居余马线性代数课后详细答案3

a2ab，，，,

1、,-a2-b2-abab-0

abb2

cosa-sina

2、-cosa-cosa-(-sina)-sina=cos-a+sin-2a-12

sinacosa

a+bib,,,

3、=(a+bi)(a-bi)—2ab-a~+b~-lab--{a-b\

2aa-bi

32Y

4、21-2=3*1*(—3)+2*(—2)*5+(T)*4*2-3*(—2)*2—2*4*(—3)-(T)*l*5

-42-3

=-9-20-32+12+24+20=-5

123

5、456=l*5*9+2*6*7+3*4*8-1*6*8-2*4*9-3*5*7

789

=45+84+96-48-72-105=0

221

6、41-1=2*1*101+2*(—1)*202+1*4*199—2*(—1)*199—2*4*101—1*1*202

202199101

=202—404+796+398—808—202=78

2]2

1w卬第2行+第1行x(—M)cWW~

31卬3=(13)2=(1_卬)2(]+卬+层)2=0

7、M1w01-IV

一行-第1行x(-w)c

ww201-w2

1XX

8、x2x=l*2*3+x3+x3-x2-3x2-2x2=2x3-6x2+6

xx3

0004

004

0043

9、按第1行展开（-1）"4043=-43=-256

0432

432

4321

10、公式：

…

0（）a\\。124““110・・・0

aaa

02200%…“2〃2\221110

=

==4。2…4”,

…a…aa

00nn00%,"n\a“21••nn

00«1„%a\,n-\4.0…0%

〃(〃一1)

0a2,n-\0…a2,n-\00•••a2,n-\a2.n

二—=(T)2…品

...・•・・・・•・•

%00%00%

00…010

00•••01

00•••200

00•••20

解：按第10行展开（-1严+1°・10・・・••a••••••••

08•••000

08•••00

90…000

90•••00

00•••0010

9(1+9)

=10(-1)2•]♦2…89=10!

12、该行列式中各行元素之和均为10,所以吧第2,3,4列加到第1歹U，然后再把第1列

后三个元素化为零，再对第1列展开，即

1234123412

第2行-第1行

2341134U1

=10第3行-第1行10

3412141no

,第4行-第1行

41231123..0一1

=10*16=160

504211111111

-210

1-1211-1210-210

13、第1,阴亍交换-—————-3-2-4=-7

4120二41200-3—2T

-1-5-3

111150420-1-5-3

14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变）

36564111-1-1111-1-1111-1-1

25453254530327503275

36342=25465=03287=00012

25465363420307500-200

111-1-1365640329700022

012

11

根据课本20页公式（1.21）,原式=-200=3*(—4)=一12

03

022

120

3403

15、=(—2)*(—16)=32

00-11

005

12345111234

6789106789

1

16、00013第3,5行对换-0101=-10*2=-20

3

000240002

01011||o001

17、根据课本20页公式（1.22）

001-12

003021-12

2

00240=(-l)2x330=12*(-5)=—60

12404

31258

100

18、闺=120=1*2*3=3!,

123

0000-1

000-205(5-1)

8=00-300=(-1)^(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)=-5!

0-4000

-50000

*A

所以=(—1)3*5|AII8I=—3!5!

B0

19、证:

q+4%+4G%+36/1-x2)G

2

a2+b2xa2x+b2c2第2歹U—x*第1歹1Ja2+h2xh2(l-x)c2

2

a3+b3xa3x+b3c3a3+byx/?3(l-x)q

q+3b}c]axbxc}

22

=(1-x)a2+b2xb2c2第1列-x*第2列(1-x)a2b2Q=右

4+gb3c3%么c3

1+x1111+X111

第2行-第1行

a1l-x11—X—X00

20、左=第3行一第1行

111+y1AA，一小，一-X0V0

第4行-第1行

111l-y—一-x00-y

一x—x0l+x11

+(_1严(_y)

