2020高考数学新课改省份专用讲义第二章第四节指数与指数函数

第四节指数与指数函数突破点一指数幂的运算eq\a\vs4\al([基本知识])1．根式(1)根式的概念若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)a的n次方根的表示xn＝a⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)当n为奇数且n>1时，,x＝±\r(n,a)当n为偶数且n>1时.))2．有理数指数幂幂的有关概念正分数指数幂：a＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂：a－＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义有理数指数幂的性质aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)eq\a\vs4\al([基本能力])一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)eq\r(4,－a4)＝－a.()(2)(－a)＝(－a)＝eq\r(－a).()(3)(eq\r(n,a))n＝a.()答案：(1)×(2)×(3)√二、填空题1．计算：π0＋2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))＝________.答案：eq\f(11,8)2．设a>0，将eq\f(a2,\r(a·\r(3,a2)))表示成分数指数幂的形式，其结果是________．解析：eq\f(a2,\r(a·\r(3,a2)))＝eq\f(a2,\r(a·a))＝eq\f(a2,\r(a))＝eq\f(a2,a)＝a2·a＝a＝a.答案：a3．若eq\r(2a－12)＝eq\r(3,1－2a3)，则实数a的取值范围为________．解析：eq\r(2a－12)＝|2a－1|，eq\r(3,1－2a3)＝1－2a.因为|2a－1|＝1－2a.故2a－1≤0，所以a≤eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))指数幂的运算规律(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[典例](1)eq\f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是()A．1 B．aC．a D．a(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))0＋2－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))－(0.01)0.5＝________.[解析](1)eq\f(a3,\r(a)·\r(5,a4))＝eq\f(a3,a·a)＝a＝a.故选D.(2)原式＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))＝1＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)－eq\f(1,10)＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).[答案](1)D(2)eq\f(16,15)[方法技巧]化简指数幂常用的技巧(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))－p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))p(ab≠0)；(2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))m，a＝(a)n(式子有意义)；(3)1的代换，如1＝a－1a,1＝aa等；(4)乘法公式的常见变形，如(a＋b)(a－b)＝a－b，(a±b)2＝a±2ab＋b，(a±b)(a∓ab＋b)＝a±b.[针对训练]1．化简eq\f(a·b－1·a·b,\r(6,a·b5))(a>0，b>0)的结果是()A．a B．abC．a2b D.eq\f(1,a)解析：选D原式＝eq\f(abab,ab)＝a·b＝eq\f(1,a).2．(2019·江西百校联盟联考)已知14a＝7b＝4c＝2，则eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝________.解析：由题设可得2＝14,2＝7,2＝4，则2＝eq\f(14,7)＝2，∴2＝2×4＝23，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝3.答案：33．若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－4x(x－x)＝________.解析：因为x>0，所以原式＝(2x)2－(3)2－4x·x＋4x·x＝4x－3－4x＋4x＝4x－33－4x＋4x0＝－27＋4＝－23.答案：－23突破点二指数函数的图象及应用eq\a\vs4\al([基本知识])1．指数函数的图象函数y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1图象图象特征在x轴上方，过定点(0,1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升2.画指数函数图象的三个关键点画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).3．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．eq\a\vs4\al([基本能力])一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)y＝2x－1是指数函数．()(2)y＝ax＋1的图象恒过定点(－1,1)．()(3)要得到y＝3x＋2的图象只需将y＝3x的图象向左平移2个单位即可．()答案：(1)×(2)√(3)√二、填空题1．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．解析：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．答案：(3,4)2．函数y＝2x＋1的图象是________(填序号)．解析：由y＝2x的图象向左平移1个单位可得y＝2x＋1的图象．答案：①3．已知函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a－4)))x的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，则实数a的值是________．解析：由两函数的图象关于y轴对称，可知eq\f(1,2a－4)与a互为倒数，即eq\f(a,2a－4)＝1，解得a＝4.答案：4eq\a\vs4\al([全析考法])考法一与指数函数有关的图象辨析[例1](2019·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是()[解析]因为－|x－1|≤0，所以0<e－|x－1|≤e0，即0<y＝e－|x－1|≤1，故选B.[答案]B考法二指数函数图象的应用一些指数方程、不等式问题，往往利用相应指数型函数的图象数形结合求解．[例2](2019·西安八校联考)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))则满足f(x)＋f(x－1)>1的x的取值范围是________．[解析]画出函数f(x)的大致图象如图所示，易知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．又x>x－1，且x－(x－1)＝1，f(0)＝1，所以要使f(x)＋f(x－1)>1成立，结合函数f(x)的图象知只需x－1>－1，解得x>0.故所求x的取值范围是(0，＋∞)．[答案](0，＋∞)eq\a\vs4\al([方法技巧])有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．