北师大版高中数学必修4全册导学案表格式

北师大版高中数学必修四全册导学案

目录

第一章三角函数..........................................................................1

§1.1周期现象..........................................................................1

§1.2角的概念的推广....................................................................1

§1.3弧度制............................................................................3

§1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义.......................................5

§1.4.3单位圆与诱导公式(1)..........................................................................................7

§1.4.3三角函数的诱导公式(2)........................................................................................9

§1.4.3三角函数的诱导公式(3).......................................................................................12

§1.5.1.2正弦函数图像....................................................................14

§1.5.3正弦函数的性质...................................................................16

§1.6.1余弦函数的图像..................................................................18

§1.6.2余弦函数的性质..................................................................20

§1.7.1正切函数的定义..................................................................22

§1.7.2正切函数的图像与性质............................................................24

§1.7.3正切函数的诱导公式..............................................................26

§1.8.1y=/sin(©+p)的图像(第1课时)...........................................28

§1.8.2y=/sin(3+8)的图像(第2课时)...........................................30

§1.8.3y=Nsin(ax+9)的图像.........................................................32

§1.9三角函数的简单应用..............................................................35

§1.10三角函数复习...................................................................37

第二章平面向量............................................................................39

§2.1从位移、速度、力到向量...........................................................39

§2.2.2向量的减法.....................................................................43

§2.3.1数乘向量........................................................................45

§2.3.2平面向量基本定理..........................................................47

§2.4.1平面向量的坐标表示.............................................................49

§2.4.2平面向量的坐标运算........................................................51

§2.5从力做的功到向量的数量积........................................................53

§2.6平面向量数量积的坐标表示........................................................55

§2.7.1向量应用一一点到直线的距离公式.................................................57

§2.7.2向量应用一一物理应用...........................................................59

§2.8.1章末小结一.....................................................................61

§2.8.2章末小结二.....................................................................63

第三章三角恒等变形........................................................................65

§3.1.1同角三角函数的基本关系.........................................................65

§3.1.2同角三角函数的基本关系式.......................................................67

§3.2.1两角和与差的余弦公式...........................................................69

§3.2.2两角和与差的正弦公式...........................................................71

§3.2.3两角和与差的正切公式...........................................................73

§3.3.1二倍角的三角函数...............................................................75

§3.3.2二倍角公式的应用...............................................................77

§3.4.1章末小结一......................................................................79

§3.4.2章末小结二......................................................................81

第一章三角函数

§1.1周期现象

§1.2角的概念的推广

授课

第周星期第节课型新授课主备课人

时M

1.了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念；

学习

2.正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集

目标

合表示.

正确理解终边相同的角的概念

难点

自主学习

1.角的定义：___________________________________________________________

2.正、负的概念：按_________方向旋转所成的角叫正角，按________方向旋转所成的角

叫负角，如果一条射线_______，我们称它形成了一个零角.

3.象限角的概念：在直角坐标系中研究角时;如果角的顶点与__________

角的始边与_____________，那么，角的终边(端点除外)在第几象限，我们

说这个角是第几象限角，若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为_________.

思考：(1)下列角分别是第几象限角？

一3。。。15。-6。。’这当中一些角有什么共同特征？

210°,300°,420\780°,

学习(2)具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与60°角终边相同的角的集合吗？

过程

［答］⑴__________________.(2)_________________.

与方

4.终边相同的角：一般地，与角a终边相同的角的集合：

法

注意：(1)kez；(2)a是任意角；(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终

边一定相同。终边相同的角有无限多个，它们相差360。的整数倍。

一、角的概念

例1.(1)钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？

(2)若将钟表拨慢10分钟，则时针和分针分别转了多少度？

二、终边相同的角

例2.在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第

几象限角:(1)650°(2)-150°(3)-990°151

分析：只需将这些角表示成h360°+a(0°Wa<360°)的形式，然后根据a来确定它们

第1页共86页

所在的象限

精讲互动

ry

例3.已知a与240°角终边相同，判断一是第儿象限角.

