江西省景德镇市历居山中学高三数学理月考试题含解析

江西省景德镇市历居山中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知的左、右焦点，是椭圆上位于第一象限内的一点，点也在椭圆上，且满足（为坐标原点），，若椭圆的离心率等于,则直线的方程是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知函数：①，②，③.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（）命题是奇函数；

命题在上是增函数；命题；

命题的图像关于直线对称 A．命题 B．命题 C．命题 D．命题参考答案：C略3.（理）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，点B到平面EFG的距离为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B4.函数f（x）的导函数f′（x），对?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（2）=e2，则不等式f（x）＞ex的解是（）A．（2，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，ln2）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln2）=2，求得g（ln2）=1，继而求出答案【解答】解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，∵不等式f（x）＞ex，∴g（x）＞1，∵f（2）=e2，∴g（2）==1，∴x＞2，故选：A．5.已知等比数列的前n项和为，且，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.已知函数f（x）=log（x2+）﹣||，则使得f（x+1）＜f（2x﹣1）的x的范围是（）A．（0，2） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（2，+∞）参考答案：A【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据函数的单调性和奇偶性将问题转化为|x+1|＞|2x﹣1|，解出即可．【解答】解：x＞0时，f（x）=log（x2+）﹣是减函数，x＜0时，f（x）=log（x2+）+是增函数，且f（﹣x）=f（x）是偶函数，若f（x+1）＜f（2x﹣1），则|x+1|＞|2x﹣1|，解得：0＜x＜2，故选：A．7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值是（

）A．1

B．

C.2

D．4参考答案：B8.定义域为的函数有四个单调区间，则实数满足（

）A.且

B.

C.

D.

参考答案：C此函数为偶函数，当时，，如图，只要顶点在y轴的右面，f(x)就有四个单调区间，所以，选C.【答案】【解析】9.按下列程序据图来计算：

如果输入的x=10，应该运算的次数为 A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C第一次循环：，不满足条件，再次循环；第二次循环：，不满足条件，再次循环；第三次循环：，不满足条件，再次循环；第四次循环：，不满足条件，再次循环；第五次循环：，满足条件，结束循环，因此循环次数为5次。10.设全集，集合,集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，y＝f(x)是奇函数；②b＝0，c>0时，方程f(x)＝0只有一个实数根；③y＝f(x)的图象关于点(0，c)对称；④方程f(x)＝0最多有两个实根．其中正确的命题是________(写出序号)．参考答案：①②③12.设向量满足：则向量的夹角为

．参考答案：13.（理）已知，且，则．参考答案：略14.以线段AB：为直径的圆的方程为

参考答案：15.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其中f（1）=0，且当x＞0时，有＞0，则不等式f（x）＞0的解集是_________．参考答案：（﹣1，0）∪（1，+∞）略16.已知，满足且的最大值为7，最小值为1，则

参考答案：略17.执行如图程序框图，如果输入的依次为3，5，3，5，5，4，4，3，4，4，则输出的s为．参考答案：4考点：程序框图．

专题：算法和程序框图．分析：框图的功能是求数据3、5、3、5、5、4、4、3、4、4的平均数，利用平均数公式计算可得答案．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求数据3、5、3、5、5、4、4、3、4、4的平均数，∴输出的S==4．故答案为：4．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设双曲线，是它实轴的两个端点，是其虚轴的一个端点.已知其一条渐近线的一个方向向量是，的面积是，为坐标原点，直线与双曲线C相交于、两点，且．

（1）求双曲线的方程；

（2）求点的轨迹方程,并指明是何种曲线.参考答案：（理）由题意，双曲线的渐近线方程为，则有又的面积是，故

，得（3分）所以双曲线的方程为.

（6分）

（2）设，直线：与双曲线联立消去，得由题意，

（2分）且

（4分）

又由知而所以

化简得①

由可得②

由①②可得

（6分）故点P的轨迹方程是

（8分）

19.已知函数.（1）设，，求函数的极值；（2）若，且对任意恒成立，求k的最大值.参考答案：（1）极小值为，无极大值；（2）－1【分析】（1）由题意可得，则在上递减，在上递增，据此可得函数的极值.（2）原问题等价于，构造函数，由导函数研究函数的性质可知存在唯一的使得，据此可得的最大值为.【详解】（1），，∵在上恒成立，∴当，，当，，∴在上递减，在上递增，∴在取得极小值，极小值为，无极大值；（2）即：，令，在上递增，∵，，故存在唯一的使得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，∵，∴，∵，，∴最大值为-1.【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的最值，导数处理恒成立问题的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（﹣x）．又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f（+x）=﹣f（x）成立，当x∈[0，]时，f（x）=x3﹣3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），对于x∈[2﹣3，2+3]恒成立，则a的取值范围为．参考答案：（﹣∞，0]∪[1，+∞）【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由于函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立（g'（x）为函数g（x）的导函数）；②对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），这说明函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）?|f（x）|≤|a2﹣a+2|对x∈[2﹣，2+3]恒成立，只要使得|f（x）|在定义域内的最大值小于等于|a2﹣a+2|的最小值，然后解出即可【解答】解：因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立，且对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），则函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g（|x|）=g（x），∵关于x的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），对于x∈[2﹣3，2+3]恒成立，∴|f（x）|≤|a2﹣a+2|对于x∈[2﹣3，2+3]恒成立，故只要使得定义域内|f（x）|max≤|a2﹣a+2|，∵对任意的x∈R，都有f（+x）=﹣f（x）成立，当x∈[0，]时，f（x）=x3﹣3x，∴设x∈[﹣，0]，则+x∈[0，]，故f（+x）=∴f（x）=﹣f（+x）=∴当x∈[﹣，0]时，，令f'（x）=0，得，或（舍去）∴f（x）在上单调递增，则[，0]上单调递减，，当x时，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f'（x）=0，得x=1∴f（x）在[0，1]单调递减，在[1，]单调递增，∴f（x）min=f（1）=﹣2，∵对任意的x∈R，都有f（+x）=﹣f（x），∴，即f（x）为周期函数且周期为T=，∴x∈[2﹣3，2+3]时，f（x）max=2，∴|a2﹣a+2|≥2，解得a≤0，或a≥1故答案为：（﹣∞，0]∪[1，+∞）．21.已知椭圆C：（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意，得，然后求解离心率即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程，解得c=1．求出椭圆方程，直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理求出AB的中点，推出﹣，且m≠0，利用弦长公式以及三角形的面积，推出结果即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得，…则，结合b2=a2﹣c2，得，即2c2﹣3ac+a2=0，…亦即2e2﹣3e+1=0，结合0＜e＜1，解得．所以椭圆C的离心率为．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程，解得c=1．所以椭圆方程为．…易得直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立消y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，所以△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…由，得AB的中点，因为N在直线上，所以，解得k=﹣．…所以△=48（12﹣m2）＞0，得﹣，且m≠0，|AB|=|x2﹣x1|===．又原点O到直线l的距离d=，…所以．当且仅当12﹣m2=m2，m=时等号成立，符合﹣，且m≠0．所以△OAB面积的最大值为：．…22.（