上海徐教院附中高三数学文月考试题含解析

上海徐教院附中高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知x∈R，i为虚数单位，若为纯虚数，则x的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2参考答案： C【考点】复数的基本概念．【分析】对已知式子分子分母同乘以i，可得（2﹣x）﹣i，由纯虚数的定义可得其实部2﹣x=0，解之可得答案．【解答】解：==（x﹣2）i2﹣i=（2﹣x）﹣i由纯虚数的定义可得2﹣x=0，故x=2故选C2.在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于（）A．4 B．4 C．4 D．参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】先根据已知求得∠A的值，从而由正弦定理即可求值．【解答】解：∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=180°﹣60°﹣75°=45°∴由正弦定理可得：b===4．故选：A．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值和正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3.已知函数的导函数图象如图所示，若为锐角三角形，则一定成立的是A． B．C． D．参考答案：A略4.数80100除以9所得余数是（）A．0 B．8 C．﹣1 D．1参考答案：D【考点】同余方程．【专题】计算题；二项式定理．【分析】利用二项式定理展开80100=（81﹣1）100=C100081100﹣C10018199+…﹣C1009981+1，即可得出．【解答】解：因为80100=（81﹣1）100=C100081100﹣C10018199+…﹣C1009981+1．显然展开式中出最后一项不含81，其余各项都能被81整除，所以80100除以9所得余数是为1．故选：D．【点评】本题考查了二项式定理的应用和整除的方法，属于基础题．5.已知是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且在区间上是增函数，则、、的大小关系是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C6.已知抛物线与圆只有唯一的公共点，则抛物线C的准线与圆C相交的弦长为

A.

B.2

C.

D.4参考答案：C7.已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（

） A． B． C．

D．参考答案：C8.设函数y=f（x）的反函数为f－1（x）,将y＝f（2x－3）的图像向左平移两个单位，再关于x轴对称后所得到的函数的反函数是A.y＝

B.

y＝C.y＝

D.y＝参考答案：A9.如图是函数y=f（x）求值的程序框图，若输出函数y=f（x）的值域为，则输入函数y=f（x）的定义域不可能为（）A． B． D．∪{2}参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行过程知该程序的功能是求分段函数y=在某一区间上的值域问题；对题目中的选项分析即可．【解答】解：模拟程序的运行过程知，该程序的功能是求分段函数y=在某一区间上的值域问题；x∈时，y=2﹣x∈=，满足题意，A正确；x∈=（4，8]，x=2时，y=x2=4，∴x∈，满足题意，B正确；x∈时，若x∈，则y=x2∈，不满足题意，C错误；同理x∈∪{2}时，y∈，满足题意，D正确．故选：C．10.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数g（x）=x3﹣x2+3x﹣，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016参考答案：B【考点】导数的运算；函数的值．【专题】导数的概念及应用．【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．【解答】解：函数的导数g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，由g″（x0）=0得2x0﹣1=0解得x0=，而f（）=1，故函数g（x）关于点（，1）对称，∴g（x）+g（1﹣x）=2，故设g（）+g（）+…+g（）=m，则g（）+g（）+…+g（）=m，两式相加得2×2014=2m，则m=2014．故选：B【点评】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设Sn为等比数列{an}的前n项和，，则

．参考答案：－11试题分析：通过，设公比为，将该式转化为，解得，代入所求式可知答案－11．

12.设分别是双曲线的左右焦点，点，，则双曲线的离心率为______．参考答案：考点：双曲线的简单性质.13.在中,,,,那么的长度为

．参考答案：14.已知椭圆上一点P到其右焦点F2的距离为5，则点P到其左准线的距离为

．

参考答案： 15.函数的定义域内可导，若，且当时，，设，则的大小关系为

参考答案：16.在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为____________.参考答案：略17.抛物线的焦点到准线的距离为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图）．将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？

课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为ξ，求ξ得分布列和数学期望．附参考公式与数据：K2=P（K2≥k0）0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由题意得“课外体育达标”人数为50，则不达标人数为150，由此列联表，求出K2=，从而得到在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为9人，在达标学生中抽取人数为3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）由题意得“课外体育达标”人数为：200×[（0.02+0.005）×10]=50，则不达标人数为150，∴列联表如下：

课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200∴K2==，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为：12×=9人，在达标学生中抽取人数为：12×=3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ0123PE（ξ）==．19.（本小题满分12分）已知函数，数列满足（Ⅰ）求证：数列是等差数列（Ⅱ）记，求。参考答案：解：(Ⅰ)所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列6分(Ⅱ)12分略20.（本小题满分14分）已知数列为等差数列，为其前项和，且（）．求，；若，，（）是等比数列的前三项，设，求．参考答案：（1），；（2）.

从而得到公差d，即代入到和的公式中即可得到；第二问，先利用等比中项解出k的值，而，，得到数列的第一项和公比，从而得到的通项公式，代入中，利用错位相减法求，计算过程中利用求和.试题解析：（1）．

，又，故；又，故，得；等差数列的公差．.……3分所以,

．.…………..5分等比数列的公比为，首项为．所以．.…….………..9分．…………12分．．.………………14分考点：等差数列等比数列的通项公式、等差数列等比数列的前n项和公式、错位相减法.21.（13分）已知数列{an}的首项a1=a，其中a∈N*，，集合A={x|x=an，n=1，2，3，…}．（I）若a=4，写出集合A中的所有的元素；（II）若a≤2014，且数列{an}中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；（III）求证：1∈A．参考答案：【考点】数列递推式；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由a1=a=4，利用递推关系依次求出a2，a3，a5，a6，a7，发现a6以后的值与前6项中的值重复出现，由此可知集合A中共有6个元素；（Ⅱ）设出数列中的一项为ak，若ak是3的倍数，则有；若ak是被3除余1，由递推关系得到；若ak被3除余2，由递推关系得到．说明构成的连续7项成等比数列的公比为，结合数列递推式得到ak符合的形式，再保证满足ak≤2014即能求出答案；（Ⅲ）分ak被3除余1，ak被3除余2，ak被3除余0三种情况讨论，借助于给出的递推式得到数列{an}中必存在某一项am≤3，然后分别由am=1，am=2，am=3进行推证，最终证得1∈A．【解答】（I）解：∵a1=a=4，∴a2=a1+1=5，a3=a2+1=6，，a5=a4+1=3，，a7=a6+1=2，…∴集合A的所有元素为：4，5，6，2，3，1；（II）解：不妨设数列中的一项为ak，如果ak是3的倍数，则；如果ak是被3除余1，则由递推关系可得ak+2=ak+2，∴ak+2是3的倍数，∴；如果ak被3除余2，则由递推关系可得ak+1=ak+1，∴ak+1是3的倍数，∴．∴该7项等比数列的公比为．又∵，∴这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），设第7项为p，则p是被3除余1或余2的正整数，则可推得．∵36＜2014＜37，∴或．由递推关系式可知，在该数列的前k﹣1项中，满足小于2014的各项只有：ak﹣1=36﹣1，或2×36﹣1，ak﹣2=36﹣2，或2×36﹣2，∴首项a的所有可能取值的集合为：{36，2×36，36﹣1，2×36﹣1，36﹣2，2×36﹣2}．（III）证明：若ak被3除余1，则由已知可得ak+1=ak+1，；若ak被3除余2，则由已知可得ak+1=ak+1，，；若ak被3除余0，则由已知可得，；∴，∴∴对于数列{an}中的任意一项ak，“若ak＞3，则ak＞ak+3”．∵，∴ak﹣ak+3≥1