按第4列展开(-1)及4.1.-x0y-x-x0

-x00-x0y

=-x2y-y[-(1+x)xy+9—犬]=-x2y-y(-x2y-*2)=02=右

111111

b-ac-a

21、左=ab0b-ac—a=1・

b3-a3

/b3c30b3-a3c3-a3

—(h—a)(c—a)(c~+ac+a~)一(c—a)(b—+ah+)

=(b-a)(c-<7)(<?-+ac+_b~-cib一矿)

=(&-a)(c-a)(c2+ac-/72—o/?)=(/?-a)(c-o)(c-Z?)(a+/?+c)=^&

1a2a}100

23213。3_/)_卜2_叫,3_/)

22、解法1：1hb1b-ab'-a伊-*(

1,2八31c2-a1c3-a3

整理得=(ab+bc+ca)(8-a)(c-a)(c-b)

1aa2

又根据范德蒙行列式有：(6—a)(c-a)(c—6)=1bb2

c2

故原式得证。

解法2：分析：观察到右端的行列式是一个3阶范德蒙行列式

解答：构建新的4阶范德蒙行列式：

1aa2a3

1bb2b3

/1)=

1c2八3

1xX1x3

/(x)按第4行展开得：f(x)=-M+M-x-M•X~+M44-X，

4]4243⑴

1a26(31aa2

其中，M1b1b3b2

i2%1h

1c21c2

按范德蒙行列式结论得:

f(x)-(x-a)(x-b)(x-c)(c-a)(c-b)(b-a)

=-(a+/?+c)x2+(ah+be+ca)x-abc-^(c-a)(c-b)(h-a)⑵

式子(1)和(2)对比，可得

M42=(ab+bc+ca)(c-tz)(c-b)(b-a)

M44=(c-a)(c-/>)(&-a)

1a2a31aa2

b2h3b2

可以看出,Mi2-(ab+bc+ca)M^,即1=(ab+hc+ca)1b得证.

T.

1c2c31

102aa021a021

20bo第1,4列0082第2附5c43a0b2

23、-ac-bd-abed

3c45对换5c43对换00b25c0d

J000000J000J

a1

00

-1b10

24、=a-1c1+(-l)2+1(-l)Oc1a{bcd+d+b)+cd+\

0-1

-1d

00

=abed+ad+ah+cd+1-ab(cd+i)+ad+cd+i-(ab+\)(cd+V)+ad

a2(a+l)2(a+2)2m+3)22a+14。+46。+9

第2歹U—第1歹（j

b23+lf(b+2)2S+3产2/7+l40+46b+9

25、第3列-第1列

c2(c+1)2(C+2)2(C+3)22c+l4c+46c+9

第4歹U—第1歹U

d23+1)2(4+2)2(d+3fd22J+14d+46d+9

2a+l26

第3列一2*第2歹2b+l26

第4歹\一3*第2歹“I=0

2b+\26

\d22b+l26

abc

第行_；*第行\abc1

bca42

ba1

26、cab0

1第4行_g*第3行cab1

h+cC+Qa+b

10000

222

々

q00/7,q00a}h}00

oab0第2,4列00ba第2,4行&a00

27、22224

ob3a30对换00a3b3对换00%%

00a4"为0000b2

仇

qtz34

=(a”-b}b4)(a2a3一她)

%a4b2a2

122…22122…22

222•••22第2行-第1行100…00

223…22.第3行-第1行101…00

28>

・・••・••・・•・••・••・・

222…n-l2第n行一第1行100・・•〃一30

222•••2n100­­•0n-2

022•22

第1行-第2行100•00

第3行一第2行001•00

第n行一第2行000••n-30

000••0n-2

22•••22

01•­•00

=-2-(n-2)!

