a：=—a；,它们本身含有符号。

，_（m,一mjg+g—mja

ai=7，

解方程得：m

2m^一(mz.mjg

=a+a

m।相对地面的加速度m,+m.

2m”(m2-mjg

a=a+a：

2

m?相对地面的加速度m,+m2

图示柳比莫夫摆,框架上悬挂小球,将摆移开平衡位置而后放手，小球随

即摆动起来。（1当小球摆至最高位置时，释放框架使它沿导轨自由下落,

如图（a。问框架自由下落时,摆锤相对于框架如何运动？（2当小球摆至

平衡位置时，释放框架。如图（bo小球相对于框架如何运动？小球质量

比框架质量小得多。

解，

（1当小球摆至最高位置时,释放框架使它沿导轨自由下落。

当小球摆至最高位置时相对框架速度为零,即律二。。

结果表明：小球开始时相对框架的速度为零,且相对框架的加速度为零,

则小球相对框架静止。

（2当小球摆至平衡位置时,释放框架。

此时小球相对框架的速度为W,

结果表明：小球的切向加速度为零,则小球相对框架作匀速直线运动。

以上两种情况,实质上是小球在非惯性系中所受的合力（包括惯性力为绳

对小球的拉力T,若开始时小球具有初速度,则作匀速圆周运动,若开始静

止，以后也静止。

摩托车选手在竖直放置圆筒壁内在水平面内旋转。筒内壁半径为3.0m,

轮胎与壁面静摩擦系数为0.6,求摩托车最小线速度（取非惯性系作。

解,取匀速转动参照系为非惯性系,摩托车和人相对非惯性系静止。

一杂技演员令雨伞绕铅直轴转动。一小圆盘在伞面上滚动但相对地面在

原地转动，即盘中心不动。（1小盘相对雨伞如何运动？（2以伞为参照系,

小球受力如何？若保持牛顿第二定律形式不变，应如何解释小球的运

动？

解，(1小盘相对雨伞作圆周运动。

f*=m(o2r

(2以伞为参照系，小球受力如图。其中惯性离心力：,

科里奥利力(小盘相对伞的速度向里

若保持牛顿第二定律形式不变,在非惯性系中因入惯性力，小盘的动力学

方程为：

就下面两种受力情况：

(力：N,时间：s分别求出424时的力并用图表示；再求

自t=o至t=i时间内的冲量,也用图表示。

解，

(2方法同上。

一质量为m的质点在o-xy平面上运动,其位置矢量为

求质点的动量。

解W=-acosincoti+bcocoscotj

八bcosotb,

tg0=------------=——tgcot.

与x轴夹角asinota

自动步枪连发时每分钟可射出120发子弹,每颗子弹的质量为7.9g,出口

速度为735m/s.求射击时所需的平均力。

60s

At==0.5s

解，120

m=0.0079kg,v=735m/s,V。一°，

棒球的质量为0.14kg。棒球沿水平方向以速率50m/s投来,经棒击球后,

球沿与水平成30°飞出，速率为80m/s,球与棒接触时间为0.02s,求棒击

球的平均力。

解,根据动量定理

222

F=I/At=^/(mv)4-(mv0)—2mvv0cos

=5024-802-2x50x80xcos150°,

At

=881(N)

mv/sincc=FAt/sinl50°,

平均力与水平夹角：a=18°34r

质量为M的滑块与水平面间的静摩擦系数为以。，质量为m的滑块与M均处

于静止。绳不可伸长,绳与滑轮质量可不计,不计滑轮轴摩擦。问将m托

起多高,放手后可利用绳对M冲力的平均力拖动M?设当m下落h后经过

极短的时间At后与绳的铅直部分相对静止。

解,先研究滑块m,它被托起h,再回原静止位置

时,速度大小为若M尚未被拖动,则由绳不可伸长知,m在极短时

间At内,速度又变为零,因此，其动I△同=mv=mJiiK,在At

同_|Ap|_m,――

内绳对m的平均冲力为=2r=At\8,这是绳子对滑块M

也同时作用以这样大的平均冲力。

再研究滑块M,它在水平方向仅受绳拉力和摩擦力11Mg，依题意，能利

用绳对M的平均冲力拖动M的条件是：-^«Mg即

小心1全SD2

At,2m2

质量mi=lkg,m2=2kg,ni3=3kg,m4=4kg;mi>nb和叫四质点形成的质心坐标顺

次为（x,y=<-l,1>>〈-2,0〉、和（3,-2o质心位于（x,y=<lT>.求uh的

位置。

以下三题用质心运动定理和质点系动量定理两种方法作。

质量为1500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/so

问缆绳作用于驳船的平均力有多大？（用牛顿定律作出结果,并以此验证

你的计算

解，①质心运动定理ZH=m5c

x=_M__x_O__+__m__x,——__m__x,±_

M+mM+m,

（2质点组动量定理

（3对于汽车：

若上题中驳船的质量为6000kg,当汽车相对船静止时，由于船尾螺旋

桨的转动,可使船载着汽车以加速度0.2m/s2前进。若正在前进时,汽车自

静止开始相对船以加速度0.5m/s2与船前进相反方向行驶,船的加速度如

何？

解，(1质心运动定理

以驳船前进方向为坐标轴的正方向。系统在水平方向所受外力为

又由于作用于系统的外力不变，所以系统质心速度不变，即

_+m(aM-0.5)

得凡一02

ac=02wi+m-

(2质点组动量定理

N外dt，则

在水平方向的分量式：

加外=(M+m)=(M+m)a

',又

得：

(M+m)axc=Ma