2

例4.写出终边落在第一、三象限的角的集合.

分析：主要考查终边相同角的概念的应用

达标训练

1.下列命题正确的是()

A、第一象限角一定不是负角B.小于90°的角一定是锐角

C钝角一定是第二象限角D第一象限角一定是锐角

2.试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角：

(1)-550°(2)1680°(3)-1290°(4)-1510°

作业

习题1-22,3

布置

学习

小结/

教学

反思

第2页共86页

§1.3弧度制

授课

第周星期第节课型新授课主备课人

时间

学习1.理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；

目标2.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式

市;点

弧度与角度的换算及弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式

难点

自主学习

1.规定：周角________为1度的角；________叫做1弧度的角.

2.角度制与弧度制相互换算：

1弧度=________（度）；1度=_____（弧度）

注意：（1）用“弧度”为单位度量角，当弧度数用）来表示时，如无特别要求，不必把"写

TF

成小数，例如45°=一弧度，不必写成45°=0.875弧度。

4

（2）角度制与弧度角制不能混用。

3.把下列各角从弧度化为角度：

1兀_4〃_

6'3

4.把下列各角从角度化为弧度：

学习315°=_________;-72°=__________.

过程

5.下列命题中，假命题的是（）

与方

A、“角度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；

法

B、1度的角是周角的一L,1弧度的角是周角的」一；

360171

C、根据弧度的定义，一定有180°=不成立；

D、不论是用角度制还是用弧度制量角，它们与圆的半径长短有关.

6.角a的弧度数的绝对值冏=，（/为弧长，尸为半径）n/=|ak

若1a1w2n,则有圆心角为a的扇形的面积为

5=回（其中/为弧长，r为半径）

2万2

第3页共86页

精讲互动

一、弧度制的概念

例1.把下列各角从弧度化为角度：(分析：主要考查弧度与角度的换算)

(1)—(2)-71

52

例2.把下列各角从角度化为弧度(分析：主要考查弧度与角度的换算)

(1)252°(2)11°151

二、弧长公式和扇形面积公式

例3.已知扇形的周长为8厘米，圆心角为2弧度，求该扇形的面积.

分析：主要考查扇形的弧长公式和面积公式

达标训练

1.把下列各角从弧度化为角度：

7T24

(1)一(2)_兀(3)——71(4)-12%

1253

2.把下列各角从角度化为弧度：

(1)75°(2)-210°(3)135°(4)22°30,

作业

习题1-31,2,7,8

布置

学习

小结/

教学

反思

第4页共86页

§1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义

授课

第周星期第节课型新授课主备课人

时间

1.掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义；

学习

2.会用三角函数线表示任意角三角函数的值；

目标

3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号

重点

求任意角三角函数的值

难点

自主学习

1.设点P是a角终边上任意一点，坐标为尸(xj),|0.|=西+/=「，用

(1)比值____叫做a的正弦，记作sina,即sina=______；

(2)比值____叫做a的余弦，记作cosa,即cosa=______；

(3)比值____叫做a的正切，记作tana,即tana=______.

其中，y=sinx和y=cosx的定义域分别是_____________；而丁=1211%的定义域是

_________.除上述情况外，对于确定的值a,比值上、->上分别是一个确定的实数，所

rrx

以正弦、余弦、正切、是以角a为自变量，一比值为函数值的函数，分别叫做角a的正弦

函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为____________.

2.三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

学习①正弦值上对于第一、二象限为______时于第三、四象限_______:

过程r

X

与方②余弦值一对于第一、四象限为_______对于第二、三象限为_______;

r

法

③正切值上对于第一、三象限为______时于第二、四象限为________.

X

说明：(1)若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值；

(2)正弦函数值的符号与y的符号相同，余弦函数值的符号与x的符号相同.