00•••n-30

00•••0n-2

31、系数行列式

504211111111

-210

1-1211,4行1-1210-210

D==—3-2-4

4120对换一41200-3-2一4

-5-1-3

111150420-5-1—2

304211201120

-201

1-1211,3行1-1210-201

D\==一-3-22=-7

1120对换一30420-3-22

111

011101110111

53420111011

110

1121L4行11210110

D?=———1-2-4=7

4120对换412001-2-4

3-J-3

1011534203-1-3

503211011101

-210

1-1111,4行1-1110-210

————-31-4—7

2=4110对换41100-31--4

-53-3

110150320-53--3

504311101110

-211

1-1211,4行1-1210-211

————-3-21—-7

2=4121对换41210-3-21

-5-13

111C50430-5-13

=4=.21-7_T，4吟-7

所以,王—=1,x=-=-1=1

D-72-D^7-七一万二^7

32、系数行列式

011111011110111

101I10111101111

1,2行

D=1101111011-01-100

对换

1110111101010-10

11110111100100-1

2=

00

00

00

-10

1-1

00

00

00=11

-10

1-1

0110111

第5行-第4行11

I2111第4行-第3行1100

按第例11-100

2=1300；第3行-第2行01-10

展开11-10

141I；第2行-第1行011-1

1-1

1510101

1-10111

按第4列

(-1)-(-1)，+411-1+(-1)-(-1)-(-1)4+41-10=7

展开

10111-1

01111第5行-第4行°1111

11111

10211“1-1100

第4行一第3行八按第1列(,_]产2M1]100

a=113111100

第3行—第2行°展开0]1-10

11401第2行-第1行;01-10

01[1

11510011-1

100111

按第1列

宵刀（-产1-10+(-1)-b(-l)2+11-10=3

展开

11-111-1

0111101111

第5行-第衍1111

101211-1010

第4行-第3行按第1列,，、可1-110

D=1103101-110(_1产

第3行-第2行展开0110

1114100110

第2行-第1行001-1

111500001-1

-110111

鬻列(-1)15

110+(-l)-b(-l)2+l110=-1

展开

01-101-1

011111第5行—第4行P111

1111

10112g，一1一1-100

第4仃-第3仃按第1列（_］产11-101

D=1101第…:;:0

5展开01-11

1111第行-第叫-1

♦2000011

11101

-101111

1-11+(-1)-1«(-1)2+,1-11=-5

展开

011011

D^_-5

所以,4」22=3X=0=匚

D一~D~4D4,4D4万一彳

33、因为齐次线性方程组有非零解，所以其系数行列式0=0,即

11

21l-a

1-3b-a

1a

=3+1)2-48=0

所以，m+iy=4匕

35、由已知条件，得

f(—1)=—Q]+%一%=0

/(I)=〃()+q+4+/=4

/(2)=a0+2q+4a2+8%=3

/(3)=〃()+3a}+8%+27a3=16

其系数行列式

1-11-1-11-1

第2行-第1行202101

1111202

D第3行-第1行3392*3*41I3

1248339

第4行-第1行4828127

139274828

24*2=48

0-11-11-10-11-10-1

第2行-第1行

41I1,3列11410242

口=第3行一4*第1行一

3248对换423806312

第4行-9*第1行

163927936270121636

24121

6312=2*3*4214=24*14=336

121636349

101-101-1

第2行-第1行402

1411402

第3行-第1行339

1348339

第4行-第1行16828

11692716828

03二

1-1101-110

第2行-第1行204102

11140204

D=第3行一第1行=333;=2*3*4111

412430333-

第4行-第1行4816124

1391604816

=24*4=96

所以，an=—=7,a,=-^-=0,a,=—=-5»a.==2

DDDD

所以，/(X)=7-5X2+2X3

第二章

11_

20xi-2%2-2%3=0n

1「1_a

