静电场及其边值问题的解法

静电场及其边值问题的解法§3.5静电场边值问题，唯一性定理

Electrostatic-FieldBoundary-ValueProblems,UniquenessTheorem边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程，以得到任意点位函数或场强；

本节内容

3.5.1边值问题的类型

3.5.2惟一性定理

第2页,共33页，2024年2月25日，星期天

静态场问题已知场域边界上各点电位值分布型问题给定场源分布，求任意点场强或位函数；边值型问题给定边界条件，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程，以得到任意点位函数或场强；静态场问题第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件一、二类边界条件的线性组合，即已知场域边界上各点电位的法向导数第3页,共33页，2024年2月25日，星期天一、静电场边值问题及其分类

1.边值问题的分类----根据场域边界条件的不同狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值（第一类）聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值

（第二类）混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合（第三类）第4页,共33页，2024年2月25日，星期天2.边值条件包括：场域的边界条件衔接条件----不同媒质分界面上的边界条件周期边界条件自然边界条件（无界空间）第5页,共33页，2024年2月25日，星期天

边值条件

自然边界条件（无界空间）

周期边界条件

衔接条件

----不同媒质分界面上的边界条件，如第6页,共33页，2024年2月25日，星期天例：（第一类边值问题）（第三类边值问题）例：第7页,共33页，2024年2月25日，星期天计算法实验法图解法边值型问题解法解析法数值法有限差分法有限元法边界元法矩量法…镜像法分离变量法复变函数法格林函数法…§3.5静电场边值问题，唯一性定理3.边值型问题的解法第8页,共33页，2024年2月25日，星期天二、惟一性定理UniquenessTheorem

即，满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。§3.5静电场边值问题，唯一性定理

在场域V的边界面S上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V具有惟一值。

惟一性定理的表述

惟一性定理的重要意义

给出了静态场边值问题具有惟一解的条件

为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据

为求解结果的正确性提供了判据第9页,共33页，2024年2月25日，星期天§3.6镜像法

ImageMethod镜像法的基本原理接地导体平面的镜像点电荷对无限大介质平面的镜像导体球面的镜像导体圆柱面的镜像线电流对无限大磁介质平面的镜像本节内容第10页,共33页，2024年2月25日，星期天

当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代1.

问题的提出

几个实例q一、镜像法的基本原理

接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。q′非均匀感应电荷等效电荷第11页,共33页，2024年2月25日，星期天

接地导体球附近有一个点电荷，如图。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代

接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电荷为线电荷。q非均匀感应电荷q′等效电荷

结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。

问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？第12页,共33页，2024年2月25日，星期天2.镜像法的原理镜像法概念：在一定条件下，用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的较简单的等效电荷来等效替代场域边界上未知的较为复杂的电荷分布的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，待求场域空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化；这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。第13页,共33页，2024年2月25日，星期天

用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边界的空间变成同一媒质空间，使计算简化。镜像法:3.理论依据：惟一性定理第14页,共33页，2024年2月25日，星期天

个数、位置、电量大小——“三要素”。4.镜像法应用的关键点5.

确定镜像电荷的两条原则

等效求解的“有效场域”

镜像电荷的确定

镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；

镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定；第15页,共33页，2024年2月25日，星期天二、接地导体平面的镜像

点电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对半无限大接地导体角域(导体劈)的镜像第16页,共33页，2024年2月25日，星期天二、接地导体平面的镜像

1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像

求（1）导体上方（即z>0的空间）的电位分布；

（2）导体表面的感应电荷。§3.6镜像法q

待求场域：上半空间

边界：无限大导体平面

边界条件：第17页,共33页，2024年2月25日，星期天*此时，在z>0的空间里任一点p(x,y,z)的电位等于原点电荷q和镜像电荷所产生电位的叠加。§3.6镜像法有效区域qq第18页,共33页，2024年2月25日，星期天注意：仅对上半空间等效。*此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。可见，引入镜像电荷后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，未改变所求空间的电荷分布，因而在z>0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。

故对z=0平面上任意点有*选无穷远处为参考点，则在z>0的空间任一点p的总电位是：

得§3.6镜像法第19页,共33页，2024年2月25日，星期天镜像电荷Z>0空间的电位分布：有效区域qq第20页,共33页，2024年2月25日，星期天上半空间的电场强度：第21页,共33页，2024年2月25日，星期天（2）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度：§3.6镜像法q第22页,共33页，2024年2月25日，星期天导体表面的总感应电荷导体表面上感应电荷对点电荷的作用力镜像电荷代替了导体表面所有感应电荷对上半空间的作用。可见，q或第23页,共33页，2024年2月25日，星期天2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像

原问题有效区域-hz镜像线电荷：待求场域z>0中的电位:上半空间的电场xz第24页,共33页，2024年2月25日，星期天3.点电荷对半无限大接地导体角域(导体劈)的镜像两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板形成的角域内，有点电荷q位于(d1,d2)处,求角内的电场分布。。

d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1第25页,共33页，2024年2月25日，星期天

d1qd2RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1

d11qd22镜像电荷q1=－q，位于(－d1,d2)镜像电荷q2=－q，位于(d1,－d2)镜像电荷q3=q,位于(－d1,－d2)电位函数第26页,共33页，2024年2月25日，星期天由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角为整数时，该角域中的点电荷将有(2n-1)个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解;结论：

q

/3

/3q当n=3时：第27页,共33页，2024年2月25日，星期天当n=3时：角域夹角为π/n，n为整数时，有(2n－1)个镜像电荷，n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。

轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像，直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。第28页,共33页，2024年2月25日，星期天

例1

一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？

解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷q移至无穷远时电场力所做的功。

q'qx=∞

0d-d

由镜像法，感应电荷可以用像电荷

替代。当电荷q移至x时，像电荷

应位于－x，则像电荷产生的电场强度第29页,共33页，2024年2月25日，星期天1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像

求（1）导体上方（即z>0的空间）的电位分布；

（2）导体表面的感应电荷。§3.6镜像法

待求场域：上半空间

边界：无限大导体平面

边界条件：z=0时有效区域qq镜像电荷第30页,共33页，2024年2月25日，星期天2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像

原问题有效区域-hz镜像线电荷：xz第31页,共33页，2024年2月25日，星期天当n=3时：角域夹角为π/n，n为整数时，有(2n－1)个镜像电荷，n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。轮