精讲互动

一、任意角的三角函数

列1.已知角a的终边经过点P(2,-3),求a的正弦、余弦、正切值.

分析：任意角的三角函数的定义

第5页共86页

思考：若角6的终边经过点尸(4二一3。)(。#0),求sin6和cos。的值

二、三角函数的定义域

例2.x取什么值时，smx-c。吧有意义(分析：三角函数的定义域)

tanx

三、三角函数值在各象限的符号

例3确定下列三角函数的符号：

77r1\jr

(1)cos——；(2)sin(-465°)；(3)tan---

123

达标训练

1设a是三角形一个内角，在sina,cosa,tana,tant中，哪些有可能是负值？

2

2确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：

(1)885°；(2)-395°；(3)史；(4)--

63

3已知角a的终边经过点P(-3,4),求角a的正弦、余弦和正切值.

作业

习题1-41,2,6

布置

学习

小结/

教学

反思

第6页共86页

§1.4.3单位圆与诱导公式(1)

授课

第周星期第节课型新授课主备课人

时间

学习1.巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式；

目标2.能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值

重点

运用诱导公式求出任意角的三角函数值

难点

自主学习

1,(1)利用单位圆表示任意角a的正弦值和余弦值：尸(xj)为角a的终边与单位圆的交

点则sina=y,cosa-x；

2、诱导公式由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等.

(1)公式一：

思考：除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原

点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？

当角a的终边与角/3的终边关于x轴对称时，a与夕的三角函数值之间的关系

为:_________________________________=

(2)公式二：

当角a的终边与角£的终边关于歹轴对称，或是关于原点对称时，a与4的三角函数值

之间的关系为：

(3)公式三：

学习

过程(4)公式四:

与方

说明：①公式中的a指使公式两边有意义的任意一个角；②若a是角度制

法

,同样成立，如sin(180°+a)=-sina,cos(180°+a)=-cosa；

③公式特点：函数名不变，符号看象限

精讲互动

例1例1.求下列三角函数值：

(1)sin960°；(2)cos(-8^)；⑶tan(-1560u).

6

分析：先将不是［0°,360。)范围内角的三角函数，转化为［0°,360。)范围内的角的

三角函数(利用诱导公式一)或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到［0°,90°］

范围内角的三角函数的值。

【解】

第7页共86页

【归纳总结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：

①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化大于360°的正角的三角函数［0°,360°)

内的三角函数；③化［0°,360°)内的角的三角函数为锐角的三角函数.

可概括为：“负化正，大化小，小化锐”(有时也直接化到锐角求值).

例2判断下列函数的奇偶性：

(1)/(x)=1-cosx(2)g(x)=x-sinx

说明:公式二可直接对应三角函数的奇偶性.

达标训练

1.求下列各式的值⑴sin^-y^(2)sinf-y^

(1)f(x)=Isinx\

2.判断下列函数的奇偶性：J।1

(2)/(x)=sinxcosx

【延伸】例3.化简sin(a+〃")+sin(a一吻)(“wz)

sin(a+wr)cos(a-n兀)

说明：关键抓住题中的整数〃是表示乃的整数倍与公式一中的整数人有区别，所以必须把〃

分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.

作业

习题1-47,8

布置

学习

小结/

教学

反思

第8页共86页

§1.4.3三角函数的诱导公式(2)

授课

第周星期第节课型习题课主备课人

时间

学习1.能近一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值

目标2.能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程

重点

运用诱导公式求出任意角的三角函数值

难点

第9页共86页

自主学习

1.知识链接：

公式一：sin(2A»+a)=cos(2上;r+a)=

公式二：sin(-a)=cos(-a)=；

公式三：sin(2%一a)=cos(2%-a)=

公式四：sin(4一a)=cos(不一a)=。

一句话：函数名不变，符号看象限

2.已知：tana=3,求----------------------的值.