--xt+2x2--x4=3

1-1

--XI+2X3--X4=3

0

21_100

~2~2200-20、

2-200

20

(A，，)=\2

->--02--3

02322

~2~2

0-1-1?0

0_L_120I

2-2

'200-20、

'200-20、

02-200

02-200

->♦002-13

002-13

00-120,000--

122J

11]（111、

33

A=212,B=2-10y=5X1—1

23）[10x,=2

Jb2刍一工4=3解得<

x3=2

2X2-2X3=0

%—1

2x1-2X4=0

%1-2X2+3X3-4X4=4

x-x+x=-3

2234

%+3X2—3X4=1

—7x,+3xj+4=—3

’1-2344、'1-2344、q-2344

01-11-301-11-301-11-3

（A,b）=->->

130-3105-3-7-3002-1212

、°-731一3)、0-731T）<000-160

X4=0

-16X4=0

2X-12X=12“6

34解得《

%2—%3+X4=—3x2=3

%-2X2+3X3+4X44,xi=—8

2x]+3X2+5X3+x4-3

3X1+4X2+2X3+3X4=-2

3

玉+2X2+8x3-X4=8

7X]+9X2+x3+8X4=0

、

351328-18、128-18

3423-23423-20-2-226-26

（A力）

128-18235130-1-113-13

、、

7918077918070-5-5515-567

、、

,128-18128-18

0-1-113-130-1-113-13

0-2-226-2600000

、0-5-5515-567000097

此含矛盾方程，故原方程无解!

x1-10x2+1lx3-1lx4=0

2x,+4X-5X+7X=0

4<234

-3X2+3X3-2X4=0

5x}+x2-2X3+5X4=0

’1-1011-11、’1-1011-11、q-1011-11、

24-57024-2729024-2729

(A/)=->—>

3-33-2027-303103-32

、51-25）、051-5760)、。51-57607

‘1--1011-1T/--1011-11、'1-1011-10

00-31300-31303-32

f—>T

03-3203-3200-313

10

、00—626；000;、0000，

-3X+13X=0

3413

贝|JX3=］上，H,

3X2-3X3+2X4=0%=小x,0.

Xj-10x2+1lx3-1lx4=0

(1113、

解为Q,—k,—k,k\,人为任意常数.

I33)

px、4-X2+x3=1

5<玉+pX2+£=/?

%/+PX3=P2

'p111、11Pp2'11PP2

2

（A，。）1P1p—>1P1p—>0P-ll-PP-P

,11p\p11L0l-Pl-p?1-PJ

(\

11PP~

0P-ll-pP-P2

00(1-〃)(P+2)(1-p)(l+p)2

分情况讨论：

1）无解（l—p）（p+2）=0但是（1一〃）（1+〃）2。0时无解，即p=—2.

2)唯一解|A|wO即L(p—1)(1—p)(p+2)w0,解得pHl且pw—2.此时的解为

'P+11(P+琰、

、p+2p+2p+2)

3)无穷解|A|=0,解之有p=l或者p=—2(舍).故p=l,所以解为(1一匕一左2,勺K)，

其中占，卷为任意常数・

X]—3^2—6工3+24——1

x1—x2-2X3+3X4-0

6〈

为+5X2+10X3-x4=q

3x)+z+P%3+4X4=1

‘1-3-62-P‘1-3-62-1\

1-1-23002431

（A,。）=

\/—>

1510Tq0816-3q+1

l31p41,、010p+18-247

‘1--3-62-1、‘1—3-62-1、

0241102411

->

000-7q-300p-2-7-1

、00p-2-7-1?(000—7q—3,

讨论:

|川*0解得/?R2.此时解为（心」（1—三幺—4口1,三,上幺

1）唯一解:

、22（7p-2）p-27J

2)无解：p=2,qw2.

3）无穷解:〃=2,4=2此时解为（0,；-2鼠加；）.左为任意常数.

8解:设母鸡x只，公鸡y只，小鸡z只.

7

5x+3y+§=100

列方程得《

x+y+z=100

解方程有,

1100](111100、

(A,b)=53-

10030-214

Uli-400

100；3T

x+y+z=100

还原为方程组有1143y+7z=600

=>〈=>7x+4y=100.

2y+—z=400x+y+z=100

I3

x=0,y=25x=0,y=25,z=75

x=4,y=18x=4,y=18,z=78

从而＜继续求解z，得到

%=8,y=11x=8,y=ll,z=81

x=12,y=4x=12,y=4,z=84

10、

9设4=则