专题07对数与对数函数（重难点突破）原卷版

专题07对数与对数函数重难点一对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.重难点二对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①、loga(MN)＝logaM＋logaN；②、logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③、logaMn＝nlogaM(n∈R)；④、logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).重难点三对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数重难点题型突破1对数与对数式的化简求值如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．例1．（1）、（2022春·四川南充·高一四川省南充高级中学校考开学考试）的值为（

）A．2 B．1 C． D．（2）、（2023秋·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）若，则的值等于（）A． B． C． D．【变式训练11】、（2023·江苏·高一专题练习）的值为（

）A．6 B．C．8 D．【变式训练12】、（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）．例2．（2023·全国·高一专题练习）计算：(1)；(2).【变式训练21】、（2023·全国·高一专题练习）（1）（2）.重难点题型突破2对数函数的图像与性质例3．（1）、（2023·全国·高一专题练习）（多选题）已知，函数与的图像可能是（

）A．

B．

C．

D．

（2）、（2022·四川·射洪中学高三阶段练习（文））函数的图像是（

）A． B．C． D．【变式训练31】、（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）（多选题）若函数的反函数在定义域内单调递增，则函数的图象大致是()A． B．C． D．【变式训练32】、（2022·全国·高一课时练习）（多选题）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A． B．C． D．重难点题型突破3求对数型函数的定义域例4、（1）、（2022春·西藏拉萨·高三拉萨中学校考阶段练习）函数的定义域是．（2）、（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数的定义域是（

）A．或 B．C．或 D．（3）、（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式训练41】、（2021·济南·山东省实验中学高三月考）函数的定义域为___________.【变式训练42】、（2023·吉林白山·统考二模）函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【变式训练43】、（2022·北京八十中高三开学考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．重难点题型突破4对数函数的单调性例5．（1）、（2023·全国·高一专题练习）函数的单调增区间为.（2）、（2022秋·江西上饶·高一统考期末）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是．【变式训练51】、（2021·四川青羊·石室中学高三月考（文））函数的单调递减区间是___________.【变式训练52】、（河北省邢台市六校联考2023届高三上学期第一次月考数学试题）若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是________.重难点题型突破5指对幂比较大小例6．（1）、设，则()A．B．C．D．（2）、（安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期第二次联考（10月）数学试题）已知，则（

）A． B．C． D．【变式训练61】、（2022·黑龙江·勃利县高级中学高三开学考试）若，，，则（

）A． B．C． D．【变式训练62】、（2023秋·河北张家口·高三校联考阶段练习）（多选题）已知，，，则（

）A． B． C． D．重难点题型突破6对数函数的应用例7．（1）、（2022·浙江大学附属中学高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（

）A．闻阈的声强级为0dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍（2）、（2021·江苏·高一专题练习）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则后物体的温度（单位：°C）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有52°C的物体，放在12°C的空气中冷却，2min以后物体的温度是32°C，则再经过6min该物体的温度可冷却到___________.【变式训练71】．（2023·河南·校联考模拟预测）（多选题）若物体原来的温度为（单位:），环境温度为（单位:），物体的温度冷却到，单位:）与需用时间（单位:分钟）满足放在室温为的房间里，根据函数关系研究这杯开水冷却的情况（，则（

）A．当时，经过10分钟，这杯水的温度大约为B．当时，这杯开水冷却到大约需要14分钟C．若，则D．这杯水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短【变式训练72】．（2023秋·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20~79mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每100mL血液中的酒精含量上升到了120mg，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待小时才能驾驶．（参考数据：，）（

）A．5 B．6 C．7 D．8重难点题型突破7对数型复合函数的综合应用例8．（2017·山东滕州市第一中学新校高一课时练习）函数在上是减函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．【变式训练81】．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）（多选题）已知函数，下列说法正确的是（

）A．若值域为，则 B．若定义域为，则C．若最大值为0，则 D．若最小值为1，则例9．（2021·全国高一单元测试）函数（1）如果时，有意义，确定的取值范围；（2），若值域为，求的值；（3）在（2）条件下，为定义域为的奇函数，且时，对任意的恒成立，求的取值范围.例10．（2017秋·江苏宿迁·高一宿迁中学校考期中）已知函数，且函数是奇函数.(1)求的值；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)设函数，若是函数定义域上的任意两个变量，试比较与的大小，并给出证明.1．（2023·全国·高一专题练习）＝（

）A．1 B．2C．－1 D．－52．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则x，y，z的大小关系为（

）A． B．C． D．3．（2023秋·河南许昌·高三禹州市高级中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为 B．为奇函数C．在定义域上是增函数 D．的值域为5．（2023·全国·高一专题练习