4cos(-a)+sin(2〃-a)

学习

过程

与方说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的cosa,

法得到个只含tana的较简单的三角函数式。

3.若角a的终边与角夕的终边关于直线y=x对称(如图)(1)角a与角夕的正弦函数与

余弦函数值之间有何关系？

(2)角y-a的终边与角a的终边是否关于直线歹=x对称？

(3)由(1),(2)你能发现什么结论？

第10页共86页

精讲互动

.，3、

sin(—兀+a)=-cosa,

例1.求证：2

,3、^

cost——7t+a)=sina

2

例2已知cos(750+a)=—,且-180，＜av-90,求cos(15°-。)的值。

3

【分析】注意到(15-a)+(75°+a)=90°,因此可将cos(15-a)转化为sin(75°+a)

达标训练

1.已知:tana=3,

TT7T

2cos(—a)-3sin(一+a)

求-----京-----------2——的值.

4cos(-—a)+sin(-+a)

2.若cos(75°+a)=§,a是第三象限角，cos(1051a)+sin(a・105。)的值等于_______

作业

习题1-47,8

布置

学习

小结/

教学

反思

第11页共86页

§1.4.3三角函数的诱导公式（3）

授课

第周星期第节课型新授课主备课人

旧何

学习1.能进•步运用诱导公式求出任意角的三角函数值；

目标2.能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程

1K点'

运用诱导公式求出任意角的三角函数值

难点

自主学习

公式一：sin（2A7F+a）=________cos（2A7F+a）=___________；

公式二：sin（-a）=___________cos（-a）=_____________；

公式三：sin（2〃-a）=__________cos（2〃-a）=__________；

公式四：sin（万一a）=___________cos（4-a）=_____________；

公式五：sin（万+a）=____________cos（%+a）=_____________：

公式六：sin（5-a）=____________皿，（5-仪）=_______________；

公式七：）；

学习sin^y+a]=____________cos^y+a=_____________

过程

与方注意：

法1.在诱导公式中，存在着角之间的关系，首先可以把负角的三角函数化为正角的三角

函数，然后把正角的三角函数化为0°〜360。角的三角函数，最后化为锐角三角函数，

这是三角函数化简、求值、证明的基础。

2.诱导公式的形式及符号尤为重要，如丝+a,ZeZ的三角函数必定符合某一个诱导

2

公式，公式记忆归纳为“奇变偶不变，符号看象限”，要注意理解和区别，以保证解

题的准确性。

例1.已知：cos（^--a）=g求：cos（葛+a）-sin2（a一令的值。

第12页共86页

精讲互动

例2已知A、B、C为A4BC的三个内角，求证：sin'=cos3

22

例3.若/(cosx)=cos3%,求满足f(sinx)=1时的x的值.

达标训练

若sin（a一乃）=2cos（2〜。）,求,阿"一的二――的值

3cos（乃-a）-sin（-a）

作业

习题1-4B组1,2,3

布置

学习

小结/

教学

反思

第13页共86页

§1.5.1.2正弦函数图像

授课

第周星期第节课型新授课主备课人

时间

学习1.了解正弦函数图像的正弦线圆法，掌握正弦函数图像的几何特征；

目标2.掌握五点法，并能熟练会画一些简单的函数的图像.

重点

掌握正弦函数图像，能熟练会画一些简单的函数的图像

难点

自主学习

复习回顾正弦函数的定义，然后填空

sinx=cosx=_________

(一)从单位圆研究正弦函数的性质

请从正弦函数的定义和单位圆思考正弦函数的性质，并填空

(1)定义域________

(2)最大值______,最小值______,值域___________;

(3)在区间［0,2以上，函数y=sinx的单调行为：在______________上是增加的；

在___________上是减少的.