eq\a\vs4\al([集训冲关])1.eq\a\vs4\al([考法一])函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()解析：选A由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C.2.eq\a\vs4\al([考法二])函数y＝ax－b(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为()A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(0,1) D．无法确定解析：选C因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,1－b<0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,b>1，))故ab∈(0,1)，故选C.3.eq\a\vs4\al([考法二])若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．答案：[－1,1]突破点三指数函数的性质及应用eq\a\vs4\al([基本知识])指数函数的性质函数y＝ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1性质定义域R值域(0，＋∞)单调性在R上是减函数在R上是增函数函数值变化规律当x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1[提醒]应用指数函数性质时应注意的两点(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意分a>1与0<a<1两种情况来研究．(2)对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的取值范围．eq\a\vs4\al([基本能力])一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当x>0时，y>1.()(2)若指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值为2，则a为eq\r(2).()(3)若am>an(a>0，且a≠1)，则m>n.()答案：(1)×(2)√(3)×二、填空题1．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x的单调递增区间为________．答案：(－∞，＋∞)2．若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是________．解析：因为－1<x<0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x<1,2－x>1,0.2x>1，又因为0.5x<0.2x，所以b<a<c.答案：b<a<c3．函数y＝3x2－2x的值域为________．解析：设u＝x2－2x，则y＝3u，u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝3u≥3－1＝eq\f(1,3)，所以函数y＝3x2－2x的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))eq\a\vs4\al([全析考法])考法一比较指数式大小或解不等式[例1](1)已知f(x)＝2x－2－x，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))，c＝log2eq\f(7,9)，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()A．f(b)<f(a)<f(c) B．f(c)<f(b)<f(a)C．f(c)<f(a)<f(b) D．f(b)<f(c)<f(a)(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析](1)易知f(x)＝2x－2－x在R上为增函数，又a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)))＝b>0，c＝log2eq\f(7,9)<0，则a>b>c，所以f(c)<f(b)<f(a)．(2)当a<0时，不等式f(a)<1可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a－7<1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<8，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3，因为0<eq\f(1,2)<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为eq\r(a)<1，所以0≤a<1.故a的取值范围是(－3,1)．[答案](1)B(2)C[方法技巧]有关指数不等关系的常见题型及求解思路(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．考法二与指数函数有关的函数最值问题[例2](2019·昆明第一中学月考)已知集合A＝{x|(2－x)(2＋x)>0}，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3(x∈A)的最小值为()A．4 B．2C．－2 D．－4[解析]由题知集合A＝{x|－2<x<2}．又f(x)＝(2x)2－2×2x－3，设2x＝t，则eq\f(1,4)<t<4，所以f(x)＝g(t)＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，且函数g(t)的对称轴为直线t＝1，所以最小值为g(1)＝－4.故选D.[答案]D[方法技巧]形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t＝ax转化为y＝t2＋bt＋c的最值问题，注意根据指数函数求t的范围．考法三与指数函数有关的函数单调性问题[例3](1)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝eq\f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2](2)若函数f(x)＝ax(ax－3a2－1)(a>0，且a≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))C．(1，eq\r(3)] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))[解析](1)由f(1)＝eq\f(1,9)，得a2＝eq\f(1,9)，解得a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,3)(舍去)，即f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.(2)令t＝ax(t>0)，则原函数转化为y＝t2－(3a2＋1)t，其图象的对称轴为直线t＝eq\f(3a2＋1,2).若a>1，则t＝ax≥1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则eq\f(3a2＋1,2)≤1，解得－eq\f(\r(3),3)≤a≤eq\f(\r(3),3)，与a>1矛盾；若0<a<1，则0<t≤1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则eq\f(3a2＋1,2)≥1，解得a≥eq\f(\r(3),3)或a≤－eq\f(\r(3),3)，所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).故选B.[答案](1)B(2)B[方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．eq\a\vs4\al([集训冲关])1.eq\a\vs4\al([考法一])已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b解析：选Da＝0.80.7>0.80.9＝b，a＝0.80.7<0.80＝1，∴b<a<1，而c＝1.20.8>1.20＝1，∴c>a>b