(二)正弦函数的图像

思考1：如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并画出产sinx在

［0,2加］内的图象？(阅读教材22-23页)

(1)列表描点法①步骤_________________②优点___________

③缺点_________________

(2)正弦线法：①步骤_____________,_______________,

学习_____________,_______________

过程

与方正弦函数的图像的特征是_________________________________________

法此种画法：优点_____________

缺点______________

(3)五点法根据正弦函数的图像的形状特征，描出五个关键点，再顺连即可

精讲互动

看例1总结步骤

第14页共86页

达标训练

1用五点法画出下列函数在区间［0,2可上的简图

(1)y=-sinx

(2)y=l+inx

2填空题y=l+sinx,x£［0,2兀］的图像与直线y=1.5的交点个数为__________

3在［0,2冗］内y=4sinx的单调增区间为_______________

在单调减区间为_______________

4作课后练习并体会其特点

(1)

(2)

(3)

作业

习题1-52

布置

学习

小结/

教学

反思

第15页共86页

§1.5.3正弦函数的性质

授课

第周星期第节课型新授课主备课人

时间

学习1.利用正弦函数图像和单位圆理解正弦函数的性质，

目标2.进一步同样思想探究其他函数的性质.

重点

理解掌握并能熟练应用正弦函数的性质

难点

自主学习

1复习回顾正弦函数图像的特征，在上一节课中，我们己经学习了正弦函数的y=sinx在R

上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？

2研究函数的性质应从哪几个方面去研究？

3.学习过程

请学生一边看书，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下儿个问题：

(1)正弦函数的定义域是什么？

(2)正弦函数的值域是什么？

(3)它的最值情况如何？

(4)它的正负值区间如何分？

(5)/(x)=0的解集是多少？

学习

归纳得出并填空

过程

1定义域：y=sinx的定义域为

与方

2值域：回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|Wl(有界性)

法

再看正弦函数图象验证上述结论，所以y=sinx的值域为

3.最值：对于y=sinx

当且仅当x=时y„x=1

当且仅当*=时y»in=-l

符号：当时y=sinx>0

当时y=sinx<0

4.周期性：(观察图象)1。正弦函数的图象是有规律不断重复出现的：

2。规律是：每隔2兀重复出现一次(或者说每隔2k7t,keZ重复出现)

3。这个规律由诱导公式sin(2kn+x)=sinx也可以说明

结论：y=sinx的最小正周期为2兀

5.奇偶性

sin(—x)=—sinx(xGR)<y=sinx(xGR)是奇函数

6.单调性”

增区间为,其值从一［增至1；

减区间为,其值从］减至一］

第16页共86页

精讲互动

1.看书并填写下表：

函数

y=sinx函数性质图像特点

定义域向左、向右无限伸展

值域最高点,最低点

周期性平移得到

奇偶性关于原点对称

单调性在[一生+]t

22

在[2+2k7r,—+2kn]।

22

达标训练

1.填写课本27页练习于课本上

2.

作业

习题1-53,4,5

布置

学习

小结/

教学

反思

第17页共86页

§1.6.1余弦函数的图像

授课

第周星期第节课型新授课主备课人

旧何

1.通过类比正弦函数图像的画法，通过诱导公式能用图像平移的方法得到余弦的图像；

学习

II标2.利用五点法画一些简单的函数曲线.

重点

通过平移画一些简单的函数曲线.

难点

自主学习

回顾：1.正弦函数的图像及作法.

2.正弦函数的性质有哪些？

1.余弦函数图像的作法：

(1)儿何法：(类比正弦曲线)

学习

过程

与方

法

(2)描点法：(五点法)

第18页共86页

精讲互动

例1：试画出下列函数在区间xG【0,2n】上的简图.

①y=2+cosx；②y=cosx-l；③y=3cosx.

达标训练

1.在同一直角坐标系下画出下列函数的简图

y=cosx,y=2cosx,y=2cosx+l

作业

习题1-62

布置

学习

小结/

教学

反思

第19页共86页

§1.6.2余弦函数的性质

授课

第周星期第节课型新授课主备课人

旧何

1.了解余弦函数图像和正弦函数之间的联声工;

学习

2.利用余弦函数图像理解余弦函数的性质；

II标

3.余弦函数的简单应用.

重点

理解掌握并能熟练应用余弦函数的性方

难点

自主学习

复习回顾余弦函数图像的特征，在上.一节课中，我们已经学习了余弦函数的y=sinx在R

上图像，请同学们根据图像说出它罕『哪些性质？

Ak

,，、X，/

----------------------——-----------------x_z---------------

研究函数的性质应从哪几个方面去回斤究？

3.学习过程

请学生一边看书，一边仔细观察考三弦曲线的图像，并思考以下几个问题：

(1）余弦函数的定义域是什么？

(2）余弦函数的值域是什么？

(3）它的最值情况如何？

(4）它的周期性？

学习(5）它的单调性？

过程(6）〃x）=0的解集是多少？

与方日纳得出并填空

法1定义域：y=cosx的定义域为_

2值域：回忆单位圆中的正弦函娄攵线，结论：IcosxIWl（有界性）

再看正弦函数图象验证上述结丑所以y=cosx的值域为______

3.最值：对于y=cosx

当且仅当x=_________________时ymax=l

当且仅当x=_________________时Ymin=-1

符号：当____________________________时y=cosx>0

当_____________________________时y=cosx<0

4.周期性：（观察图象）1。正弦E总数的图象是有规律不断重复出现的；

2。规律是：每隔2兀重复出T见一次（或者说每隔2k兀,keZ重复出现）

3。这个规律由诱导公式cos（2kn+x）=cosx也可以说明

结论：y=cosx的最小正周期为2兀

5.奇偶性

cos（—x）=cosx（x£R）UAy=cosx（xeR）是偶函数

第20页共86页

6.单调性

增区间为_______________________________,其值从_］增至1;

减区间为______________________________,其值从］减至一］

精讲互动

1.看书并填写下表：

函数图像特点

y=cosx函数性质

定义域向左、向右无限伸展

值域最高点,最低点

周期性平移得到

奇偶性关于y轴对称

单调性

在［（2左一1）况2无加t

在［2%〃,（24+1）%］1

达标训练

1.填写课本32页练习于课本上

2.求满足COSX》上的X的集合

2

作业

习题1-63,4,5

布置

学习

小结/

教学

反思

第21页共86页

§1.7.1正切函数的定义

授课

第周星期第节课型新授课主备课人

旧何

1.了解任意角的正切函数概念；

学习

2.理解正切函数中的自变量取值范围；

II标

3.掌握正切线的画法；

重点

正切函数的概念、诱导公式、图像与性质

难点

自主学习

1.正切函数的定义：

在直角坐标系中，如果角a满足：______________,那么，角a的终边与单位圆交于

点P(a,b),唯一确定__________.根据函数定义，比值是角a的函数，我们把它叫作角

a的正切函数，记作_____________,其中a£R,a#+k兀，k£Z.

比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tana=___________(a£R,a^+kn,k《Z).

由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为

三角函数。

2.正切函数值在各象限的符号：

3.正切函数值的几何表示.

如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意角ay|

的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线，与角

的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：{一刃

当角a位于______________时，T点位于___________;4~//)

学习

当角a位于______________时，T点位于____________oVp/八

过程

分析可以得知，不论角a的终边在第儿象限，都可以构/沁斗/।

与方

造两个相似三角形，使得角a的正切值与有向线段AT的值相等。।

法

因此，我们称____________为角a的正切线。

精讲互动

1.正切函数的图象

⑴首先考虑定义域：xk7V+z)

(2)为了研究方便，再考虑一下它的周期：

i、sin(x+〃)-sinx(„a,71,

+=——-----飞=------=tanx\xeR,且x/左"+一，左wz